放開手腳 順勢而為

[回顧]

“比一比”是北師大版數學三年上冊第六單元第一節課，主要內容是認識平均數和求平均數。

2005年，吳正憲老師來大慶講學時上過這節課。為了引出“平均數”的概念，吳老師首先設計了“拍球”的情境：“將學生分成人數相等的兩隊，通過和學生自由談話引出：‘老師想了解一下咱們班這兩隊同學的拍球水平，你們說該怎么辦？’……在學生談出自己的不同想法以后，教師結合生活實際肯定了‘每隊選幾個代表拍球’的做法，并在教室中實際組織了如下的活動：‘學生限時地拍球，教師記錄兩隊中每位同學的拍球個數’；然后，教師又提出了如下問題：‘現在我們已經知道了兩隊中每位同學的拍球個數，哪隊同學拍球水平高？你有自己的想法嗎？’……在獨立思考和全班交流后，‘教師又以游戲者的角色加入其中拍球水平低的一隊’，從而引出了‘在人數不相等的情況下，比什么才能公平’這樣一個問題，并‘通過辯論’得出了如下的結論：‘比較平均每人拍球的個數才公平’。”這樣就由上述的特殊情境最終引出了“平均數”的概念。

2009年，當我教學這節課時，便效仿吳老師創設情境引出平均數，并借助情境認識平均數及探索求平均數的方法，效果非常不錯。當時聽這節課的老師都頻頻稱贊。其中一位老師更是點評到位：這節課真精彩，學生都積極參與著，全都跟著老師的思路走，沒有一個溜號的，陳老師真了不起！

[思考]

聽了同行這樣的評價，我心里卻高興不起來。以學為本，以生為本，學生是學習的主人。我本意是想通過“比賽活動”激發學生參與欲望，讓他們自主體會平均數產生的必要性，怎么到頭來還是他們跟著我走呢？如果課堂真如這位老師所說的是“學生跟著老師走”，那學生的主體性還是沒有得到真正的充分發揮啊！這使我百思不得其解。

2010年，我有幸參加了新世紀小學數學杰出人才發展高級研修班，在學習期間讀到鄭毓信教授的《國際視野下的小學數學教育》一書。書中提到吳老師的這節課，認為這樣創設情境對于調動學生的學習積極性無疑是有益的；但是，由于“平均數”的概念對大多數學生來說并非完全陌生的，毋寧說，他們已由日常生活在這一方面積累起了一定的經驗和知識，因此，我們在此就應認真考慮這樣一個問題：與花費很多的時間和精力去組織“拍球”這樣一個活動（或其他的類似活動）相比，以下的做法是否更為可取，即是單刀直入地直接提出“你們有誰知道平均數是什么嗎”這樣的問題。顯然，后一做法不僅更好地體現了教學活動的高效性，也可充分調動學生在這一方面所已具有的各種知識和經驗，而學生經由“拍球”活動所獲得的經驗或體會則不能不說與“平均數”概念的學習仍有較大的距離。

這讓我也開始重新審視這節課，應當如何處理好“情境設置”與“教學的高效率性”這兩者之間的關系？如果采取“單刀直入”的方式，學生如何體會平均數產生的必要性？如果不組織現場“拍球”這樣的活動，還可以怎樣創設情境呢？

[我的研究]

如今，我又教到了三年級，決定再好好地研究一下這節課。

首先，我再次仔細閱讀教材。本課教材創設了“投籃比賽”的情境，利用統計圖呈現比賽情況，意在培養學生讀統計圖表的能力。學生會發現人數不同這一重要信息，不能比總數來確定哪個隊的實力強，從而引出平均數。接著教材呈現了學生可能用到的“移多補少”和除法計算的方法求平均數。

