“倍的認(rèn)識”一課的教學(xué)與思考

中國農(nóng)業(yè)科學(xué)院附屬小學(xué)（100081） 周興華 蔡宇清

“倍的認(rèn)識”一課的教學(xué)與思考

中國農(nóng)業(yè)科學(xué)院附屬小學(xué)（100081） 周興華 蔡宇清

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一個概念，“倍的認(rèn)識”這節(jié)課便是學(xué)生認(rèn)識“倍”的概念的起始課。通過課堂的觀察和實踐，我們需要找到教學(xué)中存在的問題和學(xué)生學(xué)習(xí)的困難之處，然后施以正確的教法，使學(xué)生真正理解所學(xué)概念，獲得發(fā)展。

倍 數(shù)學(xué)概念 課堂觀察 思考

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一個概念，“倍的認(rèn)識”這節(jié)課便是學(xué)生認(rèn)識“倍”的概念的起始課。作為青年教師，為了更好地教學(xué)“倍的認(rèn)識”一課，我近期收集、整理了一些文獻，通過對文獻資料的梳理，對此課的教學(xué)再一次進行思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發(fā)表的文章中，可以發(fā)現(xiàn)許多教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關(guān)系的一種表達方式，其數(shù)學(xué)核心思想是用一個量去刻畫另一個量。“倍”代表著兩個數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份。“倍”是學(xué)生在刻畫兩個量之間關(guān)系的時候，第一次從絕對數(shù)量的比多少到相對數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變，對學(xué)生即將接觸到的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比，甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，起著至關(guān)重要的作用。也有的教師認(rèn)為“倍”是刻畫兩個量之間關(guān)系的眾多表達方式中的一種，和其他的刻畫方式屬于同等位置，所以應(yīng)該和眾多的刻畫方式建立起聯(lián)系，并將“倍”的刻畫方式準(zhǔn)確地納入到表達關(guān)系的這一知識體系當(dāng)中。

從目前的研究現(xiàn)狀來看，多數(shù)一線教師對“倍”的理解到了關(guān)系的層面，而北京教育學(xué)院劉加霞老師認(rèn)為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的有倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運算律及面積、體積、表面積、速度等概念和定律。這樣看來，從乘法結(jié)構(gòu)的角度去進一步研究“倍”未必不是一個新的研究方向，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認(rèn)識”，也可以從“倍的認(rèn)識”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

二、教師教學(xué)時應(yīng)關(guān)注什么

1．學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

美國著名認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇泊爾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進行教學(xué)。”一線教師在教學(xué)“倍”的概念時，能從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系。教材中“倍”的概念是依據(jù)乘除法知識中“幾個幾”“份”的概念擴展而來的，通過兩個不相等數(shù)量的比較，由“份”引出“倍”，使學(xué)生初步認(rèn)識“倍”的含義，這就是學(xué)生具備的認(rèn)識“倍”的基礎(chǔ)。針對“倍”的意義理解，教師教學(xué)中要讓學(xué)生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生運用己有的知識經(jīng)驗來認(rèn)識概念的本質(zhì)，建立新舊概念間的聯(lián)系，從而促進知識的有效遷移。

2．情境教學(xué)

“倍的認(rèn)識”一課，北師大教科書以快樂的動物創(chuàng)設(shè)情境，通過問題串一步步引導(dǎo)學(xué)生對不同動物的只數(shù)進行比較，從而認(rèn)識“倍”的概念，而人教版教科書則是讓學(xué)生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際教學(xué)中，教師又進一步將教材中的情境轉(zhuǎn)換成各種各樣有趣的情境，如有的以猜數(shù)游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導(dǎo)學(xué)生從動手?jǐn)[不同顏色的圖片中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問題，有的讓學(xué)生比較不同事物的數(shù)量關(guān)系或比較物體的長度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個卡通人物帶來的數(shù)學(xué)問題的情境……無論創(chuàng)設(shè)什么樣的情境，目的都是讓學(xué)生在感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗，使他們感受到數(shù)學(xué)魅力的同時，掌握“倍”的概念。

3．從關(guān)系入手理解“倍”的意義

前面提到，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關(guān)系的一種表達方式，因此教師往往從研究關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生理解“倍”的意義。如北京海淀區(qū)教研室的郭麗軍老師教學(xué)時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問學(xué)生兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系，然后增加3個黃圓片，再讓學(xué)生說一說3個紅圓片和6個黃圓片間又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生會最先發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后郭老師慢慢引導(dǎo)學(xué)生從多少的關(guān)系過渡到倍的關(guān)系，也就是讓學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)。

4．利用畫圖表征，促進“倍”的理解

教師教學(xué)時一般先通過畫一畫、比一比等操作活動，引發(fā)、激活學(xué)生頭腦中的原有認(rèn)知并使之外顯出來，然后讓學(xué)生進行討論和交流，引導(dǎo)他們從“幾個幾”的角度初步認(rèn)識“倍”的含義。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現(xiàn)抽象概念在思維過程中的具體再現(xiàn)。”這里，形成完整表象是最重要的一個環(huán)節(jié)。然而，由于低年級學(xué)生表達能力欠缺，所以讓學(xué)生通過畫圖表征來表達出自己構(gòu)建的概念表象就顯得尤為重要。畫圖表征在實物操作與抽象思維之間架起了相互溝通的橋梁，讓學(xué)生在圈一圈、畫一畫等活動中初步建立“倍”的表象，有利于學(xué)生有效表達自己構(gòu)建的概念表象。

