陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對末制導(dǎo)炮彈彈道特性的影響

佟德飛，宋衛(wèi)東，賈 波

（1.軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊050003；2.西安軍代局，西安710043）

某型末制導(dǎo)炮彈的慣導(dǎo)飛行控制是通過計算慣導(dǎo)陀螺外框架相對彈體的偏轉(zhuǎn)角度并形成指令，進而控制舵機偏轉(zhuǎn)完成的。陀螺外框擺角的計算通過彈體坐標(biāo)系、慣導(dǎo)陀螺坐標(biāo)系以及地面坐標(biāo)系之間相對角位置關(guān)系進行推導(dǎo)得出［1］。然而該計算方式以轉(zhuǎn)子軸方位相對于慣性空間不變?yōu)榍疤幔且环N理想情形，并未考慮陀螺轉(zhuǎn)子因動力學(xué)的作用產(chǎn)生定向性的變化。理論上，為了保證陀螺的定向性，陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)心應(yīng)該位于內(nèi)框軸和外框軸的交叉點位置，但由于工藝控制原因，轉(zhuǎn)子質(zhì)心與內(nèi)框框架幾何中心存在一定程度的偏離，因而產(chǎn)生偏心力矩導(dǎo)致轉(zhuǎn)子進動。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，運用動量矩定理［2］研究轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心條件下的定向特性，結(jié)合末制導(dǎo)炮彈六自由度剛體彈道模型以及慣導(dǎo)控制模型［1］，考慮慣導(dǎo)陀螺質(zhì)量偏心引起的控制誤差對彈道特性產(chǎn)生的影響。

1 陀螺運動狀態(tài)方程描述

為描述慣導(dǎo)陀螺轉(zhuǎn)子的運動，首先建立其空間坐標(biāo)系。設(shè)轉(zhuǎn)子的幾何中心與內(nèi)框架、外框架幾何中心O重合，以O(shè)為原點，將慣性坐標(biāo)系平移至原點建立陀螺基準(zhǔn)坐標(biāo)系Oξηζ，η軸鉛垂向上。令Oξηζ繞η軸轉(zhuǎn)過ψgd角，再繞ζ軸新位置轉(zhuǎn)過θgd角，建立轉(zhuǎn)子動量矩坐標(biāo)系OXYZ，其中X軸為轉(zhuǎn)子相對原點的動量矩矢量方向，動量矩為L，其中ψgd，θgd為動量矩坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度。令OXYZ繞X軸轉(zhuǎn)過γgd角后的位置為轉(zhuǎn)子的主軸坐標(biāo)系Oxryrzr，xr軸為轉(zhuǎn)子的對稱軸，如圖1所示。參考文獻［3］中對陀螺內(nèi)外框架坐標(biāo)系的描述，本文將轉(zhuǎn)子主軸坐標(biāo)系繞yr軸轉(zhuǎn)過ψg角，建立慣導(dǎo)陀螺內(nèi)框坐標(biāo)系Ox1y1z1，再繞z1軸旋轉(zhuǎn)θg角（此角度即為慣導(dǎo)陀螺外框擺動角），建立外框架坐標(biāo)系Ox2y2z2，如圖2所示。轉(zhuǎn)子質(zhì)心相對幾何中心的偏心距矢量為er，er取在轉(zhuǎn)子主軸坐標(biāo)系。分別研究轉(zhuǎn)子在軸向、徑向存在質(zhì)量偏心時產(chǎn)生的動力學(xué)作用。

圖1 動量矩坐標(biāo)系角度坐標(biāo)

圖2 轉(zhuǎn)子相對動量矩坐標(biāo)系偏轉(zhuǎn)角度坐標(biāo)

1.1 轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)方程

偏心距矢量在慣性坐標(biāo)系下表示為e＝PT（γgd，θgd，ψgd）er，PT（γgd，θgd，ψgd）為慣性系向轉(zhuǎn)子主軸坐標(biāo)系投影矩陣，寫成分量形式：

慣性系中，重力加速度表示為g＝（0 －g0）T。由于存在質(zhì)量偏心，則偏心力矩為M＝e×mg，其在慣性坐標(biāo)系中的分量為

再將轉(zhuǎn)子動量矩矢量投影至慣性坐標(biāo)系，則

將式（1）～式（3）代入動量矩定理dL／dt＝M。由于存在dLη／dt＝0的情況，則轉(zhuǎn)子動量矩在慣性系的垂直方向守恒，因此－Lsinθgdcosψgd與動量矩在慣性系垂直分量的初值一致，存在初始的偏角，即