接著，我把研究的重心放在研究學生上，期望能了解學生的知識基礎和已有經驗，并以此確定教學目標，最終尋找合理高效的教學路徑。

研究一：學生現在哪里，哪里就是教學起點

在知識經驗方面，學生在二年級學習了除法，剛剛結束的第五單元認識了分數，已經積累了相當豐富的平均分經驗；在生活經驗方面，學生借助多種途徑接觸過平均數的問題。可是他們會想過為什么要用平均數嗎？也就是感受引入平均數的必要性的問題。還有對于平均數的意義理解上會不會有困難呢？通過對學生知識基礎和已有經驗的回顧和分析，我預測學生計算平均數應該沒有困難，難點可能是理解平均數的意義。

為了更準確地把握學生的認知起點，設計合理的教學，我決定對72名學生進行前測（題目如下圖）。

我對前測結果進行了統計：

只有5名學生認為第1組實力強，約占總數的6.9%，其中有4名學生用平均數進行比較，約占總數的5.6%，其中2人能正確通過除法計算出平均數，通過比較得出第1組實力強的結論。

另2人用的是“移多補少”法找到平均數，通過比較得出結論也是第1組實力強。

還有1人是用如下的方法進行了比較的，通過課后訪談得知，她是去掉了第二組中最小的數據，使兩隊人數相等，然后再通過比較總數做出決策，這個結果是合理的。

其余93.1%的學生雖然有的數數，有的畫圖，有的計算，但都是通過總數進行比較，認為第2組實力強。

前測的結果比我預想的更“糟糕”。原來大多數的學生都是把這樣兩個隊看成一個整體，認為比較實力就是比較總的進球數，并不知道要用平均數做比較。

看來，學生的起點就在這里。他們對于平均的理解僅限于平均分配，而不包括數據統計觀念中的平均數。這也提醒我，體會平均數的必要性將是本節課教學的難點，同時能為本課的教學重點——理解平均數的意義起到重要作用。

研究二：學生要到哪里，哪里就是教學目標

結合對教材編寫意圖的把握及對學情的調研，我確定本節課的教學目標如下：

1.結合具體問題情境，了解平均數的意義，體會平均數的必要性，學會計算簡單數據的平均數。

2.能讀懂簡單統計圖，并能根據統計圖解決一些簡單實際問題。

3.發展統計觀念，增強與他人交流的意識和能力。

其中，教學重點為了解平均數的意義，學會求簡單數據的平均數（結果為整數）。教學難點是感受平均數的必要性，了解平均數的意義。

研究三：學生怎樣學習，過程就是學習路徑

新課程標準將四個具體目標之一“解決問題”修改為“問題解決”，史寧中校長說過原因之一是：要先有問題，再去解決它，這是一個“從頭到尾”思考問題的習慣。張丹博士也說過：原來的教學是我們告訴學生怎么做，現在不告訴他們怎么做了，給出問題讓學生自己去思考，解決問題。但在整個課堂活動中，老師的思路是很清晰的，第一個環節是什么，第二個環節做什么，安排了幾個學生活動等，而學生并不知道為什么一會兒要思考，一會兒要操作。啟發學生思考的最好的辦法就是讓教師與學生一起思考，一起發現和提出問題、分析和解決問題。這就是教師要能暴露自己的思考路徑，教學中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。這也體現了“從頭到尾”思考問題的理念。于是，暴露學習路徑，暴露學生的問題，讓學生在解決問題中一步步明晰，雖不會特別“順暢”，有時會遇到困難，但遠比看似精心的設計更能暴露學生的真實狀態，更符合學生的認知規律。于是，我決定順著學生的學習路徑，讓學生在思考——操作——交流——應用中參與數學學習活動，積累和提升數學基本活動經驗，滲透基本的統計思想。

[課堂實踐片段1]

