基于切換多胞模型的變體飛行器增益調參控制

王 通 王 青

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

江未來 董朝陽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100191)

變體飛行器是一類外形結構可隨飛行任務或外部環境變化的新型飛行器，其常見的變形形式包括鴨翼伸縮、后掠角改變、機翼折疊等，從而保證變形前后在不同任務模式下均滿足飛行性能要求.作為一種新概念飛行器，變體飛行器有望成為現代高性能飛行器實現突破發展的源泉，具有重要的研究價值和廣闊的應用前景.

飛行過程中的外形變化會引起質心位置、轉動慣量、翼展與面積等多種構型參數的變化，還會引起氣動力和慣性力的非線性變化，給飛行器的氣動、結構和控制等學科提出了一系列具有挑戰的研究課題［1－4］.在變體飛行器姿態控制系統設計方面，如何建立數學模型準確反映對象的變形特性，并確?？焖僮冃螘r大包線下的飛行穩定和控制性能成為亟待解決的關鍵問題.

文獻［5］針對一類機翼形態可變的飛行器進行了多體動力學建模，建立了變體飛行器變形過程中的6自由度非線性動力學方程.文獻［6］針對變體飛行器的不同形態設計了相應的模型跟蹤控制器以保證在不同的飛行狀態都保持優化的飛行性能.但是現有文獻均未從理論上保證變體飛行器在大包線下快速變形時的飛行穩定性.

本文針對一類后掠翼可變的飛行器，建立了基于切換多胞系統的變體飛行器模型，提出了保證三維包線下飛行穩定的控制綜合方法，仿真結果表明在快速變形的情況下，所給的控制方案滿足系統的穩定性和跟蹤性能要求.

1 變體飛行器建模

變體無人機Fire-Bee是美國新一代航空公司設計的一款變體無人技術驗證機，其在飛行過程中能夠在“巡航”和“高速”兩種形態間進行變形，如圖1所示.

圖1 變體飛行器形態示意圖

變體無人機Fire-Bee的機翼后掠角χ的變化范圍是15°～60°，平均氣動弦長、展長和機翼面積等參量隨后掠角連續變化，重心位置可通過機身的配重自動調整.表1列出了變體飛行器在“巡航”和“高速”兩種形態下的構型參數，其他后掠角度對應的參數可通過擬合得到，完整的氣動數據表可參考文獻［7］，易知變體飛行器的氣動參數都是后掠角χ的函數.這里給出變體飛行器Fire-Bee的縱向短周期非線性動力學模型:式中，VT為飛行速度;α為攻角;q為俯仰角速率;Ma為馬赫數;H為高度;ˉq為動壓;δe為升降舵偏角;CL，Cm分別為升力系數和俯仰力矩系數，其他參數的物理意義參見表1［8］.

表1 變體飛行器構型參數

在系統平衡狀態對式(1)進行線性化，得到線性化小擾動狀態空間模型:

式中，狀態變量 x=(Δα，Δq)T;控制變量 u為δe;Zα，ˉMα，ˉM˙α，ˉMq，Zδe，ˉMδe均為動力學導數.系統矩陣和控制矩陣可由變體飛行器當前的氣動參數和構型參數計算得出，故可近似為高度、馬赫數和后掠角的函數.

變體飛行器在以高度、馬赫數和后掠角為參量的三維包線下，系統模型隨氣動參數和構型參數具有漸變特性，可視為如下的線性切換系統:

式中，Ω為三維飛行包線內工作點的有限集合;σ(t)為切換律.系統根據當前的高度、馬赫數和后掠角決定所處的工作點并切換至相應的子系統下.進一步可將其等價為具有局部重疊特性的若干個切換子系統［9］:

各個切換子系統的形式如下:

式(5)中的每個切換子系統可對應為一個多胞系統，該多胞系統的頂點即為各切換子系統的切換狀態，在三維包線下體現為各設計點，得到如下所示的切換多胞系統:

2 設計點選取

傳統的增益調參控制器綜合過程一般采用線性插值方法，所得的控制器無法從理論上保證全包線飛行的穩定性.本文在前述變體飛行器切換多胞模型的基礎上，將控制系統分解為多胞系統頂點(即單個設計點)的反饋增益設計和全包線下的控制器綜合.前者可有效繼承傳統的線性控制設計方法，后者則通過切換系統穩定性理論和特殊的插值方法保證變體飛行器在全包線飛行過程中的穩定性.

對傳統的飛行包線進行拓展，將以高度和馬赫數為坐標的二維包線拓展為以高度、馬赫數和后掠角為坐標的三維包線.在飛行包線內選取若干設計點，變體飛行器在這些設計點上可以近似為線性模型.設計點的數量應當適中，既要滿足包線內動特性描述的需要，還要減少設計工作量，同時為后續的穩定性分析提供基礎.

