函數微分學的學習探究

覃海英

摘 要： 函數的微積分是高等數學的主要內容，函數的微分是積分的基礎，所以只有學好用好函數的微分，才能輕松地學好高等數學.

關鍵詞： 高等數學 導數 微分

本文通過剖析一元函數導數及其微分的概念，幫助讀者深入理解這兩個概念，不但學會求函數的導數和微分，還進一步知道導數和微分在實際問題中具體應用.

一、函數導數反映的是函數相對于自變量變化快慢的程度（變化率）

現實生活中一個量相對于另一個量的變化率問題是普遍存在的，當研究運動的各種形式時，都要從數學上研究函數相對于自變量的變化快慢程度，如電流、化學反應速度、生物繁殖率等，而當物體沿曲線運動時，還要考慮速度的方向，即曲線的切線問題.所有這些在數量關系上都歸結為函數的變化率，即函數的導數.

導數概念的原型是引例1.變速直線運動的速度和引例2.切線問題（略）.

上面兩個實例的具體含義是不同的，但解決問題的思想和方法都是先用公式求近似值，再借助于極限的方法求其精確值，最終都歸結為計對于時間t的變化率（電流）.

為什么通過講解引例1和引例2的講解，最后要抽象出一個新的概念——導數？

原因就是想尋找一種簡便方法（導數）處理這類（變化率）問題，所以我們要知道反過來導數就可以用于解決此類問題.既然用導數求解變化率簡便，那就要會求函數的導數.所以本章計算的重點就是求函數的導數.

因為高數研究的主要對象是初等函數，而初等函數是由基本初等函數（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數）和常數經過有限次四則運算或有限次的復合步驟所構成的.所以根據導數的定義求出常數和基本初等函數的導數，它們的結果（16個）就是導數公式.再根據導數的定義和極限的運算法則推出導數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則（要掌握此法則必須要掌握復合函數的復合過程）.熟記以上16個公式和兩個法則，求導數就沒問題了.

二、函數的微分描述的是當自變量有微小變化時，函數大體上變化多少（近似值）

在許多實際問題中，需要計算當自變量有微小變化時函數的改變量.如果函數的表達式y=f（x）較復雜，△y的精確計算就會相當麻煩，這就需要尋求一種簡便的方法（微分）求函數改變量的近似值，為此給出函數微分的概念.

微分概念（略）.

一元函數可微與可導是等價的.設函數y=f（x）可導，則函數y=f（x）的微分dy=f′（x）=dx，即

根據誤差理論及微分的概念可知，現實中參數的誤差可以用其微分代替.已知函數φf（x），如果自變量x的誤差為dx，則由此導致函數φ所產生的誤差為

dφ=|f′（x）dx|

如例5可解析為：做一個邊長為2cm的正方形零件，由于各種原因最后加工成的正方形的邊長為1.9cm（縮短了0.1cm），則實際零件的面積通過上述分析，在學習微分學中一定要做到理解概念，知道概念的原型即概念產生的背景，這樣才能學好用好它.以上是筆者對學習函數微分的一些體會，希望能為讀者的學習提供幫助.