周期函數淺思

◆姜 平

(內蒙古呼倫貝爾市海拉爾鐵路第一中學)

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內任何一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做f(x)的周期。

為了體現出學生舉一反三的思維靈活性以及特有的數學邏輯，函數的周期也會以其他形式給出。

設a為非零常數

特例 1:若f(x+a)=－f(x)，則函數f(x)為周期函數，T=2a為它的一個周期。

證明:f(x)= －f(x+a)=f［(x+a)+a］ =f(x+2a)∴T=2a

評述:與定義相對比、f(x+a)=－f(x)中多一個負號所以T≠a，但以此式為依據展開數學邏輯推理，可得f(x)=－f(x+a)，把“x+a”看作整體，再依據已知等式即可得－f(x+a)=f［(x+a)+a］，即f(x)=f(x+2a)

特例3:若f(x+a)=f(x－ a)，則f(x)為周期函數，T=2a為函數f(x)的一個周期

證明:f(x)=f［(x+a)－ a］ =f［(x+a)+a］=f(x+2a)

評述:f(x+a)=f(x－a)描述的是函數的周期性，而f(a+x)=f(ax)描述的是函數f(x)關于x=a對稱的對稱性，二者應相互區別。

特例4:若函數f(x)同時關于x=a與x=b對稱(a＜b)，則函數f(x)是周期函數，T=2(b－a)是它的一個周期

證明:若函數f(x)關于x=a對稱，則f(a+x)=f(a－x)…………①

若函數f(x)關于x=b對稱，則f(b+x)=f(b－x)…………②

因此f(x)=f［a－ (a－ x)］

=f［a+(a－x)］……(依據式①)

=f(2a－ x) ……(T≠2a，繼續推理)

=f［b+(－b+2a－ x)］

=f［b－ (－b+2a－ x)］……(依據式②)

=f(2b－2a+x)

即 f(x)=f［x+2(b－a)］

特例5:若f(x)關于點(a，0)對稱同時關于點(b，0)對稱，則f(x)是一個周期函數，T=2(b－a)是f(x)的一個周期

證明:若函數f(x)關于點(a，0)對稱，則 f(a+x)= －f(a－x)…………①

若函數f(x)關于點(b，0)對稱，則f(b+x)=－f(b－x)…………②

因此 f(x)=f［a－(a－x)］

= －f［a+(a－x)］……(依據式①)

= －f(2a－x)

= －f［b+(－b+2a－x)］

=f［b－(－b+2a－x)］……(依據式②)

=f［(2b －2a)+x］

即 f(x)=f［x+(2b－2a)］

練習1:已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=－f(x)，

則f(2010)=________。

分析:

f(x+2)=－f(x)，根據特例1，f(x)是以4為周期的周期函數

因此f(2010)=f(502×4+2)=f(2)

由已知f(x)為定義在R上的奇函數

因此f(0)=0

因此f(2)=f(0+2)= －f(0)=0，即f(2010)=0。

練習2:f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)在［0，4)上單調遞增，若f(x+2)也為奇函數，試判斷f(x)在［4，8)上的單調性。

分析:

f(x)是定義在R上的奇函數

因此f(x)關于點(0，0)對稱

由已知f(x+2)也為奇函數

因此f(x)也關于點(2，0)對稱

依據特例6，f(x)為T=4的周期函數

由已知f(x)在［0，4)上單調遞增

因此在［4，8)上也單調遞增。

分析:由特例2可知f(x)是T=4的周期函數

因此f(5)=f(4+1)=f(1)=－5

而f(－5)=f(－5+4)=f(－1)

函數的周期性、奇偶性是函數在其定義域內的性質，是函數的整體性質。了解函數性質間的聯系，準確判斷，合理使用，可以大大提高分析、解決問題的能力。