對(1± 1)n 兩種系數展開式上線性區域的解析初步
——基于quot;牛頓三角形quot;性質的研究與探討㈠

王以將 劉忠 王紅霞

(1.江蘇省阜寧縣羊寨鎮農業經濟服務中心,江蘇鹽城 224415;2.桂林理工大學,廣西桂林 541006)

對(1± 1)n兩種系數展開式上線性區域的解析初步
——基于quot;牛頓三角形quot;性質的研究與探討㈠

王以將1劉忠2王紅霞2

(1.江蘇省阜寧縣羊寨鎮農業經濟服務中心,江蘇鹽城 224415;2.桂林理工大學,廣西桂林 541006)

“楊輝-牛頓三角形”已經將二項系數的展開式表示為數圖化的圖形形式,然發現其延展出的可糅合性、命名性、滑動性、連貫性、線性區域這五種特性,可使牛頓三角形內任意兩點間,都可建立起連貫性的關系式;將 (1± 1)n兩形式的系數展開式及其示圖,糅合成一個新的三角形“△”后,仍清晰反映兩形式系數的不同角度與方向上的點、行、列之間的線性連貫關系,可發現更多性質,新產生性質公式275個。

性質(含公式) 應用公式 線性關系區域 不同角度與方向

二項式系數的展開已經組成“楊輝-牛頓三角形”,在此基礎上,我們依據 (a+ b )n與 (a-b )n形式或合略稱 (1± 1)n兩形式所組成的三角形的可揉合性,結合成一個新的三角形“△”后,其各自部分仍保持原有的性質不變．通過數圖化的圖形形式,發現其延展出的可揉合性、命名性、滑動性、連貫性、線性區域這五種特性,其中最重要兩點命名性、連貫性,可使牛頓三角形內任意兩點都可建立起連貫的線性關系式．且由一點起經與有關行或列上的移動性連續運算是本文的主要方法與特點,可省卻大量繁重的歸納演繹推導；故新三角形“△”,仍清晰反映不同角度與方向上的點、行、列之間的線性連貫關系,新產生性質公式275個。

1 新三角形“△”具有的五種特性

牛頓三角形對于 (1+ 1)n形式系數展開式采用了數字表示法,據此也可將 (1- 1)n形式三角形表示出來．并根據 (1± 1)n兩形式三角形的五種特性所構成不同角度與方向上的線性區域及線性連貫關系。以示圖形式作一簡要描述,見圖1-1。

(1)可揉合性。新三角形“△”,仍可以保持它們各自原有的一些性質定理的存在,同時以行n’為界線行置于 (1- 1)n的可視起始處,自然分為上、下各自部分,在閱讀上仍較方便．

圖1-1

(2)可命名性。除了行的概念外,圖中有列的概念,即對每一斜向的列可進行命名．而斜列的表示法,如圖:由上右至下左方向排列的分別稱第1、2、3、…左斜列,用符號“1/”、“2/”、“3 /”、……表示；由上左至下右方向排列的分別稱第1、2、3、…右斜列,用符號“1”、“2”、“3”、……表示。例某一點或(-),可表示在第n行上,同時在第“(m+1)/”上,也在第“(n-m+1)”上．從圖形上反映標示位置,左斜列在圖形右側,右斜列在圖形左側。

(3)可滑動性。以界線行n’為滑動線,作上、下、左、右滑動,都可反映兩形式的上、下各自部分的正、負符號的隨機變化。如實現在計算機應用領域能自動控制滑動則更好。當處于 (1+ 1)n形式時,每項(點)前符號都屬于正號；處于 (1- 1)n形式時,每上標為零與偶數位項時屬于正號,每上標為奇數位項時屬于負號。

(4)可連貫性。新三角形“△”內部,任一最小的倒等邊三角形“ ▽”的三個相鄰項(點)之間都存在6個互逆的關系式,由此外延,對應于某一原項(點)P0[稱Cmn或(±)]的其它項(點)Pr,都存在對應于原點 P0的線性連貫關系式,且通過示圖及移動運算式可得到推導[將“△”左或右外的項(點)的值為0時,在圖形中用空項“□”符號表示其位置]。

