關于不定方程

2014-11-30 13:44:00管訓貴

唐山師范學院學報 2014年2期

管訓貴

（泰州學院數(shù)理信息學院，江蘇泰州 225300）

管訓貴

（泰州學院數(shù)理信息學院，江蘇泰州 225300）

不定方程；解數(shù)；真因數(shù)；解序列

1 引言及主要結論

二十多年來，不定方程

的正整數(shù)解{ x1, x2, … ,xk}的確定已成為數(shù)論及其相關領域的一個引人關注的問題。

1985年，孫琦和曹珍富[1]給出了方程(1)的解數(shù)A(k)的下界，并指出(1)的解在計算機的模記數(shù)法中的數(shù)數(shù)。對于3≤k≤5，方程(1)的正整數(shù)解容易求出，即

1986年，孫琦和曹珍富[2]又證明了 (6)=17 A ：{2,3,7,43,1807,3263441}，{2,3,7,43,1811,654133}，{2,3,7,43,1819,2527 01}，{2,3,7,43,1825,173471}，{2,3,7,43,1945,25271}，{2,3,7,43,1871,51 985}，{2,3,7,43,1901,36139}，{2,3,7,43,2053,15011}，{2,3,7,43,2167,1 9841}，{2,3,7,43,2501,6499}，{2,3,7,43,3041,4447}，{2,3,7,43,3611,361 3}，{2,3,7,47,395,779729}，{2,3,7,47,481,2203}，{2,3,7,53,271,799}，{2,3,7,71,103,61429}，{2,3,11,23,31,47057}。

1997年，吳薇[3]證明了 (7)=27 A ，并給出了其全部正整數(shù)解。本文運數(shù)方程

解的若干性質，證明了

k≥7時， A(k +1)＞ A(k )。

首先我們注意到，若xi是方程(1)的解，則有 xi≠1，且i≠j時， gcd(xi,xj)=1。事實上，由(2)可得

根據(jù)(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式顯然不能有 xi=1的解。故不失一般性，我們可假定 1＜ x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1 若 u1,u2,… ,u7是方程

的正整數(shù)解，則 u1,u2,…,u7,u1u2… u7-1是(2)的一組正整數(shù)解。

證明直接驗證可得。

引理2 方程(4)共有26組正整數(shù)解：

證明參見文獻[5]。

引理3 若 u1,u2,… ,u6是方程

的正整數(shù)解，則 u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一組正整數(shù)解，其中

證明易知，

若u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一組正整數(shù)解，則

即

整理后可得(6)。

引理4 方程(5)共有9組正整數(shù)解：

證明參見文獻[6]。

引理5 設 1＜x1＜ … ＜xr（r＜7）滿足條件

如果存在正整數(shù)xr+1，…，x8， xr＜xr+1＜… ＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一組正整數(shù)解，則

證明由

知

又

故

證畢。

引理6 設 x1,x2,… ,x6是正整數(shù)，滿足

如果

則當且僅當

存在因數(shù)F使得

時，{ x1,x2,… ,x6,x7,x8}是方程（2）的正整數(shù)解，其中

證明參見文獻[3]。

3 定理的證明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26組正整數(shù)解：

1） x1=2,x2=3,x3=7,x4=43時， {x5,x6,x7,x8}可為

2） x1=2,x2=3,x3=7,x4=47時， {x5,x6,x7,x8}可為

4） x1=2,x2=3,x3=7,x4=67時， {x5,x6,x7,x8}可為{187,283,334651,49836124516793}；

5） x1=2,x2=3,x3=11,x4=17時， {x5,x6,x7,x8}可為{101,149,3109,52495396601}；

6） x1=2,x2=3,x3=11,x4=23時， {x5,x6,x7,x8}可為

7） x1=2,x2=3,x3=11,x4=25時， {x5,x6,x7,x8}可為

{29,1097,2753,144508961849}；

8） x1=2,x2=3,x3=11,x4=31時， {x5,x6,x7,x8}可為{35,67,369067,1770735487289}；

9） x1=2,x2=3,x3=13,x4=25時， {x5,x6,x7,x8}可為{29,67,2981,11294561849}。

由引理4知，

根據(jù)以上結果可以得到方程(2)的另外 370組正整數(shù)解，其中x1=2，x2=3，x3，x4，x5，x6，x7及x8為：

1）當x1=7,x2= 47,x3= 1807,x4= 3263443時，{x7, x8}可為

2）x3= 7,x4= 43,x5= 1823,x6= 193667時，{x7,x8}可為

3） x3= 7,x4= 47,x5= 395,x6= 779731時，{ x7,x8}可為

4） x3= 7,x4= 47,x5= 403,x6= 19403時， {x7,x8}可為

5） x3= 7,x4= 47,x5= 415,x6= 8111時， {x7,x8}可為

6）x3= 7,x4= 47,x5= 583,x6= 1223時，{x7,x8}可為

7） x3= 7,x4= 55,x5= 179,x6= 24323時， {x7,x8}可為

8） x3= 11,x4= 23,x5= 31,x6= 47059時，{ x7,x8}可為

因此，A(8)≥396。

不難確定 x1= 2或3。事實上，假定 x1＞ 3，則

數(shù)假定矛盾。

數(shù)d (xk)表示xk可能取到的正整數(shù)的個數(shù)。由引理 5知，k≥2時，

若x1= 2，則 x2＞ 2， d ( x2)≤11； x3＞ 6， d ( x3)≤29；x4＞ 42， d (x4)≤167； x5＞ 1806， d (x5)≤5417； x6＞ 3263442，d (x6)≤6526883； x7＞ 10650056950806，d (x7)≤ 1065005695 0805。此時方程（2）的正整數(shù)解的個數(shù)不超過