在研究生數(shù)值分析課程教學中融入數(shù)學建模思想的探索與實踐

【摘 要】本文分析了當前研究生數(shù)值分析課程的特點及教學中存在的問題，從教學內(nèi)容與教學方式兩個方面對數(shù)值分析教學中融入數(shù)學建模思想進行了探討，提出了注重基礎、更新教學內(nèi)容、增加與理論知識相關的背景介紹、教學內(nèi)容中滲透建模思想的教學方法，并指出只有加強在教學方法、教學手段及考試方式三方面的改革，才能強化數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，達到學以致用的目的。

【關鍵詞】數(shù)值分析 數(shù)學建模 教學改革 創(chuàng)新能力

【中圖分類號】G643 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）12-0011-02

數(shù)值分析是理工科碩士研究生重要的基礎課，是他們將來從事學術研究的必要基礎與工具，是一門研究如何高效地運用計算機進行科學計算的數(shù)值方法及理論的科學，是程序設計的重要依據(jù)和對數(shù)值結(jié)果進行理論分析的基礎，它兼有被譽為當今科學探索活動三大支柱中的科學計算、科學實驗和理論分析三種功能。數(shù)學建模是利用數(shù)學知識來解決實際問題，因而，研究在數(shù)值分析教學中融入數(shù)學建模思想，能很好地解決“學”與“用”之間的關系，將有助于學生學習理論知識，培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想和方法解決實際問題的能力和創(chuàng)新意識，具有重要的理論和現(xiàn)實意義。

本文根據(jù)近年來教師從事研究生數(shù)值分析課程教學的實踐經(jīng)驗及理論研究結(jié)果，分析了當前研究生數(shù)值分析課程的特點及教學中存在的問題，從教學的內(nèi)容與教學方式兩個方面對數(shù)值分析教學中融入數(shù)學建模思想進行了探討，提出了注重基礎、更新教學內(nèi)容、增加與理論知識相關的背景介紹、教學內(nèi)容中滲透建模思想的教學方法，并加強在教學方法、教學手段及考試方式三方面的改革，強化數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，達到學以致用的目的。

一 數(shù)值分析課程特點與教學現(xiàn)狀

1.課程特點

與其他純數(shù)學理論課程相比，數(shù)值分析除了具備數(shù)學的高度抽象性與嚴密科學性的特點之外，又有應用的廣泛性與實際實驗高度技術性的特點。具體來說，這門課程具有以下教學特點：（1）知識面跨度大。數(shù)值分析廣泛運用多門數(shù)學學科的知識，內(nèi)容包括數(shù)值逼近、數(shù)值積分、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、常微分方程數(shù)值計算等，涉及數(shù)學分析、代數(shù)學、微分方程、泛函分析等眾多數(shù)學理論。（2）有可靠的理論分析，注重理論與應用的結(jié)合。數(shù)值分析注重運用這些理論構造適合計算機執(zhí)行的數(shù)值方法，根據(jù)計算機特點提供實際可行的有效算法。它的許多理論與方法本身并不是數(shù)學學科的產(chǎn)物，而是以“計算”為目標發(fā)展起來的。（3）公式推導和算法比較多，計算量比較大。從數(shù)值分析的教材上可以看出，從理論上來說，這門課就是在講算法，課堂上大部分時間都是在講解煩瑣的理論推導。構建數(shù)學模型時，為了能夠很好地說明解決實際問題中數(shù)值計算方法的功勞所在，是有效處理其中存在的大量靠手工計算難以完成的計算任務。

2.教學現(xiàn)狀

從教學內(nèi)容上看，目前研究生數(shù)值分析教學主要有兩種類型：（1）偏重于數(shù)值分析的理論知識；（2）偏重于數(shù)值分析中具體算法的應用。前者對于沒有經(jīng)過系統(tǒng)嚴格的數(shù)學專業(yè)訓練的理工科碩士生來說，其精髓和思想方法很難被體會和掌握，學生往往無法將花費大量時間學習的理論知識應用到實際問題的解決中去；而后者又不利于學生對數(shù)值分析理論基礎，特別是數(shù)值分析思想方法的掌握，致使很多學生對所學內(nèi)容知其然而不知其所以然，在實際應用中缺乏靈活變通。

