一類特殊的Sturm-Liouville 問題第一特征值的估計

周振寧

(天津商業大學寶德學院基礎教研室,天津 300384)

一類特殊的Sturm-Liouville 問題第一特征值的估計

周振寧

(天津商業大學寶德學院基礎教研室,天津 300384)

為了更精確地研究 Sturm-Liouville 問題第一特征值,本文主要討論一類特殊的 Sturm-Liouville問題第一特征值關于勢函數的依賴性。應用變分原理,估計了此類特殊的 Sturm-Liouville問題第一特征值在不同參數值下的界限,并證明出其中的一些界限是可以達到的,為Sturm-Liouville問題第一特征值的逼近提供了更好的理論基礎。

特征值 勢函數 極小化序列

Sturm-Liouville問題理論在數學和物理中起著重要的作用，在過去的十幾年里許多學者對Sturm-Liouville問題的特征值關于邊界的依賴性進行了深入的研究[1-3]。近年來大部分關于 Sturm-Liouville問題的工作都集中在特征值的逼近方面。施德才討論了自伴常微分算子特征值的解析重數和幾何重數的關系[4]，王艷基于微分方程基本解，研究了具有光滑勢函數的S-L問題特征值和規范常數的高階漸近式[5]，馬美絨通過微分方程基本解的高階展開式，研究了邊界條件中含譜參數的Sturm-Liouville算子特征值的漸近展開式.進一步利用初值問題解的漸近估計，并借助于一個積分恒等式，采用留數方法，得到了邊界條件中含譜參數的2×2Sturm-Liouville問題特征值的跡公式[6]。

本文研究了類特殊的 Sturm-Liouville 問題第一特征值，估計了此類特殊的 Sturm-Liouville 問題第一特征值在不同參數值下的界限。

考慮Sturm-Liouville 問題

滿足邊界條件：

其中α為一實數，且α ≠0. 基于變分原則，我們有第一特征值

令

我們來估計

下面得到我們的主要結論.

若 α ≤-1，則

mα=C()α

且Mα= ∞.并且存在函數.使得

這里

證：令a≤-1，則1≤r＜2，根據Ho˙˙lder不等式，有

我們有

所以 m≥1.

考慮一個極小化序列{yk}，滿足

又因為函數z(x)滿足歐拉—拉格朗日等式

用z'(x)乘以上述方程并積分，得到

于是得到

做變量替換z=My，我們得到等式

因為

所以

[1]KONG Q, ZETTL A. Eigenvalues of Regular Sturm-LIouville Problems[J].J Differentail Equations,1996,131：1-19.

[2]KONG Q, ZETTL A. Dependence of Eigenvalues of Regular Sturm-LIouville Problems on the Boundary[J].J Differentail Equations,1996,126：389-407.

[3]Rostyslav O.Hryniv,Yaroslav V. Mykytyuk.Inverse spectral problems for sturm-liouville operators with singular potentials,II.Reconstruction by two spectra[J]. North-Holland Mathematics Studies,2005,29：26-37.

[4]施德才.多區間上自伴Sturm-Liouville算子和高階常微分算子特征值的重數關系[D].南京：南京理工大學,2009：59-102.

[5]王艷.Sturm-Liouville問題特征值的漸近性及其對反問題的應用[D].西安：陜西師范大學,2011：115-152.

[6]馬美絨.三類Sturm-Liouville特征值問題[D].西安：陜西師范大學,2013：1-47.

In order to study the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem more precisely, in this paper, a special Sturm-Liouville problem is considered and the dependence of the first eigenvalue on the potential is studied. The boundary of the first eigenvalue with different values of the parameter is estimated and some of them can be get based on the variational principle.It provides a better theoretical basis for the first eigenvalue approximation problem.

eigenvalue potential minizing sequence