基于應(yīng)用與幾何直觀的線性代數(shù)教學(xué)方法

【摘 要】線性代數(shù)是現(xiàn)代科學(xué)的一個(gè)基本而重要的研究工具，是很多專業(yè)的基礎(chǔ)課程。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)方法過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論及其推導(dǎo)，使得很多學(xué)生覺(jué)得線性代數(shù)很抽象。筆者結(jié)合自身的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)線性代數(shù)在最小二乘近似中的應(yīng)用來(lái)說(shuō)明線性代數(shù)的“工具”本質(zhì)和幾何直觀的重要性，進(jìn)而探討線性代數(shù)教學(xué)的新思路和方法。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 矩陣 線性方程組 最小二乘近似

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）30-0007-02

線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)幾乎運(yùn)用于所有科學(xué)研究中，因而它是大學(xué)理工科和經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課之一。然而另一方面，這門(mén)課程內(nèi)容相對(duì)抽象，加之國(guó)內(nèi)教學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)獨(dú)立講解各種概念和定義、過(guò)分強(qiáng)調(diào)定理的證明而忽略其實(shí)質(zhì)和幾何背景，使得初學(xué)者感到非常困難和枯燥。這種教學(xué)就好像把這門(mén)學(xué)科拆成了碎片，對(duì)每一部分進(jìn)行詳盡、瑣碎的考察。每一細(xì)節(jié)都弄清楚了，而完整的形象卻消失了。在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，存在以下問(wèn)題：（1）線性代數(shù)課程自身的特點(diǎn)：抽象概念較多，邏輯思維能力要求較高。（2）課時(shí)量少。多數(shù)高校非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課時(shí)數(shù)都較少，一般為30～40課時(shí)之間，造成了課程教學(xué)要求和教學(xué)課時(shí)量之間的矛盾，從而使教師在講授這門(mén)課程時(shí)有較大難度和挑戰(zhàn)。（3）國(guó)內(nèi)線性代數(shù)教材編排沿用數(shù)學(xué)專業(yè)《高等代數(shù)》課程體系和思路，重基礎(chǔ)、輕應(yīng)用，使學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)存在困難。

國(guó)內(nèi)已有很多教師在解決上述問(wèn)題方面做了有益的嘗試。線性代數(shù)這門(mén)課程有兩個(gè)重要的特征：（1）它有極強(qiáng)的幾何背景；（2）作為應(yīng)用，它為許多科學(xué)問(wèn)題的解決提供了必要且有力的工具。我們?cè)谑谡n中緊扣這兩個(gè)特征，從問(wèn)題出發(fā)，利用線性代數(shù)的幾何直觀使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本思想、方法和技巧。

一 在教學(xué)中突出幾何直觀

線性代數(shù)名曰代數(shù)，處理的卻是幾何對(duì)象：向量空間及其變換。向量是最基本的，也是學(xué)生比較熟悉的數(shù)學(xué)概念，向量及其運(yùn)算和性質(zhì)也是線性代數(shù)中的最基本元素。因而，教學(xué)開(kāi)始就向?qū)W生重點(diǎn)介紹向量的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)算（點(diǎn)積、線性組合等），并結(jié)合二維和三維時(shí)的幾何直觀。當(dāng)學(xué)生熟悉了向量及線性組合的概念和幾何意義之后，線性方程組和

空間就是很自然的概念了。以二元線性方程組 …（1）

為例，這是學(xué)生在小學(xué)時(shí)就用過(guò)的數(shù)學(xué)工具，而且知道它的幾何意義：求直線2x+y=0和直線x+2y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)。

