二階隨機需求條件下公交網絡的服務可靠性研究

趙 杰，張 莉，安新磊

（1.蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州工業學院 基礎學科部，甘肅 蘭州 730050）

二階隨機需求條件下公交網絡的服務可靠性研究

趙 杰1，張 莉2，安新磊1

（1.蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州工業學院 基礎學科部，甘肅 蘭州 730050）

引入服務可靠性這一概念，以乘客出行成本和車行運營成本最小為目標建立隨機需求下的公交網絡模型，并提出固定需求的服務方案模型和改進的二階隨機方案模型。該模型體現了乘客公交出行的選擇策略并反映了公交網絡中不確定需求和服務可靠性的相互聯系。在分析公交出行網絡中的服務設計，包括常規服務和特別服務的基礎上，運用二階下降法通過規定不確定的隨機變量（服務可靠性參數）來求解二階隨機方案：首先在一階段減少混合整數規劃的數量以節省計算時間，隨后在二階段中模擬出一個線性規劃，以便有效地求解二階隨機方案。最后，通過實例模型驗證了該方案的可行性。

公交網絡；服務可靠性；二階下降法；隨機方案；乘客需求

0 引言

隨著科技的發展，公交系統作為城市中經典的復雜系統越來越受到人們的關注。公交網絡問題也可以抽象成為經典的復雜網絡，研究公交網絡模型對于城市交通規劃和管理具有重大而積極的意義。

早前對公交網絡模型的研究多是以網絡的結構特征以及拓撲性質為出發點來研究網絡可靠性與抗毀性，高自友等人[1]對北京市的公交網絡進行了實證研究分析，發現北京市公交網絡具有無標度特性；鄭嘯等人[2]以北京市公交站點和公交線路為例構建了公交復雜網絡模型，統計了多項靜態指標并提出優化方案；王喆等人[3]對成都市公交網絡建立了3種模型，得出公交網絡的拓撲結構和靜態參數，并對網絡拓撲性質進行了分析。

公交網絡不僅包括靜態的網絡特征，還包括一些動態的網絡行為，例如網絡中的客流分配方案、乘客的換乘選擇行為以及乘客對出行的隨機需求。隨著對公交網絡中乘客需求的深入考慮，服務可靠性的概念也被引入公交網絡研究領域。Gao Z.Y.等人[4]基于確定的乘客需求建立了經典的客流分配服務模型；Szeto W.Y.等人[5]在隨機用戶均衡的基礎上建立了客流分配服務模型；劉志謙等人[6]對廣州軌道交通復雜網絡特征和可靠性進行了研究，丁小兵[7]研究了上海城市交通的可靠性；Wang Z.W.等人[8]通過考慮乘客的偏好選擇擴展出不同服務類型的方案；Bagloee S.A.等人[9]研究了交通網絡設計問題優化預算約束下的服務可靠性。

在對公交網絡的研究中，基于確定的乘客需求的文獻已有很多，但研究隨機條件下的乘客出行，即不確定的乘客需求的文獻較少。陸化普等人[10]建立了OD需求不確定的離散交通網絡設計模型；孫華等人[11]利用魯棒性優化方法建立了OD需求不確定環境下交通網路設計極大極小模型并提出了平均法求解算法。

在實際生活中，乘客的出行與需求本身具有很大的不確定性，因此，研究隨機需求條件下的乘客出行服務評估具有較強的現實意義，能夠更清晰地體現乘客出行選擇策略，更真實地反映公交網絡中不確定需求與服務可靠性的相互聯系。本文以乘客成本和運營耗費最小為目標，通過服務可靠性建立隨機需求下的公交網絡服務模型，服務可靠性可以分離出依賴于混合整數線性規劃的二階混合整數隨機方案，通過二階下降法規定不確定的隨機變量參數ρ來求解二階隨機方案，并借助實例研究分析了模型的可行性，可為公交調度提供參考。

