CABRI 3D環(huán)境下圓錐曲線的認知過程設(shè)計*

◆孫鳳丹 吳華

1 Duval幾何認知理論與CABRI 3D

Duval幾何認知理論 空間關(guān)系與演繹推理是幾何學(xué)習(xí)的兩個核心主題，而圖形的理解是幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素。幾何圖形可以促進幾何問題情境中的直觀思維的形成，然而一些學(xué)習(xí)者在幾何學(xué)習(xí)中往往無法從中獲得一些關(guān)鍵性的資訊。法國數(shù)學(xué)教育學(xué)者Raymond Duval為研究此問題，在1995年提出了幾何學(xué)習(xí)中涉及的四種認知理解[1]。

1）知覺性理解（Perceptual Apprehension）：關(guān)于圖形的外觀 感知（形狀、大小等），能區(qū)分和辨別圖形的子圖形，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的基礎(chǔ)上。

2）序列性理解（Sequential Apprehension）：在構(gòu)圖過程中圖形的不同單位組成部分會依序呈現(xiàn)。

3）論述性理解（Discursive Apprehension）：幾何概念必須起源于對圖形的命名和假設(shè)，幾何性質(zhì)的辨認必須建立在論述上。

4）操作性理解（Operative Apprehension）：學(xué)生觀察圖形時，可通過操作圖形來得到解題思路。

CABRI 3D軟件與動態(tài)幾何 借助動態(tài)幾何軟件能直觀地展現(xiàn)幾何圖形，促進學(xué)習(xí)者對空間概念和定理的理解。目前應(yīng)用較多的動態(tài)幾何軟件是二維的，雖然二維軟件也能表現(xiàn)三維空間的一些現(xiàn)象，但并不能完全滿足立體幾何教學(xué)的需要。2004年法國推出的CABRI 3D是世界上第一款針對立體幾何教學(xué)的軟件[2]。利用CABRI 3D，學(xué)習(xí)者能掌握幾何構(gòu)造，觀察和操控各種三維空間圖形，也可以創(chuàng)建從簡單到復(fù)雜的各種動態(tài)幾何結(jié)構(gòu)，比較適合立體幾何的教學(xué)。本文基于Duval認知理論，嘗試在CABRI 3D平臺下做出認知過程設(shè)計，以促進學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的理解。

2 CABRI 3D環(huán)境下的圓錐曲線認知方案設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：引入圓錐曲線時，教師應(yīng)向?qū)W生展示平面截圓錐的過程，使學(xué)生加深對圓錐曲線的理解。有條件的學(xué)校應(yīng)充分發(fā)揮教育技術(shù)的作用，利用計算機演示平面截圓錐所得的圓錐曲線[3]。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線：用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“當且僅當”與圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。

利用CABRI 3D可直觀展示平面截取圓錐體的過程，學(xué)生可以親自動手操作圖形，由對圖形的知覺性理解經(jīng)“拖動”達到操作性理解，用數(shù)學(xué)語言對結(jié)論進行描述達到論述性理解。下面分步驟說明在CABRI 3D環(huán)境下，Duval四種認知理解達成的過程。

CABRI 3D環(huán)境中的知覺性理解 幾何學(xué)習(xí)的過程中，由于幾何知識的抽象性，純文字的描述增加了理解幾何概念和命題的難度。幾何圖形比起語言敘述具有更好的直觀性，促進幾何理解的生成。在動態(tài)幾何環(huán)境中首先應(yīng)根據(jù)已知的條件構(gòu)建幾何圖形，在圖形構(gòu)建過程中學(xué)習(xí)者關(guān)于圖形的感知理解加深。這個過程和Duval所提出的知覺性理解是相吻合的。在CABRI 3D環(huán)境下，構(gòu)建圓錐為平面所截得到的圓錐曲線，點M為動點，對點M進行拖動，可導(dǎo)致平面傾斜程度的變化，如圖1所示。

