時滯Lurie控制系統的參數絕對穩定性

許 超 滕文君

（山東中醫藥高等專科學校公共基礎部，山東 煙臺264199）

0 問題描述

考慮如下的Lurie控制系統

這里x（t）為系統的狀態向量，u為系統的控制向量，y為系統的輸出向量；參考輸入r∈Rl，為包含原點的緊的單連通區域R上的常向量。A（p），Ad（p），B（p），C（p），D（p）是具有適當維數的參數矩陣，且關于參數p是連續的，假設參數p屬于緊的單連通集p∈P，對所有的p∈P，A（p），B（p）是可鎮定的。

系統（1）的初始條件為：

假設（1）：非線性函數φ（e（t））：Rl→Rl是連續可微且滿足φ（0）=0且（Dφ（e））T=Dφ（e），?e∈Rl（2）

其中Dφ（e）表示φ（e）的雅可比矩陣。

假設（2）：考慮誤差e=0的鄰域E，假設鄰域e是由參數輸入r決定的控制誤差e的可能的平衡點區域，且對?e?∈E，?e∈Rl區域條件為：

本文考慮如下的線性反饋狀態控制器

得到閉環控制系統

顯然當參考輸入向量r=0時，對任意的p∈P，原點是該系統的一個平衡狀態，但當r≠0時，由于系統的線性部分與非線性部分的不確定性，系統的平衡狀態是不是原點且變得未知。因此系統的穩定性不僅依賴于參考輸入r同時也依賴于參數p，因此做如下定義：

定義1：對于閉環控制系統（6），若對任意向量（r，p）∈R×P和滿足假設1和假設2的非線性φ（e），下列條件成立：

（1）存在唯一平衡狀態xe（r，p）且對應的控制誤差ee（r，p）∈E，

（2）平衡狀態xe（r，p）是全局漸進穩定的，

則稱閉環Lurie系統（6）是參數穩定的。

本文的目標是找控制器（5）使得閉環控制系統（6）參數絕對穩定。

1 平衡點的分析

對任意參數（r，p）∈R×P，Lurie系統的平衡狀態xe（r，p）是如下方程

引理1：對于方程f（z，r）=0，若對（z*，r*）∈Rn+m×R，有f（z*，r*）=0且存在正數h＞0，使得

則對于任意r∈R，方程f（z，r）=0有解ze（r）。

定理1：若對于p∈P，存在適當維數的對稱矩陣X=X（p）和閉環控制器k1，k2，使得不等式成立

則對任意參數（r，p）∈R×P和任意滿足條件（8）的非線性函數φ（e），方程存在解

其中x2（p）是矩陣x（p）的最下面的m行構成的子塊，｜｜·｜｜表示歐幾里德模，λmin[·]表示最小特征值。

由于R（p）＞0，故

最后，對于任意參數（r，p）∈R×P計算平衡點ee（r，p）的存在區域Ee（r，p）。令z=ze（r），由方程f（ze（r），r）=0得

2 穩定性分析

令（r，p）∈R×P是任意固定的參數向量，且xe（r，p）是閉環系統（6）的平衡狀態，則下列系統與（6）等價

顯然系統（1）的平衡狀態xe（r，p）的穩定性與系統（12）的平衡狀態=0的穩定性等價。

引理2：對任意適維向量a，b和矩陣N，X，Y，Z，其中X和Z是對稱的。若

假定存在正定矩H(r,p)，對稱矩陣Q，X，Z和矩陣Y

則系統可以改寫為：

V1關于t的導數為

應用引理2得

定理2：若對任意的p∈P，存在（n+m）×（n+m）矩陣X（p），使得（10）成立，且對任意參考輸入r∈R，有Ee（r，p）?E，對任意參數（r，p）∈R×P，存在正定矩陣H（r，p），對稱矩陣Q，X，Z和矩陣Y，使得

其中M=H（r，p）E（p）+ET（p）H（r，p）+Y+YT+dX+Q

E（p）=A（p）+B（p）k1

F（p）=Ad（p）+B（p）k2

則Lurie控制系統（1）是參數絕對穩定的。

［1］胡建強,梁金玲.時滯雙向聯想記憶神經網絡的指數穩定性:聯合周期間歇反饋脈沖控制[J].中國科技論文,2012:449.

［2］WangXiangrong,HuangHong.Exactcontrollabilityofbackwardstochastic controlsystem[J].中國科技論文,2013:235.

［3］吳然超,郭玉祥.含一個非線性項混沌系統的線性控制及反饋[J].中國科技論文網,2009:11-36.

［4］呂金虎,張鎖春.Lyapunov指數的數值計算方法[J].非線性動力學報,2001,01:84-92.

［5］劉碧玉,桂衛華.一類不確定的非線性時滯大系統的魯棒穩定性[J].中南大學學報:自然科學版,2004(02).

［6］王武,楊富文.不確定時滯系統的時滯依賴魯棒非脆弱H∞控制[J].控制理論與應用,2003(03).

［7］葉卓映,孫繼濤,余昭旭.變時滯不確定關聯系統的分散魯棒無記憶控制[J].控制理論與應用,2001(04).