實(shí)數(shù)的六個(gè)命題點(diǎn)

文／劉瓊瓊

實(shí)數(shù)是中考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，但許多同學(xué)認(rèn)為實(shí)數(shù)內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，不太重視實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)，從而在解決與實(shí)數(shù)相關(guān)的題目時(shí)出現(xiàn)會(huì)做但做錯(cuò)的現(xiàn)象。現(xiàn)從六個(gè)命題點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)梳理，查漏補(bǔ)缺，以期對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助。

命題點(diǎn)一：絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)

例1（1）-2021的絕對(duì)值是（ ）。

（3）實(shí)數(shù)100的倒數(shù)是（ ）。

【解析】根據(jù)絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的概念解題。（1）D；（2）A；（3）C。

【點(diǎn)評(píng)】（1）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。（2）一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。（3）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)有以下技巧：①求整數(shù)的倒數(shù)，可以把整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，再把分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可；②求真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，直接把分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可；③求一個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)；④求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)。

命題點(diǎn)二：科學(xué)記數(shù)法

例2（1）2021年揚(yáng)州世界園藝博覽會(huì)以“綠色城市，健康生活”為主題。在某搜索引擎中輸入“揚(yáng)州世界園藝博覽會(huì)”，約有3020000個(gè)相關(guān)結(jié)果，數(shù)據(jù)3020000用科學(xué)記數(shù)法表示為_____。

（2）原子很小，1個(gè)氧原子的直徑大約為0.000000000148m，將0.000000000148用科學(xué)記數(shù)法表示為_____。

（3）據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)省（區(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）。

A.0.510858×109B.51.0858×107

C.5.10858×104D.5.10858×108

【解析】科學(xué)記數(shù)法是把一個(gè)數(shù)寫成a×10n的形式，1≤ ||a＜10，n為不等于0的整數(shù)。（1）3.02×106；（2）1.48×10-10；（3）D。

【點(diǎn)評(píng)】把一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示的方法：（1）a值的確定，1≤ ||a＜10。（2）n值的確定，當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，n的值等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1或原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)；當(dāng)0＜原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)，n的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第1個(gè)非零實(shí)數(shù)前零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的0）或原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)。另外還要注意原數(shù)字后面的萬、億等單位，以及結(jié)果是否需要計(jì)算。

命題點(diǎn)三：數(shù)軸的應(yīng)用

例3實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）。

A.a＞-2 B.||a＞b

C.a+b＞0 D.b-a＜0

【解析】觀察數(shù)軸得出a＜-2，b＞0，||a＞|b|，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；根據(jù)有理數(shù)的加法法則a+b＜0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閎＞a，所以b-a＞0，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】觀察數(shù)軸上的數(shù)應(yīng)從三個(gè)方面入手：（1）數(shù)的正負(fù)性；（2）絕對(duì)值大小；（3）利用數(shù)軸比較大小（數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)）。解決此題需要把數(shù)與形結(jié)合起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

命題點(diǎn)四：平方根、算術(shù)平方根、立方根

例4（1）49的平方根是_____ 。

（2）4的算術(shù)平方根為_____。

（3）64的立方根是_____。

【解析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念解題。（1）±7；（2）2；（3）4。

【點(diǎn)評(píng)】非負(fù)數(shù)a的平方根是±，算術(shù)平方根是，實(shí)數(shù)b的立方根是。

命題點(diǎn)五：無理數(shù)的估算

例5 若m＜2＜m+1，且m為整數(shù)，則m=____。

【解析】因?yàn)椋?＜＜6，所以m=5。

【點(diǎn)評(píng)】估算的取值范圍，需從兩個(gè)方面入手：（1）確定與a相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù)，即比a大和比a小且最接近a的兩個(gè)完全平方數(shù)；（2）分別求出這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根，從而得出m的值。

命題點(diǎn)六：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

例6

【解析】（1）和（2）涉及絕對(duì)值、零指數(shù)冪、立方根、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等考點(diǎn)。在計(jì)算時(shí)，我們首先應(yīng)針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果。

【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算通常將絕對(duì)值、算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)等考點(diǎn)集于一題，綜合考查運(yùn)算能力。解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）零次冪，a0=1（a≠0）；（2）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，p為正整數(shù)），特別地；（3）熟記特殊角的三角函數(shù)值；（4）注意各項(xiàng)的符號(hào)。