中學生數學運算能力的培養

何合全

運算能力是教學的三大基本能力之一，是數學各種能力的基礎。由于在小學階段就習慣用計算器，導致大量中學生運算能力偏差，這極大地阻礙了數學學習質量的進一步提高和數學思維的發展。另外，由于物理與化學的學習中計算量比較大并經常需要運用數學思維、方法來解決問題。因此中學數學運算能力還會直接影響到學生的這些科目的學習。由此可見，提高學生重視運算，加強運算能力的訓練是十分重要的。

一、提高思想認識，重視運算能力的培養

我們在教學中時常發現，有時學生做練習時，只滿足于有解題思路，只列式不運算或者不想運算，他們認為，思路清了，方法會了，題就做對了，把培養運算能力的訓練看成是浪費時間，把運算中出現的錯誤歸結為“粗心大意”。事實上，培養運算能力不是短時間就能奏效的事情，是需要經過長期的反復的訓練而逐漸形成。因此我們要提高思想認識，重視學生運算能力的培養，在課堂教學中就要嚴格要求學生，引導他們完整規范地去做習題。我們可以從七年級學生開始接觸中學數學時就把教好學生規范正確地應用數學符號、規范書寫數學語言做為教好數學的一大目標，也做為基本訓練的一項重要工作去做，對自己剛剛接手的學生從一開始就加強數學符號的教學，把此做為初中數學入門教學的任務來完成。

二、樹立運算信心，養成良好的運算習慣

中學數學中運算的難點都與字母相關，相對小學來說更復雜、抽象。引導學生克服因基礎差而產生的自卑與恐懼心理是十分必要的。我們在教學過程中要想方設法讓學生動手參與，引導他們從一些簡單題入手，循序漸進，不斷提高計算的準確性和計算速度。在課堂教學中讓學生養成勤動手、勤動腦的習慣。教師也要做到勤檢查、勤鼓勵、勤表揚，讓學生享受運算的樂趣，體驗成功的喜悅，從而培養運算的信心和樂趣。

如在單項式與多項式的乘法教學時，通過逐步分層訓練培養運算的信心和樂趣。

例：（1）2（3a2b-2ab+4）;

（2）2a（3a2b-2ab+4）;

（3）-2ab2（3a2b-2ab+4）;

（4）已知ab=-3，求-2ab（3a3b7-2a2b5-b）的值。

上述目的是引導學生進一步理解算理，體會到乘法分配律的重要作用和轉化的數學思想，在此基礎上，學生自己總結出單項式乘以多項式的運算法則，并運用語言進行描述。另外，培養學生的良好書寫習慣，書寫工整，字跡清晰，寫清計算步驟，杜絕重答案輕過程的做法。通過不同難度的練習題，不斷促進學生思考，運用所學知識解決新問題，在解決問題的過程中獲得能力的提高。教學中，教師可以通過靈活的評價方式，激勵學生逐次解答，培養學生樂于鉆研的精神，逐步增強他們的自信心和學習樂趣。

三、加強基礎知識和基本技能的教學，提高運算的準確性

加強和落實雙基教學是提高運算能力的一個重要作用的措施，在學習過程中要求學生要做到：（1）熟記重要的定義、定理、數據公式和法則，因為準確無誤是運算的基本要求，而正確地記憶公式和法則是運算準確的基礎;（2）正確深層次理解概念，并能掌握公式的推導，只有理解某些概念與公式的推導，才能做到公式的正用、反用和活用，從而提高運算能力。

如注意公式中字母的代表性和廣泛性教學中，對于公式：1.同底數冪的除法公式am÷an=a（m-n） ;2.平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ;3.完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2。

以上公式中的a、b不是單純的a、b，還可以是其他的字母或數，也可是單項式、多項式（相當于語文中的代詞：它和它們）。若是單項式或多項式，要把它作為一個整體進行運算。在單項式乘（除以）單項式、多項式乘（除以）單項式和也是如此。

四、正確運用運算法則與符號法則，提高運算能力

七年級數學的混合運算包括數、式的運算。無論是有理數的混合運算，還是整式運算都要注重運算法則的同時要特別注重符號法則。當運算比較復雜時，由于學生的注意力轉移到計算方面，往往忽略了符號。為了增強學生對符號的處理能力，我們在運算中就要大力強調符號法則的重要性，應先確定符號，再計算，以便克服計算過程中出現符號錯誤。

如對于多項式除以單項式和冪的乘方的混合運算，在運算中要先算乘方再算乘除，除法運算時要把多項式除以單項式“轉化”為單項式除以單項式，再根據單項式除以單項式的法則進行計算。

例：計算：（■a4b7-■a2b6）÷（-■ab3）2

解：原式

=（■a4b7-■a2b6）÷■a2b6

=■a4b7÷■a2b6-■a2b6÷■a2b6

=6a2b-1

在進行上述多項式除以單項式的計算時，先計算（-■ab3）2=■a2b6，再把（■a4b7-■a2b6）看成是+■a4b7與-■a2b6兩項組成，把這兩個單項式分別除以■a2b6，所得結果的項數應與被除式中的項數相同（兩項），要特別明確除式與被除式中各項的符號，相除時要帶著符號進行。