(5)線性區域。若干對應于某一項(點)P0的其它項(點)Pr,都存在對應于原點P0的角度問題,可用公式0．5H)]來表達[I、H分別表示橫、縱向上的移動運算步(項)數]。但公式使用起來多數情況下其角度難以確切表示．但某些角度仍可確切掌握清晰,例每相隔30度的0°、30°、60°、90°、120°、150°、180°、210° 、240°、270°、300°、330°這12個方向的對應角度項(點)。

根據科學出版社出版的,由胡國定等編寫的《簡明數學詞典》2000年11月第1版第9章“組合數學-圖論”中第495頁的兩處介紹組合數性質與組合恒等式[及同包含龍門書局出版社2002年1月第1版源流等編寫的《發散課堂大思維》·高二代數(下)·試驗本第158頁],目前排列數、組合(數)恒等式有9個]共有10個。而據http://baike．so．com/doc/5534332．html網國外狀況部分介紹“:組合數學在國外早已成為十分重要的學科,甚至可以說是計算機科學的基礎。一些大公司,如IBM,ATamp;T都有全世界最強的組合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近來也在提倡和支持計算機科學的基礎研究。例如,Bell實驗室的有關線性規劃算法的實現,以及有關計算機網絡的算法,由于有明顯的商業價值,顯然是沒有對外公開的”。根據胡國定等編寫的《簡明數學詞典》提及的10個組合數性質與恒等式進行比照,例(見參考文獻[1])( ±)=(±)+(?):

(1)組合數性質[帕斯卡公式(Pascal)]；

(2)組合恒等式(combinatirial identity)。

其中除5．6．8．9．中的部分外,大部分能在本文的移動運算中找到它們的存在之處。

鑒于此本文從任一行與緊鄰下一行上或任一列與緊鄰一側列上的兩點間的可產生的運算關系式類型,進行多種方向上的關系式類型的推導。產生新性質(含公式)94個,另含附類屬公式181個合275個,預計產生應用公式3760個,總推得公式3854個,另有14處為原已存在的性質公式即原有恒等式(以下“結果值”一詞簡化用符號“※”表示)。

2 新三角形“△”內一行上的一般線性連貫關系

指完全一行上的前、后半數項之和與中項問題,及隔位項之和問題分兩部分說明,存在性質(含公式)1～12合12個,其中新產生性質公式8個。

2.1 完全一行上的前、后半數項之和與中項問題

存在新產生性質(含公式)1～8合8個。

2.1.1 對于 (1+ 1)n形式

完全一行上的前、后半數項之和相等且都為2n-1,⑴．當n為偶數時,前、后半數項之和同加單一最中間項的一半,其值為2n-1；⑵．當n為奇數時,前、后半數項之和分別加前、后相等的兩個最中間項,其值相等都為2n-1．存在新性質(含公式)1～2合2個。

⑴．當n為偶數時(共含奇數個項),前、后半數項之和同加單一最中間項的一半 1 /2時,其值為2n-1,見圖2-4．性質,公式1；

圖2-4

⑵．當n為奇數時(共含偶數個項),前、后半數項之和分別加兩個前、后相等的最中間項時,其值相等都為2n-1,見圖2-5．性質

圖2-5

2.1.2 對于 (1- 1)n形式

存在⑴．當n為偶數時,完全一行上的前、后半數項之和(同加本行單一最中間項)相等,其值為上一(奇數)行的同左斜列項即后一中間項[且n/2為偶數,即n≡mod(4,0)]或( -)[且n/2為奇數,即n≡mod(4,2)],且當n為偶數時,前、后半數項之和僅同加本行單一最中間項的一半,其和值為0；⑵．當n為奇數時(有前、后兩個最中間項),前、后半數項之和互為相反數,其值為上一(偶數)行的同左斜列項即單一最中間項[且n為奇數,即(n-1)/2為偶數≡mod(4,2)]或[且n為奇數,即(n-1)/2為偶數≡mod(4, 0)]．存在新性質(含公式)3～8合6個。

下面分別敘述:(1)．當n為偶數時(共含奇數個項,僅含1個最中間項),(1)-①．且n/2為偶數,即n≡mod(4,0),見圖2-6．因自上一行一端起與本行的連續運算(同加本行單一最中間項)的結果值等于上一行的同左或同右斜列項上的值,證明過程如下(以下此推導證明方式相同；故從略):