直接出示情境圖，學生獲取信息后，提出問題：哪個隊的實力強？

1.獨立思考想一想

給學生時間，先獨立思考。很多學生邊思考邊開始“操作”了，有的學生在數，有的在計算。我沒有打斷他們，而是在學生有了自己的想法后和同桌進行交流，最后進行全班討論。

小寧第一個匯報：男生隊一共投入了25個球，女生隊一共投中了24個球，所以男生隊實力強。

我問：誰和他的想法一樣？請舉手。和我預想的一樣，超過一半以上的學生舉手。

這時，小昱提出：這樣比不行，因為男生隊5個人，女生隊4個人，人數不同，對女生隊不公平。這使得對自己想法確信不疑的學生也開始重新思考，認知沖突就這樣產生了。

又有小平提議：應該先算出總數，再除以人數，算出平均的數，用1個人的和1個人的比就公平了。

沒想到小宇卻提出了另外的方法：去掉男生隊一個人的成績，這樣就是4比4，不就行了。

我適時介入：別急，問題要逐個處理。先來思考小寧的問題，這兩個隊人數不同時，可不可以直接用總數比較實力？同學們異口同聲回答：不行。我特意問了小寧，他修改了自己的想法，表示不行，因為人數不同。

我再問：那接下來來討論小宇的提議，去掉男生隊的1個人的成績，使人數相等，這樣比可以嗎？

馬上就有學生不同意了：不行，男生隊就是5個人，不能隨便去掉任何一個成員的成績；是啊，這是一個團隊，1個也不能去掉。

問題非常明確：那就是說，現在要比較的就是人數不相等的兩個隊的實力，不比總數，那比什么呢？這時有更多的學生提出應該比較平均的數。這個平均的數在哪兒呢？能把它找出來嗎？

[課堂實踐片段2]

2.動手實踐做一做

師：同學們可以數一數、用學具擺一擺、也可以在圖上畫一畫，還可以算一算。

學生開始嘗試尋找平均數。我走到學生中巡視，發現或許是受了前面發言的同學計算方法的“提示”，或是更多的學生還沒能真正體會平均數的意義，大多數學生都在列式計算，個別學生在圖上圈著、連著、畫著……當然，也有一名學生拿著圖，不知該干些什么。我把他托付給剛剛已經找到平均數的同桌：先和他說一說你的想法，再讓他也說一說。然后，我提醒全班同學，先完成的與同桌交流想法。

[課堂實踐片段3]

3.全班分享說一說

為了更好地幫助學生體會方法的多樣性，同時又尊重學生的認知規律，我根據巡視對學生多樣方法的掌握做好了匯報的順序安排：先來匯報畫圖法，再來匯報計算法。

方法一：重新均分

小楠是在圖的背面畫圖重新分配的（如下圖）。通過她的敘述，知道了她其實是先進行了計算，然后再根據結果畫圖來驗證的。

這時，小睿展示了她的圖（如下圖），展現了把進球總數按人數重新分一分的想法。

方法二：移多補少

認真傾聽了前面兩位同學的方法后，有的同學提出：不用畫得那么麻煩，可以簡單移一移就可以了（如下圖）。

展臺上展出了兩位同學的畫法，他們又在黑板上的圖上現場畫，動態呈現“移多補少”的過程。學生邊畫邊解釋，說清了把誰的球補給了誰，這樣就相當于每人都投進了幾個。我抓住第二名學生畫的“標準線”，讓他說明這條線的意思。學生表述，這樣就每個人都一樣多了，就平均分了，這條線表示的就是每個隊的實力。

想清、做清、說清，前面兩名學生做得不錯。當其他同學都感受到“移多補少”的方法即直觀又簡便時，我給全體同學時間，都來親身體驗一下“移多補少”，直觀地認識平均數，理解平均數的產生過程。