從教學方式上看，傳統(tǒng)的“注入式”教學模式仍占主導地位。多年來，盡管很多教育工作者對研究生教學改革作了多方面的有益嘗試，但教學模式仍沒有得到根本性的改變。這種模式偏重知識傳授，忽視了研究生的個性培養(yǎng)、創(chuàng)新思維的訓練和引導。

二 建模思想與數(shù)值分析的融合教學實踐探索

1.注重基礎，強化建模思想的融入

研究生的學習不只是書本知識及其簡單應用，也不只是運用概念原理解決書本上設計好的、情境化和確定性的問題；而是為了應用于研究，解決他們以后可能遇到的科學與工程中的技術問題。教學過程中，基本理論教學必不可少，基礎相當于一座大廈的地基，沒有堅固的基礎，華麗的大廈終究會倒塌，學習數(shù)值分析也一樣，為了達到良好的教學效果，我們應該在學習過程中廣泛滲透一些建模思想或內(nèi)容。

2.在教學內(nèi)容中滲透數(shù)學建模思想

數(shù)值分析課程的教學模塊主要包括數(shù)據(jù)插值與擬合、數(shù)值微分與積分、線性方程組的數(shù)值求解、非線性方程求解、常微分方程數(shù)值解等幾個部分。下面僅對非線性方程求解的教學，介紹如何利用簡單數(shù)學模型對數(shù)值分析相關內(nèi)容進行數(shù)學建模思想的滲透。至于其他一些教學內(nèi)容，也可以精選一些合適的數(shù)學模型作為實踐教學案例。

例，非線性方程求解教學——養(yǎng)老保險問題。某保險公司的一份材料指出：在每月交費200元，至60歲開始領取養(yǎng)老金的約定下，男子若從25歲起投保，屆時月領養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，屆時月領養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，屆時月領養(yǎng)老金420元。試考察這三種情況所交保險獲得的利率。利用Newton迭代法，借助Matlab求解可得該非線性方程的根為x=1.00485。對于35歲起和45歲起投保的情況，同樣可得保險金所獲得的月利率分別為0.00461和0.00413。由于銀行利率和投保人壽命等隨機因素影響，保險費的計算是比較復雜的，但通過分析，對總體的利率還是可以得到大致的估計。

將數(shù)學建模的思想融入數(shù)值分析教學過程中，要求我們必須有一個合適的切入點，不能用數(shù)學建模的內(nèi)容過多占有數(shù)值分析課的教學時間，因此精選只涉及相應數(shù)值分析理論和方法而又能體現(xiàn)數(shù)學建模思想的內(nèi)容，將其融入數(shù)值分析課程教學中。

3.更新教學內(nèi)容，增加與理論知識相關的背景介紹

在進行課程內(nèi)容的教學過程中，注意在介紹概念、定理及算法時，不能再按照傳統(tǒng)的邏輯推理，而應該注意引入一些概念產(chǎn)生的時代背景以及提出概念的人物故事等，更有利于學生把理論用于實踐。對于教學內(nèi)容應該有所更新，突出數(shù)學思想和方法，可以從實際生活中找出一些問題作為教學素材，讓學生感受到該學科與生活的貼近性，激發(fā)學生對該學科的學習積極性。

4.選擇適合工科研究生學員的教材，加強數(shù)學建模能力的培養(yǎng)

有些數(shù)值分析教材著重于知識的傳授，忽視數(shù)學理論知識的實際應用，有些教材過于偏重模型應用的講解，忽視理論知識的傳授。研究生的學習不只是書本知識及其簡單應用，也不只是運用概念原理解決書本上設計好的、情境化和確定性的問題，而是為了應用于研究，解決他們將來可能遇到的科學與工程技術問題。數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學理論知識與具體實際問題的一座橋梁，通過應用模型和檢驗模型獲取實際問題的本質(zhì)規(guī)律，從而培養(yǎng)學生的知識應用能力和創(chuàng)造性思維。選擇一本適當?shù)慕滩模茏寣W生感覺到既在向書本學習，也在向?qū)嵺`學習，從而可達到增強學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力。