因其同一行上前、后半數項之和是相等的,所以(此處同加本行單一最中間項),其值為上一(奇數)行的同左斜列項即后一中間項

圖2-6

⑴-②．且n/2為奇數,即n≡mod(4,2),見圖2-6．前、后半數項之和相等[此處同加本行單一最中間項(-)],其值為上一(奇數)行的同左斜列項即后一中間項 (-),性質

⑴-③．并n/2為偶數,即n≡mod(4,0),前、后半數項之和相等且僅同加本行單一最中間項的一半 1 /2,其和值為0,因同時符合了上一(奇數)行互為相反的前、后雙中間項之和為0,性質

⑴-④．并n/2為奇數,即n≡mod(4,2),前、后半數項之和相等且僅同加單一最中間項的一半 1/2( -),其和值為0,因同時符合了上一(奇數)行互為相反的前、后雙中間項與( -)之和為0,性質

(2)當n為奇數時(共含偶數個項,有前、后兩個最中間項),(2)-①．且(n-1)/2為偶數≡mod(4,2),前、后半數項之和互為相反數,其值為上一(偶數)行的同左斜列項即單一最中間項；(2)-②．且(n-1)/2為偶數≡mod(4,0),前、后半數項之和互為相反數,其值為上一(偶數)行的同左斜列項即單一最中間項見圖2-7。

圖2-7

⑵-①．并(n-1)/2為偶數≡mod(4,2),前、后半數項之和互為相反數{此處前、后分別加本行兩個最中間項其值為上一(偶數)行的同左斜列項即單一最中間項C(n-1)/2,見圖2-7．性質。

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（2)-②．并(n-1)/2為偶數≡mod(4,0),前、后半數項之和互為相反數{此處前、后分別加本行兩個最中間項其值為上一(偶數)行的同左斜列項即單一最中間項 [- C(n-1)/2],見圖2-7．性質。

2.2 完全一行上的隔位項之和問題

存在性質(含公式)9～12合4個,全為原已存在的性質公式。

2.2.1 對于 (1+ 1)n形式

完全一行上的偶、奇數位隔位項之和相等同為2n-1,存在性質(含公式)9～10合2個．得出2個性質(含公式)同屬于原有恒等式。

⑴．當n為偶數時(共含奇數個項),偶、奇數位隔位項之和的值都為2n-1,參考見圖2-4．性質公式9(此符合原已存在性質公式)(上標偶次項和)(上標奇次項和)即屬原有恒等式n正整數。

⑵．當n為奇數時(共含偶數個項),偶、奇數位隔位項之和的值都為2n-1,參考見圖2-5．性質公式10(此符合原已存在性質公式),(上標偶次項和即屬原有恒等式n正整數．

(1）．當n為偶數時(共含奇數個項),參考見圖2-6．偶、奇數位隔位項之和互為相反數,其值分別為2n-1、(-2n-1),性質公式11(此符合原已存在性質公式),

2.2.2 對于形式 (1- 1)n無論n為偶或奇數

絕對值同屬于原有恒等式

K=0K=0

⑵．當n為奇數時(共含偶數個項),參考見圖2-7．偶、奇數位隔位項之和互為相反數,其值分別為2n-1、(-2n-1),性質公式12(此符合原已存在性質公式),

[1]胡國定等.簡明數學詞典,北京:科學出版社,2000,11:495.

[2]源流等.發散思維大課堂,高二代數(下)·試驗本,北京:龍門書局出版社,2002,1:158.

王以將(1950—),男,農藝師,漢族,江蘇阜寧人,畢業于江蘇農學院.先后入編世界與國內優秀專家人才名典等.發表文章30余篇,獲國際與國內優秀獎57項;涉及數列應用(農業類)的“植物分枝(蘗)的兩種數學模型求解公式”一文在《中國科技財富》2009年第11期(下)登載.本文的前身是簡要的《用滑動性六翼形區域解牛頓三角形之謎》,在2003年“第二屆中國科學家”論壇上獲二等獎.現經系統整理于下(全文約1200頁).