應用實例在高等數學中的運用

【摘 要】高等數學是高職院校的基礎課程之一，本文以案例教學為載體，通過若干具體應用實例闡述了如何培養學生的數學應用能力和實踐能力，從而更好地適應當前高等職業教育的發展，同時也指出了案例實施過程中一些需要注意的問題。

【關鍵詞】案例教學法 高等數學 高等職業教育 應用能力

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0038-02

中國的高等職業教育于20世紀80年代正式納入國民教育體系，成為中國高等教育事業的重要組成部分。經過若干年不斷探索和總結，高職教育確立了培養生產、建設、管理、服務第一線的高素質、高級技能型專門人才的培養目標，確立了工學結合為其重要人才培養模式，并對課程體系進行了一系列各具特色的改革，取得了一些有價值的成果。

高等數學是一門重要基礎課程，在信息時代大背景下，其數學思想和數學思維方法越來越受到各行各業的重視。在高職教育中，數學課程首先是為專業課程提供必要的數學基礎，并在此基礎上培養學生應用高等數學解決實際問題的能力和素養，概括來講，就是“理解概念，聯系實際，深化應用，提高能力”。然而，在高職教育從無到有，到遍地開花、蓬勃發展的這些年，高等數學的課程改革卻是舉步維艱，特別是在“如何培養學生應用數學、實踐數學的能力和素養”這一點上，探索顯得尤為艱難。有相當一部分學生覺得數學“學了不知道有什么用”“學完就忘”等，因此，如果要切實提高學生學數學的興趣和用數學的能力，就必須想辦法讓學生“動”起來，而案例教學就是動態學習過程的一個良好載體。

案例教學法起源于20世紀初美國哈佛大學，即圍繞一定的培訓目的把實際中真實的情境加以典型化處理，形成供學生思考分析和決斷的案例，通過獨立研究和相互討論的方式，來提高學生分析問題和解決問題的能力的一種方法，在當今世界的教育和培訓中受到重視和廣泛的應用。本文主要討論若干應用實例在高等數學教學中的運用實踐，旨在對如何提高學生的數學應用能力做一些探索。

實例一：割圓術

案例介紹：公元263年，中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中給出了一種求圓面積的方法——“割圓術”，先作圓的內接正三角形，記其面積為S1，再作圓的內接正四邊形，記其面積為S2…，一直下去，記圓的內接正n邊形的面積為Sn，于是得到一個數列S1，S2…Sn…。當n無限增大時，Sn無限接近于圓的面積S。

案例實施：解決這個案例，學生大概需要分三步實現，流程如下：

案例應用：極限是微積分的基石，該案例的實施過程是極限應用的典型范例，后續無論是切線斜率問題（導數）還是曲邊梯形面積問題（定積分），其推導過程都遵循了上述“建立函數表達式”——“將所求量表示為函數（數列）的極限”——“計算極限”這樣的分析過程。

實例二：蜂巢結構

案例介紹：觀察蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會于底部中心頂點G。著名天文學家馬拉爾第觀察到了作為蜂房底的3個菱形的鈍角等于109°28′，銳角等于70°32′。

馬拉爾第的結果引起法國著名的博物

學家雷奧姆的興趣，他猜測蜜蜂選擇

這兩個角度一定是有原因的，可能就

是要在固定容積下，使表面積為最小，

即以最少的蜂蠟做出最大容積的儲藏

室。這個猜測被瑞士數學家柯尼格從

理論上做了證明（他的計算結果與實測值僅差兩分）。

案例實施：設正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y，實施流程如下：

案例應用：該案例是一個高等數學與數學建模相結合的最優化問題，主要通過“提煉模型”——“模型分析”——“模型求解”這樣三個步驟實現，學生通過該案例的學習，可以體驗將實際問題抽象為數學模型進而求解的一般過程，高等數學應用中很多實際問題，如“最優廣告策略”“最省用料方案”等，都有類似的分析求解過程。

實例三：溶液混合問題

案例介紹：容器內盛有50升的鹽水溶液，其中含有10克鹽。現將每升含鹽2克溶液以每分鐘5升的速度注入容器，并不斷攪拌，使混合液迅速達到均勻，同時混合液以每分鐘3升的速度流出容器，請問任一時刻t容器中溶液的含鹽量是多少？

案例實施：在案例中，鹽水流入的同時也在流出，這是個動態問題，用初等數學的知識無法解決，可以通過建立微分方程來實現。

案例應用：這類溶液混合問題與著名的牛吃草問題（也稱消長問題或牛頓牧場問題）具有同一動態屬性，其某個特定量的動態變化速度是“消”“長”因素共同作用的結果。其他一些工程問題，如“抽水機抽水問題”等，也可以采用這樣的思路求解。

英國數學家牛頓曾說：“在學習科學的時候，題目比規則還有用些。”案例教學通過為學生提供合理的數學教學情境，經過學生主觀自覺的對比、歸納、思考、領悟、分析與決策，讓學生在動手操作過程中綜合運用課程知識，從而提高分析、解決問題的能力，是常規教學的一種有效補充。當然，案例教學也有局限性，如適合教學的案例較少、花費的時間較多、對教師的要求較高、效率有時較低等。特別是在案例的選取上，教師一定要注意把握尺度，案例太復雜，超出學生的能力范圍，會打擊學生的積極性；案例太簡單，不能調動學生的興趣，其理解、思維和分析能力也得不到很好的鍛煉。此外，還要注意案例的生動性與數學知識點相結合。單調呆板的案例對學生來說與純粹的數學知識無異，只有生動的、貼近生活的案例才可能調動學生的興趣，但如果一味地追求案例的生動性而忽視了與數學內容的結合，那么通過案例教學提高學生應用數學的能力也就成了一句空話。

參考文獻

[1]張家軍、靳玉樂.論案例教學的本質與特點[J].中國教育學刊，2004（1）：62～65

[2]郭德紅.案例教學：歷史、本質和發展趨勢[J].高等理科教育，2008（1）：22～24

[3]孫軍業.案例教學[M].天津：天津教育出版社，2004

[4]陳衛忠、楊曉華主編.高等數學[M].蘇州：蘇州大學出版社，2012

[5]李心燦主編.高等數學應用205例[M].北京：高等教育出版社，1997

〔責任編輯：林勁〕