關于一個重要極限的兩種證明方法

程 國

（商洛學院數學與計算機應用學院，陜西 商洛726000）

0 引言

極限是高等數學中的基本概念，它貫穿于微積分始終，是研究數學問題的一個重要工具。在極限理論的學習中是一類重要的極限。關于該極限存在性的證明是一個教學難點。證明的基本思想是利用單調有界定理，即“單調有界數列比收斂”。最常見的證明思路[1-2]是將數列按二項式定理展開，證明數列{xn}單調遞增有上界，再根據單調有界定理極限存在。但實際教學中，學生往往感覺這樣的證明比較抽象，過程不簡潔，難以理解。不少學者對此進行了研究。崔德旺[3]等利用幾何均值不等式給出了存在性的一種簡潔證法。楊華[4]從連續性和導數定義的角度給出了重要極限的證明方法。本文給出對極限存在性的兩種簡潔證法。

1 預備知識

引理1[5]設實數xffgt;-1，n為正整數，則有

引理2[6]對于任意正實數α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn有

2 兩種證明方法

為證明數列{xn}有上界，考察數列與上面類似可證{yn}是遞減的.于是即數列{xn}有上界.根據單調有界定理，得{xn}有極限.

證法2 在引理2中，當n=2時可得

令（4）中α1=n-1，α2=1.β1=n，β2=1，則即根據單調有界原理，德{xn}收斂.

［1］同濟大學數學系,編.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社,2007：52-53.

［2］華東師范大學數學系,編.數學分析[M].4版.北京：高等教育出版社,2006：56-57.

［3］崔德旺,何萬生,夏鴻鳴,等.關于極限存在的三種新的證明[J].天水師范學院學報,2009,29(2)：9-

［5］吳新仁,陸秀麗.數學分析原理[M].北京：人民教育出版社,1979：36-40.

［6］匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科技出版社,2004：42-43.