高中數(shù)學(xué)概念有意義學(xué)習(xí)的監(jiān)控策略及案例

王小亮

高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)離不開“概念教學(xué)”，除了概念外，數(shù)學(xué)知識就是“命題”，不過從“數(shù)學(xué)命題”來看，概念還是其最基本的組份，因此，概念教學(xué)的優(yōu)劣關(guān)系到整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，學(xué)生是教學(xué)的主體，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生完成概念的有意義構(gòu)建，而這個過程中教師的主導(dǎo)、監(jiān)控作用不可忽視.本文就對學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的監(jiān)控策略進(jìn)行分析，望能有助于教學(xué)實(shí)踐.

一、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

了解數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)對概念教學(xué)監(jiān)控不可或缺的環(huán)節(jié)，筆者在概念教學(xué)實(shí)踐中，將數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)總結(jié)如下：

1.抽象性.數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)對象在數(shù)量關(guān)系與空間表現(xiàn)形式上的抽象，通常與現(xiàn)實(shí)的“脫離”度較大，概念用的是形式化、符號化的專業(yè)語言表示，與對象的物質(zhì)性質(zhì)無關(guān)，具有很強(qiáng)的抽象性，也恰是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念具有抽象性，才使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越發(fā)廣泛.

2.相對具體性.抽象和理解上的難易程度是相對的，從概念體系上看，數(shù)學(xué)概念體系的建立是由簡到繁、逐層建立的，數(shù)學(xué)對象與低層次的概念是構(gòu)成高層次概念的基礎(chǔ).從另一個方面來看，數(shù)學(xué)概念相對于另兩種數(shù)學(xué)思維——數(shù)學(xué)判斷和推理來說，概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是實(shí)實(shí)在在存在于知識體系中的、具體的知識.

3.邏輯聯(lián)系性.數(shù)學(xué)概念具有系統(tǒng)性，各個概念，尤其是高層次與低層次的概念邏輯上具有很強(qiáng)的聯(lián)系，建立新的概念必須以邏輯定義，而且固定為語言表征、符號表征，從概念體系來看，各個概念構(gòu)成了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯體系.

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的兩種形式

理論研究和實(shí)踐表明，有意義的概念學(xué)習(xí)通常在形式上具有規(guī)律性，“概念形成”和“概念同化”是有意義構(gòu)建概念的兩種形式.

1.什么是概念形成？這種學(xué)習(xí)形式，從大量的數(shù)學(xué)例子出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在肯定例證的過程中，運(yùn)用“歸納”的方法將一類數(shù)學(xué)對象最為本質(zhì)的屬性提煉出來形成新概念，所以概念形成的學(xué)習(xí)方式，通常可稱之為“歸納法”.這種學(xué)習(xí)效率取決于學(xué)生對具體事物抽象的能力.

2.什么是概念同化？這種學(xué)習(xí)形式，是引導(dǎo)學(xué)生主動地、直接地用定義的形式對概念進(jìn)行陳述，這是借助于學(xué)生頭腦中的認(rèn)知表象，將新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的相關(guān)概念進(jìn)行有意義的聯(lián)系、作用，最后將新概念納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，所以概念同化的學(xué)習(xí)方式，通常可稱之為“邏輯法”，這種學(xué)習(xí)效率取決于學(xué)生頭腦中原有概念體系的穩(wěn)固度，以及學(xué)生遷移能力和邏輯思維能力.

三、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的監(jiān)控策略及實(shí)例

1.監(jiān)控感性材料和知識經(jīng)驗(yàn).概念學(xué)習(xí)是感性到理性逐漸深化的過程，沒有感性材料和知識經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，學(xué)生難以辨析數(shù)學(xué)對象最為本質(zhì)的屬性，有意義的學(xué)習(xí)自然無從說起.為此，我們在概念教學(xué)時，要盡可能地將學(xué)生帶入熟悉的情境之中，或是用實(shí)物、模型、問題等來刺激學(xué)生的原有知識、經(jīng)驗(yàn).

例如，筆者在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“映射”這個概念時，設(shè)計(jì)了問題串，激活學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)，觸及概念的本質(zhì)屬性.