圖1 平面與圓錐曲線

學(xué)習(xí)者僅憑頭腦中的想象，很難理解平面截圓錐所得圖形的形狀及其變化情況。利用平面作圖也不能展示空間圓錐與平面的關(guān)系，借助CABRI 3D立體幾何軟件進行圖形構(gòu)造，使得展示空間三維圖形成為現(xiàn)實。學(xué)習(xí)者通過對圖1進行觀察，從直觀上更清楚地理解平面截圓錐的情景，有助于學(xué)習(xí)者知覺性理解的達成。這也是CABRI 3D立體幾何環(huán)境優(yōu)于傳統(tǒng)教具之所在。

CABRI 3D環(huán)境中的序列性理解 傳統(tǒng)的幾何教學(xué)中，由于教具的限制和學(xué)習(xí)者空間想象能力的缺乏，學(xué)習(xí)者對空間圖形的構(gòu)成及其各部分之間的關(guān)系理解存在困難。在CABRI 3D中，可以對已經(jīng)構(gòu)建的立體幾何圖形進行操作——“拖動”。經(jīng)“拖動”，學(xué)習(xí)者可以看到圖形的直觀的變化，在圖形變化的過程中，學(xué)習(xí)者可從多個角度觀察空間立體圖形，學(xué)習(xí)者對圖形的構(gòu)成及各部分的關(guān)系達到序列性理解。對點M拖動的過程中，曲線發(fā)生變化，圖形的構(gòu)成也隨之發(fā)生變化，所成圖形如圖2所示。

序列性理解的達成需要經(jīng)過“拖動”，但此“拖動”必須是有效的才能達到預(yù)期效果。如何達到有效的拖動呢？首先，學(xué)習(xí)者應(yīng)在CABRI 3D環(huán)境下進行拖動練習(xí)。空間立體圖形比平面幾何圖形更加復(fù)雜，平面截圓錐時，首先應(yīng)清楚這個圖形中動點是M點，因此需對點M進行拖動，才是有效拖動，才能得出所需圖形及結(jié)論。其次，掌握拖動的策略。有效的“拖動”是幾何圖形的具體屬性轉(zhuǎn)化為本質(zhì)屬性的關(guān)鍵活動。學(xué)習(xí)者只有具有較好知識基礎(chǔ)和空間能力及熟悉動態(tài)幾何環(huán)境，才能做到有效的拖動，有助于幾何問題的解決。對點M進行拖動的過程，學(xué)習(xí)者可對變化的圖形進行觀察，通過對點M的拖動達到平面傾斜程度的變化，應(yīng)注意觀察所截得的每個圖形。最后，注意學(xué)習(xí)者的反饋。經(jīng)拖動，學(xué)習(xí)者的活動經(jīng)驗是否得到積累，以此去確定此次拖動是否有效，能否促進學(xué)習(xí)者的序列性理解。

CABRI 3D環(huán)境中的操作性理解 對圖形進行操作的方式包括分解組合圖形、放大縮小圖形、平移旋轉(zhuǎn)圖形。在傳統(tǒng)的幾何教學(xué)中，很難對幾何圖形進行動態(tài)的操作。動態(tài)幾何技術(shù)的出現(xiàn)使得動態(tài)操作幾何圖形成為現(xiàn)實。動態(tài)幾何環(huán)境下對圖形進行的操作是通過“拖動”實現(xiàn)的，而這種“變”是在一定規(guī)則下的變，而“變”的目的是為了得出圖形的關(guān)鍵特征，動態(tài)幾何的精髓是在“變”狀態(tài)下保持幾何背景不變，通過規(guī)則的“變”揭示“不變”的幾何規(guī)律，從而認識事物的本質(zhì)屬性[4]。在這個階段可通過對幾何圖形進行操作，識別圖形的本質(zhì)屬性，達到對圖形的操作性理解。

