隨機微分方程在人口預測中的應用

單傳朋 淩斌斌 張偉

(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

隨機微分方程在人口預測中的應用

單傳朋 淩斌斌 張偉

(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

本文對中國總人口數量構建隨機Logistic模型,結合歷史數據估計了模型參數,利用該模型對中國總人口數量進行了預測,預測結果較好。

隨機微分方程 極大似然估計 隨機Logistic模型

人口問題是當前世界上人們最關心的問題之一。認識人口數量的變化規律,作出較準確的預報,是有效控制人口增長的前提之一。

假設人口增長服從Logistic模型:

1 參數估計

李群[1]在 K已知或者可以估計出的條件下,給出了 r和 β的極大似然估計(取 θ=1情形):

其中環境最大容量 K是常數,于是假設 K不受隨機擾動的影響,利用常微分方程估算出來的 K的值可以用于隨機情形。在這里直接對(2)式所對應的(1)式對 K用數據擬合。

選取1990-2013年全國人口總數(萬)來估計參數,數據[2]如表1:

由趙靜[3]擬合可得環境容量 K=143654.342, β=0.01021501845 98, r=0.06633254401474。

表1

表2

表3

2 模擬仿真

將所得模型離散化,時間間隔取1年,得到:

其中 dB為標準布朗運動在一個單位時間的增量。

通過編寫Matlab[4]程序將參數帶入模型進行計算可以計算出人口的擬合值:

從表2可以看到誤差百分比(絕對值)都大概在0.2%左右,并且計算得到其平均值是0.2056%,模型擬合的效果非常好,利用此模型來對未來人口數量進行預測(如表1)。

圖形中用’+’表示真實的人口數據,連線表示從1991年到2013年的擬合值,后面的’o’表示對未來10年(2014年到2023年)的預測值

(見圖1)。

3 結論與展望

通過所給數據和圖形的結果可以看出,由于人口會經常受到環境白噪聲的干擾,隨機Logistic模型的擬合效果相當好,同時也可以看出隨著時間的推移和人口的增長,人口的自然增長率呈現出負指數的下降趨勢,并逐漸趨近于零,人口在十年后趨近于13.9557億左右。而加入了隨機擾動之后的Logistic模型對于預測有了更好的效果,通過檢驗可以看出模型的擬合效果非常顯著,同時可以看出人口在二十年之后會向14.1億左右趨近并得到平衡。

[1]李群.一類隨機微分方程的參數估計[M].應用數學.2012,25(4):771-776.

[2]http://www.stats.gov.cn/tjsj/.

[3]趙靜等.數學建模與數學實驗[M].北京:高等教育出版社,2000.

[4]Desmond J. Higham An Algorithmic Intr oduction toNumerical Simulation of Stochastic Differential Equations .SIAM REVIEW.2001,43 (3): 525-546 .

單傳朋,淩斌斌,安徽工程大學數理學院統計學系102班。

安徽工程大學大學生創新訓練項目 (201210363209),安徽工程大學教研項目(2010xjy32) 安徽工程大學青年基金資助項目(2005YQ006)。