如今我們可將（1）式記作： …（2）。這樣，

2元線性方程組又具有了特殊的含義：要使得向量 是向量

和 的線性組合，求組合系數(shù)x和y。而集合S=

便是由向量 和 生成的2維空間。

還可以利用點(diǎn)積的定義將（1）式記作： …（3）

這是在線性代數(shù)中線性方程組的表示方式。集合S即為矩陣

的列向量組生成的空間，又顯然（1）式是有解的，這

也意味著向量 。更重要的是：這里給出了矩陣的乘法

定義，也為“線性變換”這一線性代數(shù)的核心概念埋下伏筆。

如此看來(lái)，線性代數(shù)就是從解決最基礎(chǔ)最原始的問(wèn)題——“求解線性方程組”而發(fā)展出來(lái)的一門(mén)學(xué)科，在二維情形下其幾何直觀是我們?cè)缫咽熘?。接下?lái)要做的是將其推廣到高維情形并詳細(xì)討論。而令學(xué)生費(fèi)解的矩陣的乘法定義就是若干向量?jī)蓛芍g的點(diǎn)乘，它也來(lái)源于線性方程組，是很自然的定義。由此，我們從幾何直觀出發(fā)，對(duì)線性方程組進(jìn)行刻畫(huà)，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)線性代數(shù)的基本思想和方法。

二 線性代數(shù)的應(yīng)用

線性代數(shù)處理的對(duì)象主要是向量空間及其線性變換；處理的工具主要是矩陣。通過(guò)線性方程組，我們對(duì)矩陣的概念、特性、運(yùn)算及在解線性方程組中的應(yīng)用等知識(shí)有所了解。我們闡述一個(gè)線性代數(shù)應(yīng)用的例子，更好地說(shuō)明線性代數(shù)作為“工具”的本質(zhì)。而這個(gè)例子本身也可以體現(xiàn)學(xué)科之間的互通和數(shù)學(xué)的美妙。

如圖1，設(shè)a，b∈R2，設(shè)向量 是b在a上的投影，稱e=b-p為該投射的誤差。因?yàn)閑與a垂直（正交），所以

，解得 。即： …（4），令

，顯然PT=P且P2=P，我們稱P為投影矩陣，（4）式

的含義即為“b在a上的投影=投影矩陣P左乘向量b”，而性質(zhì)P2=P可以理解為“投影的投影還是投影本身”這一幾何直觀。

下面我們推廣到大于二維的情形，設(shè)有線性無(wú)關(guān)的m維向量a1，a2，…，an，S是a1，a2，…，an生成的子空間，令b∈Rn，且 。設(shè) 是b在S上的投影，其中A=[a1，a2，…，an]，誤差為 （如圖2）。因?yàn)閑垂直于S（即e與S中所有的向量正交），所以ATe=0，即 ，因?yàn)閍1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，所以方陣ATA可逆。因此解

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* 四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)教改立項(xiàng)項(xiàng)目——外語(yǔ)院校金融專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)模式研究（編號(hào)：123219）

得 。即 。

同二維一樣，我們稱矩陣P=A（ATA）-1AT為投影矩陣，顯然PT=P且P2=P。

圖1 圖2

注：圖1為向量b在向量a上的投影；圖2為向量b在平面S（S=矩陣A的列向量生成的子空間）上的投影。

以上投影的思想和方法可被用來(lái)解決一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)線性方程組Ax=b無(wú)解的時(shí)候，我們?nèi)绾吻蟮米顑?yōu)的近似解？

Ax=b無(wú)解，即b不屬于矩陣A的列向量組生成的子空間（記作S）。所謂最優(yōu)近似解 ，即滿足 是b在子空間S上的投影，此時(shí)的誤差 最小。即把求Ax=b轉(zhuǎn)化為求 ，即 。

下面我們給出這一方法的一個(gè)精彩應(yīng)用：設(shè)（0，6），（1，0），（2，0）是平面上的三個(gè)點(diǎn)，我們需要找到一條直線b=C+Dt，使得該直線距離這三點(diǎn)的距離最近，即求最優(yōu)擬合直線。顯然這三點(diǎn)并不在一條直線上?？紤]方程組：

，我們記 。

顯然方程組Ax=b無(wú)解。由以上討論，我們求最優(yōu)近似解，

其滿足方程組 的。即： ，解得C=5，

D=-3。得到直線方程b=5-3t。

從圖3可知（圖3為點(diǎn)（0，6），

（1，0），（2，0）與直線b=5-3t

的誤差）：

，即

為誤差。這就是在科學(xué)分析中常見(jiàn)的最小二乘近似的代數(shù)解釋。如果用微積分的知識(shí)來(lái)求最優(yōu)擬合直線，即求函數(shù) 的最大值點(diǎn)，令