問題1：奇數(shù)集與偶數(shù)集兩者相比，哪個元素更多？

問題2：奇數(shù)集與正數(shù)集兩者相比，哪個元素更多？

問題3：一個圓與一條線段兩者相比，哪個圖形上面的點(diǎn)更多？

問題4：無窮集合A與無窮集合B兩者相比，哪個元素更多？

讓學(xué)生通過對上述問題的思考，觸及：“在集合之間建立的某種對應(yīng)關(guān)系”，這恰是概念的本質(zhì)屬性.

2.挖掘新、舊概念的聯(lián)系.既然數(shù)學(xué)概念是成體系的，具有邏輯性和整體性，為此，我們在概念教學(xué)時，應(yīng)該注重新、舊概念之間聯(lián)系的挖掘，促進(jìn)概念的同化.例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“并集”這個概念時，要善于挖掘概念與“交集”的聯(lián)系，將“交集、并集”的概念正向聯(lián)結(jié)，還將概念的建立與“且、或”的聯(lián)系.

3.注重?cái)?shù)學(xué)概念的產(chǎn)生.數(shù)學(xué)概念從何而來？是數(shù)學(xué)家憑空想象、信手拈來的么？數(shù)學(xué)是自然科學(xué)，概念的產(chǎn)生源自于現(xiàn)實(shí)世界或數(shù)學(xué)內(nèi)部的真實(shí)需求.我們在教學(xué)過程中要善于挖掘數(shù)學(xué)史，給學(xué)生提供材料揭示概念產(chǎn)生的內(nèi)因和外因，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，深化數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性，切忌將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)簡單理解為“條文加例題”.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”這個概念時，筆者首先和學(xué)生回顧“實(shí)數(shù)”概念的發(fā)展史，讓學(xué)生感受到“數(shù)”這個數(shù)學(xué)概念是伴隨人類實(shí)際需要層次的不斷提升而發(fā)展起來的.從運(yùn)算上來分析，自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集中運(yùn)算實(shí)施情況，同時拋出問題：“實(shí)數(shù)集對負(fù)數(shù)開偶數(shù)次方則不可實(shí)施，怎么辦呢？”從數(shù)的發(fā)展角度來看，引進(jìn)一種“新數(shù)”就順理成章了，那么對這種新數(shù)來說有什么要求呢？“加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算都可實(shí)施”，在學(xué)生有了這樣的認(rèn)識時，教學(xué)過程中引進(jìn)虛數(shù)單位i，學(xué)生的心理上就有所準(zhǔn)備，復(fù)數(shù)概念就落到了實(shí)處.

4.重視變式與比較.概念學(xué)習(xí)到內(nèi)化為學(xué)生自己的知識和能力，需要一個反復(fù)的過程，變式與比較有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征.

（1）變式.所謂“變式”教學(xué)就是借助于概念正向的變化來幫助學(xué)生排除與概念無關(guān)的特征，突出概念的本質(zhì)特征.例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”這個概念時，舉例不能僅僅舉2+3i，-5i，6-4i這樣的例子，因?yàn)樯鲜鰩讉€例子會導(dǎo)致有部分學(xué)生形成錯誤的抽象，誤認(rèn)為復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的本質(zhì)特征為b≠0，筆者在教學(xué)中除了上述幾個例子外，還同時舉了2-32，5，0等例子，引導(dǎo)學(xué)生對無關(guān)特征進(jìn)行排除，順利建立復(fù)數(shù)這個概念.

（2）比較.所謂“比較”，包括正向例子之間的比較，也包括正、反兩方向例子之間的比較，前者以發(fā)現(xiàn)其共同本質(zhì)特征，后者以加深對本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征的理解.例如，筆者在復(fù)習(xí)時和學(xué)生一起梳理了7種空間“距離”概念的比較（即兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離，兩平行線間的距離，點(diǎn)到平面的距離，兩平行平面的距離，異面直線間的距離，球面上兩點(diǎn)間的距離），從共性與區(qū)別角度進(jìn)行區(qū)分，促進(jìn)對這些個體概念更好的理解，同時也建立了空間距離這個整體概念.

5.強(qiáng)化訓(xùn)練.為了使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)概念，并能靈活運(yùn)用，除了通過實(shí)例引進(jìn)和講清概念、揭示本質(zhì)外，還應(yīng)當(dāng)在得出概念之后，加強(qiáng)練習(xí)，舉例說明如何用它們來解決問題.到了適當(dāng)?shù)碾A段，對學(xué)過的概念進(jìn)行歸納、分類、概括、提高，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，使學(xué)生對學(xué)過的概念真正系統(tǒng)掌握，融會貫通.endprint