三 數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程教學的方式

1.在教學方法上改革

就教學而言，教師要順應并遵循學生的認識規(guī)律，不能把自己主觀上的認識和構想強加到學生身上。將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析教學中，需要多種教學方法的綜合，根據(jù)不同教學內(nèi)容，靈活運用比較教學法、問題教學法、討論教學法等。（1）比較教學法，就是運用比較的方法。理解抽象概念和復雜問題時，通過相似的已知的概念和簡單的問題來比較學習。（2）問題教學法，就是讓學員在自主學習過程中帶著“問題”去思考、去學習，教師與學員一起經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程。對于概念、算法的引入，采用問題驅(qū)動教學法，便于學生由淺入深地學習。同時，倡導學員要不畏權威，大膽地向教材質(zhì)疑、向?qū)＜屹|(zhì)疑，學員通過“發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——得出結(jié)論”，使“問題意識”成為激活課堂的“催化劑”。（3）討論教學法，就是教師有目的地設計一些學員生活中的數(shù)學問題，讓學員課前收集相關資料，然后進行小組討論，課堂交流，通過生生互動、師生互動，達到教學相長的目的。

2.在教學手段上改革

數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析教學中，還要借助于豐富的教學手段。在教學中我們將傳統(tǒng)的黑板、粉筆加教案的教學方法與多媒體教學結(jié)合使用，使學生易于理解和掌握，激發(fā)學生的學習積極性，增大課堂信息量，使教學過程靈活多樣，提高了學生的學習興趣，形成教學的良性循環(huán)。

在進行數(shù)值分析教學時，還應輔以數(shù)學實驗，通過數(shù)學軟件Mathematica、Matlab等可以準確無誤地進行各種運算。基本理論是培養(yǎng)學生的思維能力的載體，數(shù)學軟件的作用主要是驗證算法。例如，在講授了函數(shù)擬合的概念與算法后，我們可以引入模型案例“水塔流量的估計”問題，通過課堂的實驗演示，完成對模型的求解。

3.在考試方式上改革

考試方法改革是數(shù)學教學改革的切入口，好的考試方法可以推進素質(zhì)教育；反之，也可以導致應試教學。應該采取過程性評價與終結(jié)性評價相結(jié)合的方式，主要包括以下幾個方面：（1）討論課及小論文。僅憑興趣進行討論及提交小論文，難以達到預期效果。為使學員積極參與、真正學有所獲，就要有明確的量化考核標準。（2）階段測驗。能力的培養(yǎng)是一個漫長的過程，知識向能力的轉(zhuǎn)化是由量的積累到質(zhì)的飛躍。只有平時扎實學習、不斷積累，才能實現(xiàn)這一飛躍。階段測驗的次數(shù)可根據(jù)教學內(nèi)容以及學員的實際情況安排。這是使學員打下堅實基礎的保證。（3）實驗報告。學員在做完實驗后，按實驗大綱的要求提交實驗報告，實驗報告的成績記入總成績。（4）期末考試。考試是教學過程的重要組成部分，在數(shù)值分析考試中適當引入數(shù)學建模的內(nèi)容，可以檢驗我們在教學中融入數(shù)學建模思想的教學效果，加強學生綜合運用所學專業(yè)知識解決實際問題的能力。

四 結(jié)束語

將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析的教學中，不但可以讓學生較好地掌握數(shù)值分析的有關理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學生的科研能力，為以后參加科研活動打下一定的基礎。興趣是最好的老師，充分激發(fā)學生的學習興趣是優(yōu)化課堂教學的有效途徑。然而，如何不斷提高本課程的教學水平和質(zhì)量，仍是值得廣大教師在今后的教學實踐中不斷探索和思考的重要課題。

參考文獻

[1]李軍成、陳國華等.數(shù)學建模在數(shù)值分析教學中的實踐[J].電腦知識與技術，2012（1）：228～234

[2]張健.將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課堂的探討[J].中國電力教育，2012（17）：70～71

[3]趙瑩.《數(shù)值分析》教學策略研究[J].考試周刊，2012（71）：69～70

[4]包芳勛、孫慶華等.理工科研究生數(shù)值分析創(chuàng)新能力培養(yǎng)研究[J].高等理科教育，2009（3）：58～61

[5]李娜.數(shù)值分析課程教學探討[J].職業(yè)時空，2012（7）：130～131

[6]王開榮、楊大地編著.應用數(shù)值分析[M].北京：高等教育出版社，2010

[7]孫慶華、包芳勛等.理工科研究生現(xiàn)代數(shù)值分析教材建設的探討[J].理工高教研究，2009（3）：135～138

〔責任編輯：龐遠燕〕