五、加強訓練，提高運算技能

加強訓練時，要注意回歸到教材、整合教材中的知識點，針對學生掌握知識、方法的薄弱點加強訓練，熟練應用常用的數學運算的技巧、方法和規則，熟悉一些常見題型與答題方法，使自己心理處于良好的適應狀態。特別注意的是，要加強一題多解、一解多題、發散變形的能力訓練，拓展思維和靈活運用知識的能力。對于運算類解答題目，往往是運算的步驟越多、越繁瑣，越容易出錯。而很多題目往往又可用多種方法，從多個角度來考慮，具有多種思考方法。由于解答時思考的方式不同，解題所花費的時間也必定不同。因此注意精選一些一題多解或計算量相對懸殊較大的題目，用充裕的時間去想去做，并結合這些實際題目適時靈活地運用概念、恰當地選擇公式、合理地使用數學思想方法，從而達到簡化運算、提高運算速度的目的。再幫助學生探索總結某些有規律性的、普遍性的東西，從而提高數學運算能力。endprint

六、學生練后反思，學會舉一反三

“學而不思則罔?！睂W生做題不能為做題而做題，要培養學生每次練習之后進行一定反思的良好習慣。在不斷的進行總結過程中，如果錯了，為什么錯，怎樣錯的，怎樣去糾正，如果對了，應用了哪些知識點，采取了哪些好的解題方法，有沒有更好的、更簡便的方法，只有不斷地總結反思，才能形成良好的解題習慣，不斷地進步。 七年級學生經過了幾年的數學學習雖然具有了一定的獨立探究意識和從具體問題情境中抽象出數量關系和變化規律的能力。但學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數學符號化能力有限。因此，讓學生在理解的基礎上掌握運算公式，運算規則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計算時，首先觀察分析是否符合公式的特點，公式中的a和b分別是什么，注意負號和括號等細節。

例：計算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計算本題，一般先計算每一個括號內的，然后再求它們的積，這樣做是復雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來解決，即在原式上乘以（2-1），再同時除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分數乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學時設計舉一反三計算，這樣為學生提供充分探索與交流的空間，使學生進一步經歷觀察，實驗、猜測、推理、交流、反思等活動，培養學生類比的思想方法。讓學生在探究中，經歷知識產生發展的過程，進一步提升運算能力。

學生運算能力的培養不是在短時間能見效的，而是一項長期任務，綜合工程。這需要教師和學生共同去面對各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運算能力的培養貫穿于整個教學過程中，有計劃、有目標、有意識地運用科學的方法進行長期滲透，使學生不斷地、經常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運算能力，又要在實踐中加以修正，尋求合理的、簡捷的運算途徑，因此培養學生的運算能力重在滲透，貴在堅持。

責任編輯 ?羅 ?峰endprint

六、學生練后反思，學會舉一反三

“學而不思則罔。”學生做題不能為做題而做題，要培養學生每次練習之后進行一定反思的良好習慣。在不斷的進行總結過程中，如果錯了，為什么錯，怎樣錯的，怎樣去糾正，如果對了，應用了哪些知識點，采取了哪些好的解題方法，有沒有更好的、更簡便的方法，只有不斷地總結反思，才能形成良好的解題習慣，不斷地進步。 七年級學生經過了幾年的數學學習雖然具有了一定的獨立探究意識和從具體問題情境中抽象出數量關系和變化規律的能力。但學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數學符號化能力有限。因此，讓學生在理解的基礎上掌握運算公式，運算規則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計算時，首先觀察分析是否符合公式的特點，公式中的a和b分別是什么，注意負號和括號等細節。

例：計算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計算本題，一般先計算每一個括號內的，然后再求它們的積，這樣做是復雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來解決，即在原式上乘以（2-1），再同時除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分數乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學時設計舉一反三計算，這樣為學生提供充分探索與交流的空間，使學生進一步經歷觀察，實驗、猜測、推理、交流、反思等活動，培養學生類比的思想方法。讓學生在探究中，經歷知識產生發展的過程，進一步提升運算能力。

學生運算能力的培養不是在短時間能見效的，而是一項長期任務，綜合工程。這需要教師和學生共同去面對各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運算能力的培養貫穿于整個教學過程中，有計劃、有目標、有意識地運用科學的方法進行長期滲透，使學生不斷地、經常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運算能力，又要在實踐中加以修正，尋求合理的、簡捷的運算途徑，因此培養學生的運算能力重在滲透，貴在堅持。

責任編輯 ?羅 ?峰endprint

六、學生練后反思，學會舉一反三

“學而不思則罔。”學生做題不能為做題而做題，要培養學生每次練習之后進行一定反思的良好習慣。在不斷的進行總結過程中，如果錯了，為什么錯，怎樣錯的，怎樣去糾正，如果對了，應用了哪些知識點，采取了哪些好的解題方法，有沒有更好的、更簡便的方法，只有不斷地總結反思，才能形成良好的解題習慣，不斷地進步。 七年級學生經過了幾年的數學學習雖然具有了一定的獨立探究意識和從具體問題情境中抽象出數量關系和變化規律的能力。但學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數學符號化能力有限。因此，讓學生在理解的基礎上掌握運算公式，運算規則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計算時，首先觀察分析是否符合公式的特點，公式中的a和b分別是什么，注意負號和括號等細節。

例：計算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計算本題，一般先計算每一個括號內的，然后再求它們的積，這樣做是復雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來解決，即在原式上乘以（2-1），再同時除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分數乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學時設計舉一反三計算，這樣為學生提供充分探索與交流的空間，使學生進一步經歷觀察，實驗、猜測、推理、交流、反思等活動，培養學生類比的思想方法。讓學生在探究中，經歷知識產生發展的過程，進一步提升運算能力。

學生運算能力的培養不是在短時間能見效的，而是一項長期任務，綜合工程。這需要教師和學生共同去面對各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運算能力的培養貫穿于整個教學過程中，有計劃、有目標、有意識地運用科學的方法進行長期滲透，使學生不斷地、經常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運算能力，又要在實踐中加以修正，尋求合理的、簡捷的運算途徑，因此培養學生的運算能力重在滲透，貴在堅持。

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