對式（3）兩端進行求導(dǎo)，則可以得到和，分別表示為

忽略微小偏心對主軸慣性主矩的影響［4］，設(shè)轉(zhuǎn)子極軸慣性主矩為C，轉(zhuǎn)動角速度為Ω，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的動量矩大小為L0＝CΩ。

1.2 內(nèi)、外框架運動狀態(tài)方程

將轉(zhuǎn)子偏心力矩分別向轉(zhuǎn)子內(nèi)框坐標(biāo)系Ox1y1z1、外框坐標(biāo)系Ox2y2z2進行投影，得到：

根據(jù)對轉(zhuǎn)子內(nèi)、外框廣義自由坐標(biāo)的定義，繞軸轉(zhuǎn)動運動方程是獨立的，而其余方向的運動是非獨立的，反映內(nèi)、外框軸之間的力矩關(guān)系，則僅僅給出影響框架轉(zhuǎn)動運動的狀態(tài)方程，即

為簡化起見，式中將轉(zhuǎn)子軸相對于慣性坐標(biāo)系的方向余弦記為dij，i，j＝1，2，3。

1.3 外框架偏轉(zhuǎn)角度計算

外框架偏轉(zhuǎn)角度的計算方法仍通過幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換求解，求解關(guān)系式為

式中：γ，φ，ψ為末制導(dǎo)炮彈彈體姿態(tài)角；γg為慣導(dǎo)陀螺相對彈體的安裝角。隨著轉(zhuǎn)子偏心力矩的不斷作用，慣導(dǎo)陀螺轉(zhuǎn)子產(chǎn)生進動，定向性發(fā)生改變，轉(zhuǎn)子姿態(tài)角的計算可由初始定向角和進動偏移角度進行疊加。內(nèi)、外框偏轉(zhuǎn)角度的值由幾何關(guān)系求解得到，原計算方法中的轉(zhuǎn)子定向角度由進動后轉(zhuǎn)子姿態(tài)角度替換。

2 陀螺運動狀態(tài)數(shù)值仿真

陀螺轉(zhuǎn)子角度變化以及動量矩的變化均可通過積分進行求解。轉(zhuǎn)子受到外力矩的作用，產(chǎn)生與外力矩方向垂直的動量矩，轉(zhuǎn)子軸的空間方位不斷地發(fā)生改變。由于外力矩的主要形式為重力偏心力矩，所以產(chǎn)生的力矩作用主要有2種情況：一種為軸向偏心力矩，在轉(zhuǎn)子軸坐標(biāo)系內(nèi)相對轉(zhuǎn)子幾何中心的作用方向不發(fā)生改變；另一種為轉(zhuǎn)子徑向偏心力矩，由于轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)，偏心力矩的大小和方向不斷發(fā)生變化，產(chǎn)生的動量矩矢量也不斷變化方向。對轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型進行數(shù)值求解，通過給定不同偏心距離以分析轉(zhuǎn)子定向方位的變化規(guī)律及特點。

圖3所示為轉(zhuǎn)子軸軸向偏心距不同條件下的水平方向偏轉(zhuǎn)角度ψ的變化規(guī)律。結(jié)果表明，軸向偏心距ex為1mm時，轉(zhuǎn)子軸便發(fā)生明顯的偏轉(zhuǎn)，從慣導(dǎo)陀螺啟動到炮彈落地的整個過程，轉(zhuǎn)子在水平方向的偏轉(zhuǎn)為0～4.15°；當(dāng)軸向偏心距ex＝－1mm時，偏轉(zhuǎn)范圍為0～4.21°；軸向偏心距ex＝2mm時，轉(zhuǎn)子軸在水平方向偏轉(zhuǎn)范圍為0～16.48°；軸向偏心距ex＝－2mm時，偏轉(zhuǎn)范圍為0～16.85°。

圖3 軸向偏心對轉(zhuǎn)子水平方向轉(zhuǎn)動角度的影響

圖4 所示為不同軸向偏心距條件下的俯仰角θ的變化規(guī)律。可以看出，轉(zhuǎn)子軸在俯仰方向產(chǎn)生明顯的偏轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)子軸向偏心相對幾何中心在轉(zhuǎn)子軸正方向時轉(zhuǎn)子向下偏轉(zhuǎn)，相反則向上偏轉(zhuǎn)。當(dāng)偏心距離ex＝1mm時，轉(zhuǎn)子軸向下偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)0～－1°；ex＝2mm時，偏轉(zhuǎn)角度為0～－2°；當(dāng)軸向偏心距ex＝－1mm時，轉(zhuǎn)子軸向上偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角度為0～1°，ex＝－2mm時，偏轉(zhuǎn)角度為0～2°。