方法三：先加后除法

一組同桌兩人同時板前書寫算式，并介紹想法、歸納概括方法：先用加法求進球總數，再除以人數，即求出每隊的平均進球數，掌握計算平均數的一般方法。

歸納小結：

接下來學生用自己的話描述一下“心目中的平均數”。

生1：就是把總數平均分給每個人的平均的數。

生2：就像算平均油價一樣，比如第一種包裝4千克48元，第二種包裝5千克55元，第一種包裝平均每千克12元，第二種包裝平均每千克11元，第二種包裝的便宜。

事實上，平均數與平均油價在意義上的差別很大，但學生能夠借助已有經驗來幫助理解。我給予肯定，你可以這樣理解平均數。

生3：平均數就是把多的補給少的達到一樣多的中間數。

這個孩子邊說還邊比畫，我順勢和所有學生都來比畫，左手高，右手低，然后左手慢慢下降，右手慢慢上升，達到持平。借助手勢，再現了“移多補少”的平均數產生的過程，進一步理解平均數的意義。

…………

[課堂實踐片段4]

4.生活拓展用一用

平均數在生活中有哪些應用呢？一起解決幾個問題吧。第1題是書上練一練的1題。

我在巡視過程中發現有幾名學生把總分填在了表格平均得分處，但通過和同桌交流都已經及時改正了。我又發現小然完成得特別快，和她交流得知，她用的是“取多補少”的方法。我暗暗竊喜，準備稍后讓她來介紹這種方法。可小然接下來的問題讓我高興不起來了：老師，1號選手的得分為什么不是中間數89分呢？什么意思？我一時糊涂了。經過她解釋，我明白了，她認為3個得分中“中間”的數就是應該是平均數。我一下子想起來剛才小源提到的“中間數”，原來有的同學誤會了。好吧，就利用這個誤會來解釋誤會吧。

在1名學生簡單匯報了最基本的先加后除的方法后，我請小然來說一說她用“移多補少”法得出2號選手的平均得分，2號選手的得分很特殊，正好就是“中間數”91分。而1號選手的平均得分卻不是89分，怎么解釋呢？學生自發地開始討論，通過辨析和結果驗證，逐步明晰：平均數指的是在最大數和最小數之間的某個數，表示的是一個標準，不一定是這組數據中的確定的一個數。

趁熱打鐵，一起來讀一讀數學故事：

學生有了前面的學習討論，幾乎都能做出正確判斷和合理解釋：平均水深是0.8米，有的地方可能比1.3米還深呢；因為河邊上很淺，所以一定有的地方比0.8深，這樣有危險。我順勢出示第2幅圖，再次直觀理解“平均水深”。通過這個故事，學生更加體會到平均數代表了一組數據的平均水平的意義。

帶著問題來，帶著問題走。關于平均數，你還有什么問題或是新的思考嗎？小玉提出：除不開（除不盡）怎么辦？是啊，平均數不是一個確定的數，很可能遇到不能整除（三年級學生還沒學習小數除法）的情況，那怎么辦呢？學生想辦法：可以用計算器幫忙，也可以取接近的整數。接著順理成章地布置了實踐作業：1.調查你所在小組同學的身高，并計算小組同學的平均身高。2.在報刊上找出與平均數有關的信息，記錄下來，下節課上小組交流。

整節課，學生很開心，我也一直興奮著。在一個一個的數學活動中，學生邊尋找平均數邊理解著平均數的意義，也積累著求平均數的方法和經驗。我順著學生，時而追問，時而點撥，時而組織討論，幫助學生一步步經歷，一點點明晰。

這次實踐驗證了不用現場比賽的情境，直接利用教材主題圖也是可以突破體會平均數必要性這一重難點，進而落實教學目標的。課后市教師進修學院王利主任這樣評價：一個思考醞釀了前后近10年，相隔5年的兩次實踐都是有價值的。這節課上老師能順勢而教，順誰的勢？順的是學生，順的是學情。是啊，以學論教，順勢而為。我更加堅信：放開手放開腳放心去做，順學生順學情順勢而為。

（作者單位：大慶市萬寶學校）

陳英，中學高級教師。兩次被評為全國新世紀優秀教師，教育部北師大課程中心教材培訓高級講師、新世紀杰出人才發展工程首期高級研修班學員。黑龍江省“千名專家下基層行動”專家、教學能手，大慶市模范教師、市兼職教研員、骨干教師，大慶市名師工作室“陳英工作室”主持人。