基于反距離夾角加權算法的地理信息空間內插方法

何立恒，鮑其勝，王 慶

(1.南京大學地理與海洋科學學院，江蘇南京210046;2.南京林業大學土木工程學院，江蘇南京210037;3.南京市測繪勘察研究院有限公司，江蘇南京210019)

一、引 言

在地理空間信息領域，為了獲得空間信息，需要實測空間數據，而實測的空間數據往往是離散點的形式，或者是分區數據的形式［1］，這些實測的空間數據集被稱為已知的空間樣本，實測的點則被稱為已知樣本點。即使實測空間數據達到相當的密度，也不足以表示復雜的地理空間形態，亦即常規方法無法對地理空間中所有點進行觀測，因此需要通過空間內插來增補表達地理空間的空間數據。

空間數據內插是用實測的空間數據來估算(預測)未知空間數值的過程［2］。根據已知的離散點數據或已知的分區數據來估計(推算)任意點或區域數據的方法稱為空間內插，前者稱為點內插，后者稱為面內插［3］。通過內插可以生成或補充已知數據的不足，廣泛應用于等值線制作、高程模型建立、數據格網化和地理區域空間分析與比較研究等。

1970年，美國地理學家W.R.Tobler提出地理學第一定律，指出“任何事物都是與其他事物相關的，但是距離近的事物比距離遠的事物相關性強”，這也是一切空間內插方法的依據［4］。空間內插方法眾多，各方法又有其本身的諸多前提、參數、適用范圍等，但從本質上說，內插均遵循的是臨近點之間具有相似性這一原則［5］。就目前的研究而言，大多數的內插是根據周圍的已知數據，從這些已知數據推求一個函數關系式，使該關系式最好地逼近這些已知的空間數據，并能根據該函數關系式推求出區域范圍內其他任意點或任意分區的值［6］。通常被熟知和利用得較多的就是點內插。

二、反距離加權法及存在的問題

1.反距離加權平均算法介紹

在空間點內插時，反距離加權插值(inverse distance weighting，IDW)具有計算相對簡單、操作便利等特點，是常用的幾何內插方法之一。該方法認為與內插點距離最近的若干個已知樣本點對內插點值的貢獻最大，其貢獻大小與距離成反比［1-8］。其數學理論是加權平均，即將已知樣本點各數值乘以相應的單位數(權數)，然后加總求和得到總體值，再除以單位數之和。假設xi為已知樣本點，wi為已知樣本點對應的權數，y為加權算術平均數(即預測值或內插值)，則加權算術平均數的計算公式為

反距離加權法中的權數wi由式(2)來確定，為

式中，PDi為內插點與已知樣本點之間的距離;u為距離PDi的冪。

由式(1)和式(2)可得反距離加權平均數的計算公式為

反距離加權法中，需要考慮距離的冪和鄰域搜索范圍兩個影響因素［7］。Husar等［9］的研究結果表明，冪越高，內插結果越具有平滑的效果。u即為控制參數，u值越大，權重隨距離增大衰減得越快;反之，u越小，權重隨距離增大衰減得越慢，一般u取1～3［3］。同時，在給定鄰域搜索范圍后，可利用的已知樣本點就具有確定性。從內插方法的誤差公式可明顯得出，已知數據的間距大小是影響內插精度的最重要因素，間距越小，精度越高［10］。

2.反距離加權平均算法存在的問題

假定在內插點所用的已知樣本點中，其中只有一個點距離內插點很近，其他很多已知樣本點距離內插點較遠，但這些較遠的已知樣本點差不多都在同一位置(也可認為是重復點)。這種情形運用反距離加權法將導致計算的內插值不接近距離近點值。因此，探索新的加權因子，提高地理信息空間模擬的逼真性和合理性是非常必要的。

如圖1所示，假定已知樣本點A與內插點P的距離為1個單位，點值為2.00，另10個已知樣本點B1、B2、…、B10與內插點 P 的距離為10個單位，點值均為20.00。B系列點是彼此很近的點或者就是重復點，為了更好地反映重復點的影響，這里取冪值u為1(以下計算均取冪值u為1)，依反距離加權算法，利用式(3)計算P點的內插點值為=11.00，此值相對靠近較遠的B系列點的值，不接近距離近點A的值。

圖1 內插點位圖1

實際上，由于點值為20.00的點基本在空間同一位置，相當于重復點或者就是重復點，在實際內插作業中所發揮的作用應類同于一個點，則此時內插點P的值應為3.64，此內插值接近較近點A點值。

探索既考慮已知樣本點與內插點之間的距離，又考慮已知樣本點在內插點周邊的方位分布和密度的加權因子，將解決上述問題。

三、反距離夾角加權算法

在土方工程量計算的野外數據采集時，地形規則的地區，采點相對稀疏，而地形變化復雜的地區，點位采集相對密集。除了距離這個因素影響內插點外，再引入夾角作為定權要素，提出反距離夾角加權算法，可以解決已知樣本點在內插點全圓方位上分布不均及已知樣本點疏密不勻對內插值的影響。