圖4 軸向偏心對轉(zhuǎn)子垂直方向轉(zhuǎn)動角度的影響

在進行轉(zhuǎn)子軸徑向偏心對轉(zhuǎn)子定向性影響分析時，轉(zhuǎn)子軸坐標(biāo)選定y軸方向或z軸方向都具有一般性。選定對y軸徑向偏心進行仿真，結(jié)果表明，y軸徑向偏心對轉(zhuǎn)子定向性的改變并不顯著，當(dāng)y軸徑向偏心距ey＝1mm時，轉(zhuǎn)子側(cè)向偏轉(zhuǎn)角度約為0～0.2°，如圖5所示。

圖5 徑向偏心對轉(zhuǎn)子水平方向轉(zhuǎn)動角度的影響

俯仰方向角度偏轉(zhuǎn)曲線形式接近具有確定周期和幅值的簡諧曲線，但其偏轉(zhuǎn)角度平均并不為零。當(dāng)偏心距在相對幾何中心相反方向時，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)方向相反，平均偏轉(zhuǎn)角度θe約為0～0.04°，如圖6所示。

圖6 徑向偏心對轉(zhuǎn)子垂直方向角度變化的平均作用

因此，質(zhì)量偏心的轉(zhuǎn)子在重力矩的作用下可產(chǎn)生空間中的進動運動。軸向偏心對轉(zhuǎn)子進動作用明顯，進動角度與偏心距離成正比例關(guān)系。徑向偏心隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，所產(chǎn)生的動量矩矢量也同時隨之改變，轉(zhuǎn)子進動角速度呈周期性變化，但產(chǎn)生平均不為零的進動角度，表現(xiàn)為空間中的緩慢轉(zhuǎn)動，該結(jié)果可解釋慣導(dǎo)陀螺漂移現(xiàn)象。

該型號末制導(dǎo)炮彈零漂數(shù)據(jù)為15s時間內(nèi)水平方向漂移為－1.3°～0.4°，鉛垂方向的漂移為－0.5°～－2.3°。因此，根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果分析，轉(zhuǎn)子在x軸、y軸、z軸存在偏心情況下，仿真結(jié)果是可以解釋轉(zhuǎn)子漂移值的。

3 陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對外框擺動角度的影響

陀螺轉(zhuǎn)子空間方位的改變，最本質(zhì)的是改變了內(nèi)、外框架的擺動角度。由于控制指令的發(fā)出取決于外框架的偏轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何中心而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子進動運動時，外框擺動角中則包含了轉(zhuǎn)子進動角度因素。

通過對轉(zhuǎn)子空間運動狀態(tài)的數(shù)值計算，可以確定任意時刻轉(zhuǎn)子軸的空間方位，利用式（8）求解外框擺動角。圖7為轉(zhuǎn)子存在軸向偏心與不存在軸向偏心條件下的慣導(dǎo)陀螺外框擺動角曲線（局部）。圖8為轉(zhuǎn)子存在徑向偏心與不存在徑向偏心條件下的慣導(dǎo)陀螺外框擺動角曲線（局部）。

圖7、圖8中的差異充分表明，轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心導(dǎo)致陀螺外框擺動角的變化，改變了慣導(dǎo)控制舵片指令生成時機，表現(xiàn)為慣導(dǎo)飛行時超前或滯后的舵面偏轉(zhuǎn)。這使得末制導(dǎo)炮彈控制力和控制力矩不再相對彈體正上方或正下方對稱，對末制導(dǎo)炮彈的彈道性能產(chǎn)生影響。

圖7 軸向偏心對外框擺動角的影響

圖8 徑向偏心對外框擺動角的影響

4 陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對彈道性能的影響分析

末制導(dǎo)炮彈射程、側(cè)偏、落角等參數(shù)是末制導(dǎo)炮彈在彈道設(shè)計時主要考慮的參數(shù)。初始段、無控段以及慣導(dǎo)飛行階段結(jié)束時，彈體激光制導(dǎo)陀螺啟動，進入末段導(dǎo)引段，控制系統(tǒng)導(dǎo)引彈體攻擊目標(biāo)，若飛行距離過小或者側(cè)偏過大都將導(dǎo)致彈體不能按預(yù)定目標(biāo)飛抵捕獲區(qū)域，導(dǎo)致失去目標(biāo)。因此慣導(dǎo)飛行階段的精度控制對末端導(dǎo)引階段打擊精度影響很大。根據(jù)末制導(dǎo)炮彈彈道方程，結(jié)合慣導(dǎo)陀螺運動狀態(tài)方程，對末制導(dǎo)炮彈彈道特性進行數(shù)值仿真。針對轉(zhuǎn)子軸在3個方向上的偏心距導(dǎo)致彈道特性的變化分別進行仿真計算。

