數學

學生腦力開發的方式是以思維訓練為主線，對學生進行智力、心理、生理等訓練的，筆者認為數學是思維訓練的體操。本文將就此談談對“數學——思維的體操”的認識及其做法。

一 從對數學教育的理解方面談“數學——思維的體操”

1.“思考”的數學教育

數學教學中最大的弊端就是學生不知道自己在做什么，不善于用數學的思維方式去思考問題，缺乏應用數學的意識。

2.“解難”的數學教育

學生在理解的基礎上，磨煉解決問題的技巧，倡導學生沖破思維定式，大膽質疑，積極聯想，培養獨立思考的思維品質。

3.“善問”的數學教育

學問，學問，要學必須問，愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”學生能提問，說明此時他們思維活躍，善于發現問題，敢于提出問題。

二 從對思維訓練的理解方面談“數學——思維的體操”

1.從思維形式訓練上看

人腦的思維過程主要有抽象思維、形象思維和靈感思維三種形式。中小學的數學教育就可以按人腦的思維規律和思維的發展規律、人的心理和生理發展規律進行思維訓練。

2.從思維狀態訓練上看

常用的思維方法有發散思維與集中思維、縱向思維與橫向思維、順向思維與逆向思維、動態思維與靜態思維。

3.從思維心理訓練上看

加強對學生進行注意力、好奇心、情感意志、性格、自信心、自制力、成功欲、合作能力等的訓練，是學生思維能力提高的動力和發展的“激素”。

4.從思維品質訓練上看

良好的思維品質是人具有較高綜合素質的標志，在數學教學中，要對學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、創造性等進行訓練。

5.從思維器官訓練上看

人的思維器官是大腦，數學思維既有同左腦思維功能相聯系的抽象性、邏輯性，又有同右腦功能相聯系的猜測、想象、直覺、美感。對學生進行直觀、形象、審美、動作等訓練，具有激發大腦潛能，進行全腦訓練的作用。

三 在數學教育教學過程中，進行思維訓練的幾種做法

數學思維結構包括多個組成部分，它是由數學知識、數學方法、數學語言等多個方面相結合而成的一個有機體。在這，筆者將著重就前面兩個部分談談。

1.從數學知識內容方面入手進行思維訓練

初中數學蘊含著很多數學思想，但其最基本的數學思想是數形結合思想、分類討論思想、轉化思想、函數思想、建模思想等，突出這些基本數學思想，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。（1）數形結合思想。初中代數正是借助數形結合的載體——數軸或直角坐標系，介紹數與點的對應關系，相反數、絕對值的定義，有理數大小比較等，代數的有理數乘法公式如完全平方公式、平方差公式，也是從圖形的面積計算這個方向來思維的。我們可利用數形結合法訓練學生的直覺思維。（2）分類討論思想。中學數學分代數、幾何兩大類，初中有實數的分類、三角形的分類、方程的分類、函數的分類等，甚至還有更細的分類，如有理數加法法則的分類等。我們可利用分類討論思想訓練學生思維的發散性與縝密性。（3）轉化思想。初中有加減法的轉化，乘除法轉化，乘方與開方的轉化，多邊形與三角形的轉化、函數與平面幾何的轉化，函數與方程的轉化，添輔助線，設輔助元等。也就是化復雜為簡單，化未知為已知，化高次為低次。我們如果改變題目中的條件或結論，學生就可利用轉化方法來訓練自己的逆向思維能力。（4）函數思想。雖然函數的知識安排在初三學習，但函數思想已經滲透到初一、初二教材的各部分內容之中。如初一上冊進行求代數式的值的教學時，通過強調解題的第一步“當……時”的依據，就滲透函數的思想方法——字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值。再如初一下冊學一元一次方程應用題時，改變長方形的長和寬的大小關系時，面積也隨之改變，這也滲透著函數的思想。（5）建模思想。初中自然數集是描述離散數量的模型；列方程、不等式解應用題、探索與實踐的例題、幾何圖形等都是從現實中抽象出來的數學模型。我們的數學教學是要讓學生理解數學的價值以及數學的思維過程，從數學的知識到數學的能力，再到應用數學的意識。

