基于MATLAB的層次分析法在拱橋安全性評價中的應用

李雷生，陳緒明

（1.重慶市設計院，重慶400015；2.成都市交通發展研究院，四川 成都610017）

0 引言

拱橋是作為主要承重結構的橋梁，及時準確地評估其安全性，對于橋梁的正常使用意義重大。拱橋安全性評價方法一般分為定性、定量、定性與定量相結合三類?；贛ATLAB 的層次分析法，是一種定性與定量相結合的方法，本文采用此方法計算安全性評價指標的分層次權重，求得各影響因素對大跨度鋼管混凝土拱橋安全性的影響程度。

1 層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process 簡稱AHP）是一種定性與定量相結合的、系統化、層次化的分析方法。本文主要從評價模型的建立、構建判斷矩陣、對安全性指標進行相對重要性排序3個方面介紹此方法。

1.1 拱橋安全性AHP評價模型建立

大跨度鋼管混凝土拱橋的安全性影響因素很多，該評價模型的建立應適合橋梁結構特點及施工過程，將專家分析與現場采樣觀察、案例分析結合起來，以拱橋自身的承載能力、動力特性和外觀為對象，對拱橋安全性的綜合指標進行深入的分析和研究，建立大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價模型，如圖1所示。

圖1 大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價模型

1.2 用指數標度法構建判斷矩陣

在建立指標體系的遞階層次結構后，從最上層開始，從上往下依次以上一層的元素為依據，對下一層中與之相關的元素進行兩兩比較，構建判斷矩陣。本文采用一種新的指數標度來構建判斷矩陣，將判斷等級分為同等重要、稍微重要、重要、明顯重要、強烈重要、極端重要6 個等級。Satly 在數字上的判斷極限為9，應有a8=9，即a=1.3161（注：a以上的值均記為9），由此可以給出指數標度表，如表1[4]所示。

表1 相對重要性的指數標度

1.3 對安全性指標進行相對重要性排序

1.3.1 一致性檢驗

在進行相對重要性判斷時，不可能完全準確地判斷出各級指標之間的重要性關系，而只能進行估計，勢必會導致判斷矩陣特征值的偏差，因此，必須進行一致性檢驗。

根據AHP原理，可以利用λmax與n之差檢驗一致性。定義計算一致性指標為：

式中：λmax為判斷矩陣A的最大特征值。

在檢驗判斷矩陣A的一致性時，當λmax=n時，CI=0，表示完全一致；CI值越偏離0，表明判斷矩陣的一致性越差。

為了度量不同階數的判斷矩陣是否具有滿意的一致性，引入CI 和同階平均隨機一致性指標RI之比CR，CR為隨機一致性指標。1～10 階判斷矩陣的RI 值如表2所示。

表2 1~10階判斷矩陣的RI值

當CR ＜0.1 時，認為判斷矩陣具有滿意的一致性；如果CR ＞0.1，需要調整判斷矩陣，使之有滿意的一致性。

1.3.2 層次單排序

在判斷矩陣通過一致性檢驗，即符合完全一致或者具有滿意的一致性后，計算出判斷矩陣的最大特征根及其相應的特征向量。計算最大特征根及其特征向量常用的方法有方根法、和法、最小二乘法等。為了便于求解，本文采用引入MAT?LAB中計算特征根與特征向量的函數eig。

1.3.3 層次總排序

由以上過程，沿著遞階層次結構，從上往下，逐層計算出各判斷矩陣的特征根與特征向量，以此為基礎，進行層次總排序計算，得出最低層因素相對于最高層的相對權重。層次總排序的計算方法見表3。

表3 層次總排序的計算公式

同樣，也需要對總排序結果進行一致性檢驗。這也是從高到低逐層進行的，A層次單排序一致性檢驗即為層次總排序一致性檢驗。對于B 層，隨機一致性指標為：式中：CIi為以Ai為準則，B層相關元素比較組成的判斷矩陣的一致性指標；RIi為以Ai為準則，B層相關元素比較組成的判斷矩陣的平均隨機一致性指標。

類似地，當CR＜0.1 時，可認為層次總排序結果具有滿意的一致性，否則需要重新調整判斷矩陣的元素值。

2 MATLAB軟件

MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是一款由美國The MathWorks 公司出品的商業數學軟件。它用直觀的、符合人們思維習慣的代碼來實現語言簡單、代碼開放、格式靈活等強大的功能，被稱為第四代編程語言。同時，MAT?LAB還具有數值運算功能強大、先進的資料視覺化功能、高階但簡單的程序環境、開放及可延伸的架構、豐富的程式工具箱的特點，在經濟、管理、數學、物理等眾多領域得到了廣泛應用。

