“大”“小”兩原則取“元”求解物理學中的積分問題

賀春元 劉丙國 劉振深

【摘要】如何選取合適的“元”是學生學習運用積分方法求解物理問題面臨的首要問題。對于剛剛升入大學的學生來講，由于對微積分等知識的掌握還不夠純熟，導致遇到具體問題時往往無從下手。本文針對大學物理中所涉及到的典型的積分問題，首次提出了取“元”的“大”“小”兩原則，避免了高等數學中專業(yè)化的描述對學生造成的理解上的困惑，使學生能夠簡潔、直觀、快速地選取出合適的元來求解問題，大大地提高了學生解題的效率，同時也使學生能更容易掌握利用微積分解決問題的思路和方法。

【關鍵詞】物理 ?積分

【課題項目】本課題受到河南理工大學教育教學改革研究項目的支持（2014JG057）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0086-01

學習大學物理和高中物理最顯著的區(qū)別在于所用的數學工具的不同，由于在高中時學生所學的數學知識有限，因此只能夠處理一些相對簡單的理想化的物理問題。而進入大學以后，隨著對矢量和微積分知識的學習，學生們可以處理更加復雜的物理問題，但是如何利用高等數學的微積分理論來處理物理問題卻是學生面臨的一大挑戰(zhàn)。一個簡單的例子，力做功的問題。在高中時學生解決的問題只局限于恒力做功的情況，而到了大學，就需要利用矢量和微積分的知識來求解更具有實際意義的變力做功的問題。

微積分思想被廣泛地用于處理大學物理中遇到的很多問題，例如前面已經提到的力學部分的變力做功問題，還有轉動慣量的計算，以及電磁學部分電場強度和電勢的求解，磁場強度的計算等等。微積分的應用貫穿了整個大學物理的學習過程。不難發(fā)現，在運用定積分來求解物理問題的時候，其關鍵的問題就是如何選擇一個合適的“元”。大學物理的知識體系中主要涉及三種元的選取：“質量元”、“電荷元”和“電流元”，而這三種“元”最終實際上都歸結到如何選擇“空間元”，即“線元”dl，“面元”ds和“體元”dv。當這些“元”選取好后，接下來進行的定積分運算學生們在高數的學習中都已經掌握，對學生來說不成問題。問題出在在具體的物理問題中如何去選擇“空間元”，這是學生們最難解決的問題。而在高等數學的教學中，對這一問題數學老師給出的是非常專業(yè)的繁瑣晦澀的描述，并沒有教給學生一個容易理解且易操作的方法。

定積分通常表示為f（x）dx，其中a，b分別代表積分的上，下限，f（x）為被積函數，x為積分變量，dx為積分變量的微小變化量。在具體的物理問題中，x，f（x）都有確切的物理意義與之相對應。在我們的討論問題中dx即為“空間元”。對于剛接觸微積分的大學生來說，微積分只是純粹的數學知識，并沒有很好地掌握微積分的思想，因此當將這種數學工具應用到處理具體的物理問題時，特別是如何選取“空間元”，常常感覺無從下手。實際上總結起來，“空間元”的選取決定于兩個因素：研究對象本身的幾何特征以及涉及到的物理問題。一個合適的“元”即要滿足定積分這種數學方法本身的要求，同時也要使得最終的計算盡量簡單，便于求解。于是我們總結出了針對大學物理部分涉及到的“空間元”選擇的“大”“小”兩原則：“大”是指選取的“空間元”看上去占有的空間要大，這樣做的優(yōu)點是得到的最終的定積分會是一個非常簡單的計算，比如可能只是一重積分。但同時由于定積分本身的特殊要求，該“元”也不能選的太大，即同時也要盡量的“小”，即如果將選擇的這個“大”的“空間元”分割成很多更小的“元”時，這些小“元”要具有完全相同的被積函數f（x）。同時滿足這兩個條件得到的“空間元”才是最完美的。

“大”“小”兩原則，不僅可以避免高等數學中專業(yè)化描述對學生造成的困惑，而且以非常直觀且易理解形式便于學生掌握，使學生能夠精準快速地尋找到一個最合適的“空間元”。下面結合一個實例來體會“大”“小”兩原則的優(yōu)勢。

例：半徑為R的帶正電的球體，電荷體密度ρ=Ar（A>0，r

依據題意，該帶點球體的電場具有如下特征：在同一球面上的各點，電場強度的大小相等，電場的方向為過球心沿著半徑方向向外。于是可以利用高斯定理來求解電場強度。取球體內半徑為r的一個閉合球面為高斯面，通過此高斯面的電通量為：

根據高斯定理，該電通量等于高斯面內包含的凈電荷除以ε0。由于該帶點球體的電荷不是均勻分布的，因此需要用定積分來求高斯面內包含的電荷量，即 ?=dq，dq即為在帶電體上選取的“電荷元”。“電荷元”的表達式通常有三種表達形式dq=ρdV，？滓dS，？姿dl，其中ρ，，分別代表電荷的體密度，面密度和線密度。具體取哪種形式要結合帶電體本身的特征。本題中帶電體為球體，故取dq=ρdv這種形式。求解本題的關鍵在于如何選取“體元”。如果不考慮計算量的話實際上我們完全可以選最小的“空間元”來進行計算，即在球坐標系的一個最小的體積空間，即dV=rsinθdrdθdφ，很明顯對這樣的一個體積元進行積分是一個復雜的三重積分，這樣不會錯，但效率較低，也就是說在本題中這個“體元”實際上選小了，不是最合適的。合適的“元”應該是以r為半徑，厚度為dr的球殼。該“體元”大小為dV=4πr2dr，最終的積分是一個簡單的一重積分。很明顯這個“體元”要比前面取的“元”要“大”，但由于dr很小，而電荷的體密度只與r有關，因此可以認為在這個球殼內的所有點ρ是相同的，即如果將這個球殼切割成很多小塊的話，它們具有相同的被積函數，也就是說這樣的一個球殼“體元”同時滿足了“大”“小”兩原則，因此是最好的一個“元”

“空間元”也可以有其他的形狀，如條、段、環(huán)、帶、扇、片、殼等，具體取什么形狀即要結合物體本身的形狀也要結合所討論的具體問題。這就要求學生在透徹理解和掌握了“空間元”選擇的“大”“小”兩原則基礎上再通過做題來積累經驗，就可以快又好地應用微積分的思想分寫解決很多實際的物理問題了。

參考文獻：

[1]物理學，馬文蔚改編，東南大學等七所工科院校，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-018253-8.

[2]力學，漆安慎，杜嬋英，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-06624-8