當然，還有其他數學思想，如整體思想、化歸思想、比較思想、變換思想等。有了這些數學思想，教材也就“活”了，學生具備了相關的數學知識并能夠熟練運用以后，一般就具備了第一層次的思維品質，也就是所謂的解題經驗，即包括思維的敏捷性、靈活性、組織性。

2.從數學學習方法方面入手進行思維訓練

數學學科有自己獨特的學習方法，我們若科學地引導，加以訓練，學生的思維將從局限于“常識性思維”向“科學性思維”發展，這主要從以下幾個方面進行訓練。

第一，分析與綜合法。分析，即將某一知識或某一題目分為幾部分進行研究和討論。綜合就是將所研究和討論的問題的各部分組合起來構成一個新的整體。分析和綜合是密不可分的兩種思維方法。如解求值題：已知（a+b-5）2+（a-b+7）2=0，求（a2-b2）+（a+b）2的值。我們將這個問題分為兩個部分：（1）（a+b-5）2+（a-b+7）2=0，（2）（a2-b2）+（a+b）2，經過分析后可發現由（1）得a+b=5，a-b=-7，由（2）得：（a2-b2）+（a+b）2=（a+b）（a-b）+（a+b）2，綜合（1）、（2）運用整體代入法即可求解，這就是分析與綜合的運用。

第二，歸納與演繹法。歸納，即將多個有共同點的問題結合在一起，找到它們的共同點，從而得出結論的方法。演繹，就是將歸納出的結論（或所學知識）運用到解題中的一種方法。如完全平方公式，是從一些例題中歸納出來的，當把它運用到解決問題中去時，也就是演繹。只要學生掌握了這兩種方法，并將其有效地結合起來，這樣，便能從特殊到一般，再由一般解決特殊，使學生的思維得到發展。我們通過上述兩種方法訓練，可培養學生的邏輯思維能力，培養思維的深刻性。

第三，類比與聯想法，是初中數學較為重要的思維方法。類比，即將多個事物進行比較，找出異同的思維方法，如將完全平方公式和平方差公式進行類比，可增強學生對這兩種公式的理解，并對學生運用公式有一定的幫助。聯想，即在思考某一事物時，想到相關問題的思維方法。

第四，抽象與概括法。抽象，即將事物中存在的某種規律（或事物的特性）抽象出來的思維方法。概括，即將所抽象出來的規律（或事物的特性）概括起來的思維方法。如七年級上冊數學課本中談到的“探索規律”這一節就是對這兩種方法的運用。我們通過后面兩種方法可訓練學生的發散思維，培養其思維的廣闊性。

經過上述科學訓練，學生能舉一反三，不僅僅限于熟練處理已知類型的問題，這時學生具備了第二層次的思維品質，包括思維的抽象性、發散性、直覺性。

3.優化教與學的方法，培養學生的創新思維

思維品質的最高層次是創新思維，創造心理學表明：討論、爭論、爭辯有利于創造思維的發展。我們在課堂教學實踐中，要創造性地將多種教學方法進行優化組合，實現教與學的方法的創新。教師可根據所學的內容采用靈活的教學模式，如自學輔導式、探究式、開放式、活動式等模式；教師可引導學生采用適當的學習方式，如自主學習、合作學習、探究學習；師生、生生之間可采用相應的交流方法，如：討論法、談話法、實驗法等。這樣，就創設了開放的思維空間，讓學生能夠主動參與到問題解決的活動過程中，讓學生在發現、猜想、探索、驗證等思維活動中受到不同層次的思維訓練。

我們還要鼓勵學生進行探究性質疑和批判性質疑，鼓勵學生不依賴已有的方法和答案，不輕易認同別人的觀點，通過自己的獨立思考和判斷，敢于提出自己獨特的見解，其思維更具挑戰性，從而發展創新思維。

總之，我們在數學教學時，要利用數學教育的特點、數學知識包含的數學思想、數學學習的獨特方法等，有意識、有針對性地對學生進行思維訓練，提高學生的思維能力，使數學真正成為思維訓練的體操。

〔責任編輯：高照〕