對點M進行拖動的過程中，平面的傾斜程度不斷發(fā)生變化，但在一定拖動范圍內(nèi)，平面截得圓錐的曲線類型是不變的：平面垂直于母線時，得到的曲線是圓，漸漸傾斜得到橢圓，平行于一條母線時得到拋物線，再繼續(xù)傾斜得到雙曲線。由此，學(xué)習(xí)者通過關(guān)鍵特征的識別，在“變化”中體驗“不變”，達到對圖形的操作性理解。

圖2 平面截圓錐所得曲線

CABRI 3D環(huán)境中的論述性理解 幾何教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的思維能力，進行分析性思維活動是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者思維能力必需的階段。學(xué)習(xí)者在幾何學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷著“圖形語言——自然語言——符號語言”的過渡與轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)者經(jīng)過上述三個過程之后，需要表達出他們在動態(tài)幾何環(huán)境中發(fā)現(xiàn)了什么，即對圖形的數(shù)學(xué)特征和“變中不變”特征進行描述，達到Duval四種理解中的論述性理解。而CABRI 3D環(huán)境為立體幾何的學(xué)習(xí)提供了良好的平臺，在經(jīng)拖動而不變的“實質(zhì)屬性”產(chǎn)生的活動中，促進著自然語言的產(chǎn)生，有利于學(xué)習(xí)者符號語言的產(chǎn)生。因此，在CABRI 3D環(huán)境中學(xué)習(xí)者更易達到Duval幾何認知理論的論述性理解。

CABRI 3D環(huán)境中，學(xué)習(xí)者在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，開始用自然語言對拖動中產(chǎn)生變化的量和經(jīng)拖動而發(fā)現(xiàn)的不變特征進行表述。通過對CABRI環(huán)境中圖形的直觀觀察，學(xué)習(xí)者較易形成符號語言。所有的數(shù)學(xué)概念和定理的表述必須經(jīng)由語言。用數(shù)學(xué)語言對結(jié)論進行描述，有利于幾何概念和定理的形成：對點M進行拖動，使得平面和圓錐的母線垂直時，得到的曲線是圓；拖動M使平面傾斜，截得的圓錐曲線是橢圓；繼續(xù)傾斜，使得平面與圓錐的一條母線平行時，得到的圓錐曲線是拋物線；繼續(xù)拖動點M，得到雙曲線。

3 結(jié)束語

Duval對幾何學(xué)習(xí)的理解與動態(tài)幾何中圖形的直觀呈現(xiàn)到知識建構(gòu)的過程是相符的。本文在CABRI 3D環(huán)境中，以Duval幾何學(xué)習(xí)的四個理解為理論基礎(chǔ)，以圓錐曲線為例，設(shè)計了一個認知過程。通過此過程設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者動手操作、自主發(fā)現(xiàn)、探索驗證、語言表述的能力，促進知識的建構(gòu)。CABRI立體幾何軟件為教授立體幾何提供了平臺，在此平臺下有助于空間圖形的直觀展示，有助于學(xué)習(xí)者知覺性理解的達成。而在此環(huán)境下通過對空間立體圖形進行操作，通過學(xué)習(xí)者自主動手操作達到“變中不變”，有助于學(xué)習(xí)者對空間立體圖形的構(gòu)成部分和各部分關(guān)系的理解，達到序列性理解和操作性理解，利用語言對得出的結(jié)論進行描述又有利于定理和概念的得出。筆者希望通過此過程設(shè)計，能為空間解析幾何和空間立體幾何的教學(xué)提供理論和實踐參考。

[1]鮑建生,周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海:上海教育出版社,2009.

[2]徐章韜.基于立體幾何智能教育平臺的TCK-功用-存在方式及教育意義[J].電化教育研究,2012(12):104-109.

[3]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2002版）[S].北京:人民教育出版社,2002.

[4]吳華,周玉霄.變異理論驅(qū)動下的動態(tài)幾何:變中不變[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010(6):26-29.