4.1 軸向偏心對彈道特性的影響

對轉(zhuǎn)子軸向偏心距分別取ex＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm時的名義彈道進行仿真。不同條件下炮彈落點計算數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子軸向偏心對名義彈道落點影響很大。當(dāng)軸向偏心距ex＝1mm時，射程X減小49m，側(cè)偏Z變化約125.18m；當(dāng)ex＝2mm時，射程X減小114m，側(cè)偏Z變化約488.38m；當(dāng)ex＝－1mm時，射程X增加61m，側(cè)偏Z變化約123.18m；ex＝－2mm時，射程X增加101m，側(cè)偏Z變化約500.02m。當(dāng)軸向偏心距在轉(zhuǎn)子軸正方向時射程會相應(yīng)減小，而軸向偏心距在轉(zhuǎn)子軸負(fù)方向時射程會相應(yīng)增加。在表1計算范圍內(nèi)，射程X變化215m；飛行時間t、落速v、落角θ變化不大；側(cè)偏Z變化規(guī)律有所不同，只要軸向偏心距存在，不論是正、負(fù)方向，偏心距離絕對值相等時會產(chǎn)生大約一致的變化。

表1 軸向偏心對名義彈道落點諸元的影響

4.2 徑向偏心對彈道特性的影響

對轉(zhuǎn)子y軸徑向偏心距分別取ey＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm時的名義彈道進行仿真。不同條件下炮彈落點計算數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

表2 y軸徑向偏心對名義彈道落點諸元的影響

表3 z軸徑向偏心對名義彈道落點諸元的影響

從表2中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子軸y軸徑向偏心的存在對末制導(dǎo)炮彈名義彈道落點有一定的影響，且具有一定的規(guī)律性，即y軸徑向偏心由正到負(fù)變化時，射程變化趨勢為增大，射程變化約13m；對側(cè)偏變化也有一定的影響，且隨偏心距增大而增大。

從表3中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子軸z軸徑向偏心的存在對末制導(dǎo)炮彈名義彈道落點有一定的影響，比y軸徑向偏心的影響偏大，但同樣具有一定的規(guī)律性。z軸徑向偏心ez由正到負(fù)變化時，射程變化趨勢為不斷減小，射程變化約96m；側(cè)偏變化隨偏心距增大而增大。對比表1和表2、表3，軸向偏心相比徑向偏心對彈道特性影響大，轉(zhuǎn)子軸z軸方向徑向偏心距離對彈道特性的影響比y軸徑向偏心距離對彈道特性的影響大，主要表現(xiàn)在射程變化以及側(cè)偏的變化。

因此，慣導(dǎo)陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對末制導(dǎo)炮彈空間飛行的彈道諸元影響很大，為保證足夠的射擊精度，必須對轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心進行控制，以減少由于轉(zhuǎn)子進動帶來的影響。

本文對轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離幾何中心時的運動進行了數(shù)值仿真，并分析其對慣導(dǎo)飛行控制過程以及末制導(dǎo)炮彈彈道特性影響的特點，得出了以下結(jié)論：

①存在質(zhì)量偏心的轉(zhuǎn)子在重力矩的作用下失去慣性空間中的定軸特性，表現(xiàn)為陀螺漂移運動。其中軸向偏心對陀螺轉(zhuǎn)子運動的作用明顯，根本原因是重力矩不隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而改變方向；而徑向偏心對陀螺漂移作用并不明顯，重力矩方向隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而不斷改變，但轉(zhuǎn)子受重力矩作用的平均值不為零。

②軸對稱轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心使轉(zhuǎn)子發(fā)生漂移，改變了陀螺外框角度偏轉(zhuǎn)信號的變化規(guī)律，對舵片控制信號的形成造成超前或滯后的影響。

③軸向偏心對轉(zhuǎn)子水平或垂直方向偏轉(zhuǎn)角度貢獻較大，對射程和側(cè)偏改變很大。徑向偏心對轉(zhuǎn)子水平或垂直方向偏轉(zhuǎn)角度貢獻較小，對射程和側(cè)偏產(chǎn)生一定的影響。若要保證射擊精度，必須減小陀螺裝配誤差。

5 結(jié)束語

本文通過建立轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)方程，分析了轉(zhuǎn)子定向軸變化對慣導(dǎo)飛行控制的影響，結(jié)合末制導(dǎo)炮彈外彈道模型，進行了數(shù)值仿真，并分別研究了轉(zhuǎn)子軸向偏心和徑向偏心對彈道特性的影響。為提高末制導(dǎo)炮彈射擊精度，必須減少陀螺轉(zhuǎn)子漂移角度，采取提高陀螺安裝準(zhǔn)確性的有效措施，也為研制新型末制導(dǎo)炮彈時陀螺部件的設(shè)計提供理論支持。

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