化簡(jiǎn)得： 得到相同的結(jié)果。我們可以看到線性代

數(shù)作為工具，可以解決實(shí)際的問(wèn)題，微積分將非線性對(duì)象歸結(jié)為線性對(duì)象，處理線性對(duì)象的任務(wù)就交給線性代數(shù)。特別在多元微積分中更是如此。此外，這種利用幾何直觀解釋最小二乘近似更便于學(xué)生接受和理解，且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三 線性代數(shù)教法的有益嘗試

以往教材體系，一般是按定義、公理、引理、定理、推論的模式來(lái)編寫(xiě)。這樣有利于讓學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，以便在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)或研究過(guò)程中逐步體會(huì)線性代數(shù)的思想和應(yīng)用。這種編排對(duì)大多非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)講顯得太“數(shù)學(xué)化”了，因此很難接受和適應(yīng)。另一方面，教材的編排遵從嚴(yán)密的邏輯體系，這樣做往往會(huì)忽視問(wèn)題的重要性，而只關(guān)注闡述知識(shí)的過(guò)程及其嚴(yán)謹(jǐn)性。即便學(xué)習(xí)很認(rèn)真刻苦，學(xué)生也容易感覺(jué)“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”。有些學(xué)生題目做了很多，技巧和方法用得爛熟，但問(wèn)到“線性代數(shù)有什么用”，他們依然一頭霧水。國(guó)內(nèi)大多數(shù)線性代數(shù)教材一開(kāi)始就講行列式和它繁雜的性質(zhì)和運(yùn)算技巧。它的定義很復(fù)雜、抽象，雖然學(xué)生知道它是在解線性方程組的過(guò)程中被發(fā)現(xiàn)和定義的，但依然不明白這個(gè)定義有什么用？事實(shí)上，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了矩陣、線性方程組和向量空間之后，再學(xué)習(xí)行列式，它的定義就很自然了。它實(shí)際上就是將一個(gè)方陣經(jīng)過(guò)初等變換為階梯形后，對(duì)角線元素的乘積，這個(gè)數(shù)字反映了方陣的某些重要的特性（如是否可逆）。教學(xué)中在講解完它的定義和性質(zhì)之后，介紹其幾何背景：二階行列式就是平行四邊形面積，行列式的性質(zhì)都可以在平面上通過(guò)畫(huà)圖直觀表示。而且二階行列式可以通過(guò)代表它的一組鄰邊的向量按乘法法則展開(kāi)得出來(lái)。行列式等于零就是面積為零，就是這個(gè)平行四邊形退化到一條線上了，也就是線性相關(guān)三階行列式是平行六面體的體積。n階行列式可以看作它的各行張成的n維的體積，它的算法公式也可以由各行按乘法法則展開(kāi)得到。這樣，既對(duì)于行列式就有了一個(gè)較為直觀的認(rèn)識(shí)，又很好地反映了線性代數(shù)的幾何直觀。

學(xué)習(xí)線性代數(shù)和做科研一樣，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是核心。教師應(yīng)當(dāng)先拋出問(wèn)題給學(xué)生（如求解方程組、線性方程組的解集與未知數(shù)個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)之間有何關(guān)系、向量怎樣坐標(biāo)化、n維數(shù)組空間的向量什么時(shí)候是基……），問(wèn)題是很具體的，容易激起學(xué)生的求知欲和興趣。然后圍繞解決問(wèn)題去組織教學(xué)內(nèi)容，逐步通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)引入定義，給出性質(zhì)、方法和技巧。這樣更符合人的認(rèn)知過(guò)程和學(xué)科發(fā)展的自然規(guī)律。

四 結(jié)束語(yǔ)

我們?cè)诮虒W(xué)中做了以上嘗試之后，學(xué)生覺(jué)得線性代數(shù)的入門(mén)形象了許多，并能切身感受到發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和利用線性代數(shù)這一有力工具解決問(wèn)題的全過(guò)程，而不僅僅以會(huì)做題目來(lái)衡量是否學(xué)好了線性代數(shù)這門(mén)課。我們將繼續(xù)深化這種嘗試和改革，以問(wèn)題為中心、以幾何背景為手段，以期形成一套完善的線性代數(shù)的新教學(xué)模式。

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〔責(zé)任編輯：林勁〕