在實現綜合評價方法方面，MATLAB軟件比實現數學編程的C語言、VC++、VB和Mathematica等軟件相比，更為優越。首先，MATLAB是一種通用的科學計算軟件，并不限于某一個特定的專業領域。其次，MATLAB的大多數核心文件和工具箱文件是開放的，非常適合評價方法的編程以及新的評價方法的編程。在用MATLAB 編寫綜合評價方法的程序時，即可以采用在打包成可執行文件后進行類似于黑箱的運行方法，也可以采用在源代碼可編輯的狀態下交互式調試運行的方法。同時，對于新建評價方法、改進的綜合評價方法或者組合多種評價方法程序編寫中，可以在現有的MATLAB程序基礎上，修改或新增相應的代碼，以實現調整后的綜合評價方法。因此，MATLAB軟件是比較適合作為實現綜合評價模型計算的軟件。

基于MATLAB 的層次分析法主要是借用MAT?LAB中函數矩陣運算和程序控制功能，以MATLAB實現的層次分析法計算流程框圖如圖2所示。

3 實例分析

某市在對大跨度鋼管混凝土拱橋進行安全性評價時，采用了如圖1 所示的安全性評價模型和如圖2 所示的計算流程框圖。在此模型中，拱橋安全性評價的目標層有一個指標，準則層有拱橋的動力特性、承載能力和外觀質量3 個指標，指標層有13個。

圖2 以MATLAB實現的層次分析法的計算流程框圖

3.1 用指數標度構建判斷矩陣

按照人們較為熟悉的專家打分法，分析各種安全習慣的重要程度。本文判斷矩陣的制定是采用專家以及現場工作人員對指標元素進行兩兩比較，從而得出最符合條件的判斷矩陣。用此方法評價出準則層中3 個準則相對于目標層的判斷矩陣A。

采用同樣的方法確定準則層中各項權重矩陣，從而得到判斷矩陣B1，B2，B3。

3.2 層次單排序

通過MATLAB軟件，計算判斷矩陣A的特征向量和最大特征值，并進行一致性檢驗，見表4。

表4 判斷矩陣A單排序權值及檢驗結果表

從計算結果可以看出，承載能力安全性最為重要，其權重值為0.660 1，其次是動力特性安全性，其權重為0.2008，再次為外觀質量安全性，其權重為0.139 2。同時，CR＜0.1，說明判斷矩陣A的單排序有滿意的一致性。

同樣，計算出判斷矩陣B1，B2，B3的特征向量和最大特征值，并進行一致性檢驗，如表5～表7所示。

表5 判斷矩陣B1 單排序及檢驗結果表

表6 判斷矩陣B2 單排序及檢驗結果表

表7 判斷矩陣B3 單排序及檢驗結果表

由表5～表7 可以看出，檢驗結果均小0.1，故可以認為判斷矩陣B1，B2，B3是可接受的。

3.3 層次總排序

在進行層次總排序前，應先用MATLAB 軟件對層次的總排序進行一致性檢驗，其運算結果為CR=0.0112，CR＜0.1，表明層次總排序極有滿意的一致性。

通過MATLAB 計算判斷矩陣的層次總排序，并采用列表的方法呈現出來，既直觀又簡便。某市的大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價的層次總排序計算如表8所示，專家對該市大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價的評估結果，如表9所示。

表8 大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價層次總排序表

從表8排名情況，可以清晰地看到各影響因素對大跨度鋼管混凝土拱橋安全性的影響程度。其中，拱橋的承載沉降與位移、主拱肋撓度對拱橋安全性影響最大，其次是拱橋的沖擊系數、系桿內力，再次是拱橋的吊桿內力，而拱橋的附屬設施對拱橋安全性的影響最小。

表9 大跨度鋼管混凝土拱橋專家安全性評估值排序表

將表9 的排名情況和表8 對比可知，用MAT?LAB軟件計算層次總排序的結果和專家評估結果相吻合，說明了基于MATLAB 的層次分析法對大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價的可行性。

4 結語

在進行橋梁安全性評價時，常常會用到層次分析法來建立安全性評價模型。本文針對大跨度鋼管混凝土拱橋安全性評價模型，用MATLAB 計算基于指數標度法構建的判斷矩陣的特征根、特征向量、分層次權重和總排序權重，可以準確而迅速地得出評價結果，并且評價結果與專家評估相吻合，表明MALAB 在層次分析法運用的有效性和實用性。同時，基于MATLAB 的層次分析法較好地完成了定性與定量的結合，使評價指標的定性問題得以量化，得到了有效的評價結果，為決策者提供了較為準確又易理解的參考依據。

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