距離定權方式不變，夾角則選擇以內插點為頂點，內插點與所有已知樣本點所構成的最小角為其權值。圖1 中，以P 點為頂點，P 點與B1、B2、…、B10這10 個點中任意兩點所構成的夾角顯然比P點與B1、B2、…、B10中任意一點和A點所構成的夾角要小得多。引入距離和夾角作為定權因子，樣本點的權值計算公式為

式中，pαi為夾角權因子，取內插點與已知樣本點和其余已知樣本點中的最小夾角;pDi為距離權因子，取內插點到已知樣本點的距離。

由式(1)和式(4)得反距離夾角加權平均數計算公式為

假定的距離值及樣本點的點值不變，設P點與A點和B1～B10點所構成夾角的最小角為120°，P點與B1、B2、…、B10中任意二點構成的最小夾角為0.5°，代入式(5)，可得利用反距離夾角加權法計算內插點的點值約為2.07。

此值更接近較近點A的值，減弱甚至消除已知樣本點密度不均和在內插點全圓方位分布不勻對內插值的影響。

四、內插過程及實例比較分析

1.內插過程

反距離夾角加權算法進行幾何內插的步驟如下:

1)設計內插規則，確定內插點的位置。在數據內插處理中，一般是先設計內插規則，內插規則確定了內插點的位置。DEM構建、數據的格網化、圖像變換處理等都是先設計內插規則。圖2即為規則格網DEM矢量數據內插圖，離散點為已知樣本點，方格頂點的值需內插得出。

圖2 規則DEM內插格網點及已知樣本點值圖

2)根據內插點的數據特征，選定與內插點具有相同數據特征的可利用已知樣本點，圖2中所有離散點即為可利用已知樣本點。

3)在已知樣本點中選取某一內插點的可用點集S，已知樣本點的選取可以根據距離和數量等因素來確定，選取的原則有兩個方面:一是已知樣本點的位置相對內插點應盡可能均勻分布;二是所選取的參與計算內插值的已知樣本點數目應該適當。一般是以內插點為圓心，給定搜索半徑，在搜索半徑內找已知樣本中的該內插點的可用點集S，總數為N;若不夠點數，便加大搜索半徑，直至搜索半徑上限或顯示已知樣本點不夠。若是規則內插，搜索半徑一般為規則內插點間距的1～2倍，N≥3。

4)在S中選取任意已知樣本點Ni，計算此內插點與已知樣本點Ni之間的距離Di，計算此內插點與Ni和S中其余已知樣本N-1個點的夾角，在N-1個夾角值中篩選出最小值得αi。若出現樣本點重合或在同一方向線上，此夾角值為零。為了充分利用所有的樣本點，避免夾角權值為零而影響Wi，可以將αi給定一微小值，如10-6。

5)重復步驟4)，分別求此內插點與點集S中其余N-1個已知樣本點間的距離D和最小夾角α。

6)利用式(5)計算內插點的內插值。

7)重復步驟3)—步驟6)，直至所有內插點的內插值計算結束。

2.實例比較及分析

用不同的內插方法對圖1和圖3—圖7進行內插值計算。假設圖中都只有一個點值為2.00的已知樣本點A，并與內插點的距離都為1;其他已知樣本點B1—B10的值均為20.00，并與內插點的距離為10或5;樣本點值的單位可以為米或其他，各方法計算出的內插值的單位與樣本點值的單位相同;距離和角度的單位可以是任意長度單位和角度單位。計算結果見表1。

圖3 內插點位圖3

圖4 內插點位圖4

圖5 內插點位圖5

圖6 內插點位圖6

圖7 內插點位圖7

在內插理論中，當內插點正好位于已知樣本點位置時，可認為內插特征值就是該已知樣本點值，亦即此點不需要內插。設計實例用反距離夾角加權法進行內插時，充分考慮到內插點P接近已知樣本點A，這樣，可假定內插真值接近A點值。從表1可以看出，相對于算術平均值法和反距離加權法，反距離夾角加權法內插結果波動范圍小，也更接近假定內插真值，而鄰近點值法的值只跟最近點值有關，無論其他樣本點怎樣變化。當已知樣本點少于3個或在全圓方位上分布均勻時，反距離夾角加權法和反距離加權法推求的值是相等的。

表1 不同內插算法計算結果表

五、結束語

空間內插是用已知樣本點的數據來估算內插點的數值過程，把離散數據轉換成規則數據或增加內插數據。從反距離夾角加權算法應用在地理信息空間數據內插中可以看出，當已知樣本點只有一個時，該算法相當于最鄰近值法;當只有兩個已知樣本點，或者多于兩個已知樣本點并且點位在全圓方位上分布均勻時，夾角權相等，該算法相當于反距離加權法;多于兩個已知樣本點，但已知樣本點密度和方位分布不均，反距離夾角加權法能減弱甚至消除其影響，保證內插值接近近點值?？梢哉f，反距離夾角加權法是鄰近值法和反距離加權法的改進和提伸，提出的距離加夾角的定權方法能有效減弱甚至消除在內插過程中所選定的已知樣本點在內插點全圓方位上分布不均及已知樣本點疏密不勻對內插值的影響?；诩訖嗥骄碚?，提出的反距離夾角加權算法將廣泛應用在建立DEM及圖像處理等地理空間信息數據內插中。

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