淺談高階導數的求法

摘 要：本文主要通過一些典型例題從四個方面探討了高階導數的求法。包括：根據高階導數定義求之、利用高階導數公式求之、使用萊布尼茲公式求之、用復合函數求導法則求之等。

關鍵詞：函數；高階導數；階導數；

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-3520（2014）-07-00-02

定義：函數 的導數 仍是x的導數，則稱的導數為的二階導數。一般地，如果 的 階導數仍可導，則稱 階導數的導數為 的n階導數，記為 。二階或二階以上的導數統稱為高階導數。下面筆者就高階導數的求法做一探討。

一、根據高階導數定義求之

根據高階導數定義可知，求高階導數只需運用求導公式、求導法則等求導方法逐步求導即可。對于n階導數，可先求出函數的前幾階導數后，分析結果的規律性，從中找出規律，歸納出階導數。

例1：設函數 ，求 。

解：，， ，

由此，得：，。

例2：設，求。

解：因

所以 。

二、利用高階導數公式求之

高階導數常用公式如下： ， ，

常把求高階導數的函數化為適合應用上述公式的函數或其代數和，然后利用公式求之。在求有理分式函數的階導數時，一般先把有理函數化為多項式與最簡分式之和，然后再利用公式分項求其階導數。在求某些三角函數的階導數時，也需要用三角函數恒等式及有關公式先把它化為

，之和或差的形式，然后再利用公式求其階導數。

例3：求下列函數的n階導數的一般表示式。

三、使用萊布尼茲公式求之

萊布尼茲公式：設 階可導，則 當所求導數的函數是兩個函數的乘積時，宜用萊布尼茲公式求之。特別地，當其中一個因子為次數較低的多項式函數時，由于階數高于該次數的導數均為零，因而求導結果比較簡單，故常用此式求以多項式為因子的函數乘積的高階導數、指定階的導數、指定階的導數在指定點的值。另外，當兩個因子函數中，其中有一個函數的各階導數有明顯的規律性時，也常用萊布尼茲公式求其高階導數。

四、用復合函數求導法則求之

定理：設函數 在點x處可導，函數 在對應點 處可導，則復合函數 在點處仍可導，且有 ，或記為

。復合函數求導法則也可推廣到多次復合的情形。在求導時，應從外層向內層逐層求導，一直求到對自變量求導數為止。若

存在單值反函數 ，常用復合函數求導法則，求其反函數 的高階導數 。

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