巧借基礎(chǔ)拓展提高

顧紅松

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進(jìn)入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實(shí)，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進(jìn)而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點(diǎn)一點(diǎn)的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\(yùn)用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實(shí)際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進(jìn)一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實(shí)際就是這兩種對稱的延伸.運(yùn)用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點(diǎn)的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實(shí)際上是同一類題.

解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點(diǎn)Q，使得Q到A及

點(diǎn)C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機(jī)的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點(diǎn)最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點(diǎn)在圓上找一點(diǎn)到該點(diǎn)的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點(diǎn)P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達(dá)到最小，由此想到過圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的最短弦所對的弓形.本題的實(shí)際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進(jìn)行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運(yùn)算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達(dá)到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點(diǎn)坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點(diǎn)P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點(diǎn)，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點(diǎn)，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進(jìn)入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實(shí)，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進(jìn)而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點(diǎn)一點(diǎn)的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\(yùn)用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實(shí)際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進(jìn)一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實(shí)際就是這兩種對稱的延伸.運(yùn)用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點(diǎn)的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實(shí)際上是同一類題.

解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點(diǎn)Q，使得Q到A及

點(diǎn)C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機(jī)的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點(diǎn)最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點(diǎn)在圓上找一點(diǎn)到該點(diǎn)的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點(diǎn)P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達(dá)到最小，由此想到過圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的最短弦所對的弓形.本題的實(shí)際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進(jìn)行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運(yùn)算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達(dá)到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點(diǎn)坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點(diǎn)P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點(diǎn)，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點(diǎn)，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進(jìn)入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實(shí)，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進(jìn)而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點(diǎn)一點(diǎn)的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\(yùn)用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實(shí)際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進(jìn)一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實(shí)際就是這兩種對稱的延伸.運(yùn)用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點(diǎn)的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實(shí)際上是同一類題.

解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點(diǎn)Q，使得Q到A及

點(diǎn)C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機(jī)的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點(diǎn)最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點(diǎn)在圓上找一點(diǎn)到該點(diǎn)的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點(diǎn)P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達(dá)到最小，由此想到過圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的最短弦所對的弓形.本題的實(shí)際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進(jìn)行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運(yùn)算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達(dá)到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點(diǎn)坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點(diǎn)P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點(diǎn)，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點(diǎn)，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.