5．在不斷對比與抽象中，逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”在學(xué)生通過動手操作等手段初步認(rèn)識“倍”后，如何讓學(xué)生進一步理解“倍”的概念呢？這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生在不斷對比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質(zhì)特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質(zhì)。許多教師在教學(xué)中會設(shè)計多個比較的環(huán)節(jié)，如“一份數(shù)不變，幾份數(shù)在變，倍數(shù)也隨之變化”“一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變”等，通過比較引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使他們的認(rèn)知和理解不斷深入。

三、教學(xué)“倍的認(rèn)識”的新思考

雖然學(xué)生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但這并不表示學(xué)生真正認(rèn)識、理解了“倍”，在運用“倍”解決問題時仍然會出現(xiàn)各種各樣的困難。這首先是因為學(xué)生受自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的影響，即從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化。“倍”的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機會，因為學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，所以認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。其次是因為知識點本身的難度。“倍”不是單一的乘法結(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念的學(xué)生造成一定的困難。

我校最近開展了“課堂觀察”研究活動，通過對教師和學(xué)生的細致觀察，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”的過程中還有以下三個問題。

1．對“關(guān)系”不理解

“關(guān)系”一詞，在現(xiàn)代漢語詞典中的解釋是事物之間相互作用影響的狀態(tài)。我們在日常生活中會經(jīng)常用到這個詞，感覺理解起來很簡單，但學(xué)生對于用在數(shù)學(xué)背景中的“關(guān)系”一詞并不是很理解，大多數(shù)學(xué)生聽到老師提出“它們之間有什么關(guān)系”的問題時，出現(xiàn)聽不懂的現(xiàn)象。所以，這時教師不妨停一停，可以舉個例子來進一步說明，這樣才能使學(xué)生更好地繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)。

2．理解“倍”的概念不能只通過觀察

通過對文獻的梳理，我發(fā)現(xiàn)許多一線教師都是讓學(xué)生直接觀察靜止的事物來尋找數(shù)量之間的關(guān)系，如觀察黑板上擺好的教具或畫好的簡單圖形等。當(dāng)教師在黑板上擺出6個紅色圓片和3個白色圓片時，學(xué)生會很快說出6比3多3或者3比6少3，但很難會想到6里面有2個3或者6是3的2倍，這也恰恰說明了兒童的認(rèn)知從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)是十分困難的。那么，怎樣才能讓學(xué)生的認(rèn)知自然過渡呢？通過嘗試，我發(fā)現(xiàn)動手操作是一個可行的辦法。課前為學(xué)生準(zhǔn)備可以擺動的學(xué)具，如最簡單的小圓紙片等，這樣學(xué)生在擺一擺學(xué)具的過程中會自然地產(chǎn)生分堆的想法（如下圖），如把3個白色圓紙片擺成一堆、把6個紅色小圓紙片擺成兩堆等，這里的“一堆”就是“1份”或者叫做“1倍量”。這樣教學(xué)，使學(xué)生更自然地想到6里面有2個3，這就是學(xué)生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學(xué)生更好地理解“倍”，看清數(shù)量之間的關(guān)系，常常會采用圈一圈的辦法。其中，還有一些教師一上課就讓學(xué)生去圈一圈，然后直接引出“倍”的概念。我認(rèn)為這樣教學(xué)節(jié)奏過快，因為“倍”的認(rèn)識需要一個過程。這里，教師不妨放慢腳步，在學(xué)生初步建立“倍”的概念后，引導(dǎo)他們動手?jǐn)[一擺。其實，擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達到異曲同工之妙，而動手?jǐn)[一擺會讓學(xué)生對“倍”的認(rèn)識更加深刻。

3．難于表達“倍”

學(xué)生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但在表達時仍然會出現(xiàn)許多困難。“倍的認(rèn)識”一課的教學(xué)，要求學(xué)生能夠理解“倍”的含義并學(xué)會表達“倍”。在表達“倍”時，教師不要急于給學(xué)生出示標(biāo)準(zhǔn)的表達形式，而是要等待學(xué)生先形成自己的表達方式。根據(jù)學(xué)生的年齡特點，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解能力優(yōu)于他們自身的表達能力，所以學(xué)生表達不清楚是正常的。因此，在學(xué)生表達對“倍”的理解的時候，教師可以嘗試用畫圖的方式，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度進行表達，以加深他們對“倍”的理解。

總之，“倍的認(rèn)識”一課不是一節(jié)新課，但是作為青年教師，我們需要有把它看成一節(jié)新課去研究的態(tài)度，更需要不斷去思考、去研究、去創(chuàng)新，以使學(xué)生真正理解所學(xué)知識，在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展。

［1］高麗杰，從“形”到“數(shù)”，在不斷對比與抽象中認(rèn)識“倍”［J］．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2010（1）．

［2］劉加霞．從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識”［J］．小學(xué)教學(xué)，2010（7-8）．

［3］顧曉東．基于已有經(jīng)驗的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認(rèn)識”教學(xué)反思與改進［J］．小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）．

（責(zé)編 杜 華）

G623.5

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1007-9068（2015）23-018