立足新課程，尋求通法求解的高三課堂有效教學方法
——以解三角形中最值范圍問題為例

吳依妹

（福建省閩侯縣第一中學，福建 閩侯）

高三復習課與高一、高二一樣，每節課必須以新課程目標為依據，結合自己任教學生的實際情況，制定切實有效的具體課程目標和課堂教學目標。復習什么、怎么復習、要達到怎樣的復習效果，是每個高三教師要思考的三大問題。以高三復習中的解三角形最值范圍問題為例，其是在復習了正弦定理、余弦定理應用，三角函數和基本不等式知識的基礎上對學生系統綜合應用的復習內容，難度大，題目深，是高考常考的解答題或者填空題，課堂教學目標是讓學生學會應用正余弦定理解決實際的三角形中最值和范圍問題的通解通法。教師必須有自己的教學設計思路，通過有效問題層層遞進，構建學生為主體、教師為主導的高效復習課堂，加強學生的數學核心素養培養，注重思想方法的形成過程。解題應該追求“通法”，通法才具有普遍性、指導性，符合學生的認知規律。以下從課堂的五個環節談談一節課如何設計讓學生分層次地達到有效探究、有效復習并會內化應用的目的。

一、創設數學情境，讓學生感知數學求解的背景

在數學課堂上，問題情境的設置是重要的前提、基礎。數學問題情境是學生產生解決問題的動機。創設問題情境幾乎成了教師每節課的常規環節。心理學和教育學知識告訴我們，問題情境要有多重刺激模式，可以在數學課堂一開始就觸動到學生的大腦神經，讓學生動起來，思維也開始運轉。問題情境如湯之于鹽，鹽可單獨吃，但不能多吃，放之于湯方能彰顯美味與活力。這節課一開始我們可以設置這樣兩個問題：

問題1在△ABC中，已知c=4，求a的值.

解決這個問題對學生來說并不困難，只要進行化簡，由正切值求出∠A，進而通過三角形的余弦定理就能快速解決問題。

但是如果繼續引出下面的問題2呢，學生開始發現條件變少了，所求的邊就不是定值了，而變成了范圍問題。教師可以在解題過程中引導學生動手畫圖，實踐操作，感知數學的變化特征，初步對所求的邊的變化形成一定的認識。這是解決數學問題的一般慣性思維，從條件出發，正面思考，有效解決。

問題2在△ABC中，已知求a的取值范圍.

教師拋出問題后讓學生思考，要想解決這兩個問題，先回顧一下求解三角形的基本方法是什么。學生回顧高中所學的解三角形中“知三求三”（已知三邊、已知兩邊一角、已知兩角一邊），改變了條件——只有兩個條件，思考：條件不夠怎么辦？該怎么解決這類已知一邊和一角的范圍問題，讓學生學會思考如何用學過的知識與方法。

二、進行數學探究，抽象求解特征

數學解題過程是基礎性與思想性的綜合過程，既要整體研究，又要觀察入微。教師先動態演示邊的變化情況，讓學生感知數學求解的背景，看到邊的變化過程，進一步思考解決這類問題的方法。師生互動探究，結合所學正弦定理或者余弦定理都可以求解。

解析：（方法1）設∠B=θ，則

即

所以，a∈（2，+∞）.

又c＞0，得a2＞4，

故a＞2.

教師引導學生從兩個角度構造邊的函數，一種通過正弦定理化為關于邊的函數，一種利用余弦函數化為關于角的函數，最后利用函數思想，通過函數范圍求出邊的范圍。在這個過程中，學生學會了數學探究過程與抽象出數學求解特征并對比二者的不同點和共同點。學生做到這點不僅掌握數學基礎知識與思想方法、解題經驗，還在心理上超越了自我。

三、體會數學感悟，概括求解要義

在有求解特征的引領之下，教師繼續追問一道高考真題，引起學生的興趣。學生小組進行深入討論。

問題3（2020年高考全國卷二理數17）

在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A.

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

對于第1小題，問題解決相對容易，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理就可計算出來。解析：（1）因為sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，由正弦定理可得，a2-b2-c2=bc，即b2+c2-a2=-bc，

由0＜A＜π可得

第2小題已知一角及對邊的情況，如何求出周長最值是難點。

（2）法一：設B=θ，則

通過前面的抽象特征結合此題，方法一還是選擇正弦定理引入角做變量再結合所學的輔助角公式化簡變構造函數，由函數自變量范圍求出最值。

有b2+c2+bc=9，即（b+c）2-bc=9，

即bc=（b+c）2-9，

第二種方法是運用余弦定理引入邊做變量，化簡變形，結合均值不等式求出最值。學生體會到數學知識方法的綜合應用，并能夠在教師引導下概括最值問題的兩種通解通法，得到一般性求解這類問題的方法要義，達到課堂通法通解學習的有效教學，這徹底顛覆傳統“滿堂灌”的教學模式，實現了課堂教學的優質與高效。

四、學會數學內化，辨析求解內涵

問題4（2011年高考新課標Ⅰ卷理科16）在

則AB+2BC的最大值為

解析：（方法1）設A=θ，則

所以，

根據余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

即，x2+y2-xy=3，即求x+2y的最大值.

令t=x+2y，則x=t-2y，代入3=x2+y2-xy

得7y2-5ty+（t2-3)=0，

則由Δ=25t2-28（t-3）2≥0得

又t＞0，則AB+2BC=2x+y=t的最大值為

為達到進一步內化與辨析求解的目的，這時候教師繼續追問問題4，比較問題4與前面的問題3有什么區別和聯系，是引入邊做變量還是角做變量呢？

教師結合解題過程，引導學生思考引入哪種變量更好，讓學生自己不但掌握求解的通法通解，還學會自己選擇，充分以學生為課堂主人，樹立數學抽象建模過程，學會運算求解化歸，結合函數特征解決問題，達到提升學科素養、立德樹人的目標。

五、拓展數學應用，深化求解理解

為了拓展數學知識的應用，深化數學理解過程，提升本節課內涵，促進學生對數學解三角形最值問題的更深層次的理解，教師循序漸進，設置難度更大一點的問題：由三角形中一邊和另兩邊的長度比例關系，如何求面積的最值？

以下前兩種方法，緊扣前面概括的通法通解，立足通法通解，引領學生在完成解題過程中突破自我，提升數學運算能力，也同時提升課堂有效教學水平。

解析：（方法1）設BC=m，則

根據余弦定理可得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosθ，

整節課中，教師從引入變量通過代數幾何結合，將代數轉化為關于角或者邊的函數結合基本不等式研究，達到對本節課解三角形范圍最值問題的通法通解的概括，使學生對這類問題的通法通解印象深刻，數學思維與方法得到有效鞏固和提升。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》與人教版高中新教材，都聚焦落實“數學核心素養”，落實“立德樹人”，落實“服務選才”，引導數學教師更好地對課堂進行深度教學，體現了數學的基礎性、綜合性、創新性和應用性。利用幾何知識對代數問題進行求解，利用代數知識對幾何問題進行求解，使學生體會代數幾何化和幾何代數化的解題思想，有利于學生數學思維的提升，同時能助力學生掌握高中必備知識，提升數學關鍵能力，提高學科素養，樹立正確的核心價值觀。