在變體飛行器的三維包線內，遍歷高度3，6，9，12，15，18 km，馬赫數 0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，后掠角 15°，30°，40°，50°，60°的所有組合，得到原始的150個設計點.進一步考慮變體飛行器的任務模式，當其處于不同形態時，飛行高度和馬赫數具有一定的自然約束，即“巡航”形態適用于中低空域、低速飛行狀態，而“高速”形態適用于中高空域、高速飛行狀態.因此有必要剔除與任務模式相悖的設計點，得到83個符合飛行任務要求的設計點.文獻［10］基于折疊翼飛行器的LPV模型，利用小凸包算法研究了設計點的選取方法，本文運用小凸包算法對上述83個設計點計算其三維空間中的凸包包絡點，作為切換多胞系統的頂點，共計18個，設計點篩選結果如表2所示.

表2 設計點篩選

針對所選擇的18個設計點，采用線性二次型最優控制方法設計單點控制器，各設計點的狀態反饋增益向量如表3所示.

表3 設計點處的狀態反饋增益向量

3 控制器綜合

3.1 插值方法

基于選取的18個設計點建立變體飛行器的多胞系統模型，按照設計點將飛行包線分割成有限個長方體，長方體各頂點均為18個設計點中的點，且各長方體內部不包含其它設計點，則飛行包線內任意狀態點處的線性模型均通過式(7)表示為某長方體內狀態點處的線性小擾動方程.

式中(Ai，Bi)是長方體各頂點處的系統矩陣與輸入矩陣.由式(7)可知，長方體內狀態點處的線性小擾動模型由8個設計點處的線性小擾動模型經過線性加權確定.如圖2所示，針對長方體內的某狀態點P，ρi由式(8)計算得到.

圖2 多胞模型加權系數計算示意圖

圖2和式(9)中的x，y，z分別代表三維飛行包線中的相應坐標，式(8)和式(9)用以完成長方體內的插值計算.

進一步，變體飛行器切換多胞系統建模下全包線下工作點處的控制器可通過式(10)的插值方法得到.

式中，X+為X的M-P偽逆;ki為長方體各頂點處的狀態反饋增益向量.該插值方法不同于傳統的線性插值，它能夠在一定條件下保證變體飛行器的全包線飛行穩定性，穩定性分析方法將在第3.2節中進行詳細介紹.

3.2 穩定性分析

下面以定理的形式給出第3.1節控制器插值得到的變體飛行器閉環系統的全包線穩定性分析方法.

定理1 針對形如式(6)的變體飛行器切換多胞模型所有設計點設計狀態反饋控制器u=－kix，如果存在正定矩陣P使得下列線性矩陣不等式組成立:

并按照式(12)對長方體內的任意狀態點進行狀態反饋控制器插值:

則可保證變體飛行器全包線飛行穩定.

證明 由定理易知，長方體的8個頂點構成的切換子系統:

滿足以下不等式組:

對于長方體內的任意狀態點，則有

又因為

易知長方體內的狀態點與長方體的頂點具有公共Lyapunov函數V=xTPx，也即在長方體內的飛行可以確保穩定性.

由于三維飛行包線內的所有設計點均具有公共Lyapunov函數，因此不同長方體內的任意狀態點均具有公共Lyapunov函數V=xTPx，則在全包線內均可以確保飛行穩定.證畢

4 仿真驗證

經過驗證，所選取的18個設計點的線性模型在加入最優狀態反饋后具有公共Lyapunov函數，可以通過第3.1節所述的插值方法得到保證全包線下穩定的控制器.

考慮變體飛行器的后掠角χ在15 s內由60°變為15°，即以 －3(°)/s的后掠角變化率由“高速”形態向“巡航”形態變形并且位于第2節所討論的三維飛行包線內部.

在相應的攻角指令下，系統的仿真結果如圖3～圖5所示.

圖3 攻角響應曲線

由以上仿真曲線可見，攻角響應曲線能夠較好地跟蹤攻角指令，且受機體變形過程的干擾較小;俯仰角速率波動幅度在2(°)/s以內，舵偏角幅值也在合理的范圍內.仿真結果表明所設計的全包線控制綜合方法在保證飛行穩定性的同時，也具有較好的控制性能.

圖4 俯仰角速率響應曲線

圖5 舵偏響應曲線

5 結 束 語

研究了可變后掠翼變體飛行器的全包線控制器設計與綜合方法，在非線性模型的基礎上建立了基于切換多胞系統的變體飛行器模型，利用小凸包算法從三維飛行包線中選取了數量適中的設計點，并對各設計點處的線性化模型設計了最優控制律.提出了一種新的控制器插值方法完成變體飛行器三維包線下的控制綜合，從理論上保證了變體飛行器的全包線穩定性，也繼承了傳統增益調參方法的優勢，具有良好的控制效果.

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