1 公交網絡模型

1.1 相關假設

（1）假設只考慮單一的公交車行類型；

（2）假設每個OD對對應其出行的站點都服從一個確定的概率分布；

（3）假設涉及到多線路問題時，從站點P直接到站點Q的常規服務運營成本比從站點P途經站點Z換乘到站點Q的成本小；

（4）假設在一個規劃周期內同一個站點不能選擇返回并重新作為出發點。

1.2 符號定義

O：網絡中初始節點，對應于公交網絡中的始發站點；

D：網絡中目的節點，對應于公交網絡中的終點站點；

G：網絡中OD節點對組成的集合；

d∈G：網絡中節點對集合中第d對OD節點對；

Gf=(Nf,Af)：在車行網絡中點集N和邊集A；Gd=(Nd,Ad)：在乘客網絡中點集N和邊集A；

,：在相應的車行網絡中一個規劃周期內的初始點集和終點集；

Sf,Sd：在相應的車行網絡和乘客網絡中的服務邊；

Wf,Wd：在相應的車行網絡和乘客網絡中的等待邊；

Md：在乘客網絡中的第d個人工節點；

(Od,Md)：上述乘客網絡中人工節點對應的初始節點；

(Md,Dd)：上述乘客網絡中人工節點對應的目的節點；

H：重新啟用計劃持續時間的車行相關的固定成本；

N：最大的公交車數目；

ξ：公交車行的換乘能力；：在車行網絡中等待邊(i,j)∈Wf的最大值；

Fij：在每一次出行中節點i與節點j之間的使用費用；

：每名乘客在等待邊(i,j)∈Wd上的等待耗費；

：每名乘客在服務邊(i,j)∈Sd上的出行耗費；

R：實例生成的集合；

Bd：在第d對OD節點對上的外生需求；

ρd：在第d對OD節點對上的服務可靠性，其中ρ={ρd}；

Yij：在車行網絡中車行邊的總數量，其中Y={Yij}；

：在乘客網絡中享受常規服務的乘客量，其中X={Xij}；

：在乘客網絡中享受特別服務的乘客量，其中Z={Zij}。

1.3 車行網絡

定義車行網絡為圖G=(Nf,Af)（見圖1），其中，Nf是該網絡中的節點集合，Af是公交車出行的邊集合，Af又包括2個子集（2層含義）：服務邊集合Sf和等待邊集合Wf，并且有Af=Sf?Wf。每一條服務邊都描述了一次公交車出行，并且其始發站、終點站、出行時間都會被相應的網絡節點所決定。車行邊的成本包括運營成本（例如：燃料耗費、維修費用）以及正常出行成本，車行網絡上的等待邊為非負整數，它表示停靠在一個公交站點的公交車的數目，假設等待邊的操作成本可以忽略不計。

圖1 車行網絡示意圖

1.4 乘客網絡

同樣定義乘客網絡為圖G=(Nd,Ad)（見圖2），其中，Nd是乘客出行的節點集合，Ad是乘客出行的邊集合。與Af集合相類似，Ad也包括2個子集（2層含義）：服務邊集合Sd和等待邊集合Wd，并且有Ad=Sd?Wd。此外，與每個乘客網絡圖G=(Nd,Ad)相關聯的有1個人工節點Md和2個人工邊：初始邊(Od,Md)和目標邊(Md,Dd)。服務邊定義為乘客在公交站點之間的出行，其出行時間被網絡中相應的節點所決定，乘客邊代表出行在公交車上的乘客的數目，它也會受到車行服務能力的影響。另外，等待邊的權值代表在每個站點等待的乘客的數目，等待邊可能由于能力不足而不能滿足所有需求。

圖2 乘客網絡示意圖

在乘客網絡中，初始邊由初始節點和與每1個特定的OD對相關的人工節點Md構造而成，其中初始邊代表在原始節點處沒有服務到的乘客的數目，可以理解為在規劃周期內未對服務感到滿意或者不再有需求的乘客數目。同理乘客網絡中的目的邊由目的節點和人工節點Md構造而成，這時目的邊代表著在規劃周期內所到達目的節點的乘客數目，也可以理解為服務總需求邊。

1.5 服務可靠性

較早的研究只是從定性角度討論可靠性這一概念，而并沒有對其進行數值度量，后來引入了概率與統計的方法，可靠性才有了較多的定量的應用。可靠性指的是系統在規定條件下和規定時間內完成規定功能的能力。在復雜網絡中，可靠性已被作為整體規劃、設計和實施的重要部分，用來評價網絡模型的功能和效率。在公交網絡中可以用服務可靠性來分析公交公司服務網絡提供服務的穩定水平，用于優化和設計可靠的公交出行網絡，從而提高公交網絡的服務質量，降低成本。

2 需求及服務模型方案

2.1 固定需求方案

含有固定需求Bd的確定方案可表示為：

定義目標函數為總體耗費的最小值，包括運營成本和乘客耗費成本，其主要包含以下4個部分：

（1）乘坐1次公交車服務時間內的固定成本；

（2）每次出行的操作耗費，例如燃料耗費和勞動力成本；

（3）乘客的等待時間耗費；

（4）乘客的出行時間耗費。

在這個目標函數中，忽略了運營公司的稅收和乘客的票價費用。目標函數中的第1個和式給出了總的固定成本；第2個和式給出了總的出行耗費成本，應注意等待邊是由1個站點在連續的2個時間點生成的；第3個和式給出了總的乘客等待時間耗費，其中是每個乘客在每個時間間隔的等待耗費；第4個和式給出了總的乘客出行時間耗費，其中是每個乘客在服務邊i到j上的出行耗費。約束條件中，式（2）為確保車行網絡中每一站點的車行量；式（3）說明在操作過程中不得超過最大的容許公交車數目；式（4）給出了在乘客網絡中考慮到外生需求時每個節點對乘客的保護條件；式（5）結合了所有的OD對上服務邊(i,j)的乘客數和每個服務邊(i,j)上公交車行能力的總乘客量需求；式（6）提供了車行邊(i,j)的上界；式（7）規定了車行變量必須是整數。

在公交網絡服務設計的過程中，目標是控制車行變量Yij和乘客變量來最小化系統的總成本，這一規劃并沒有明確說明在每個OD出行過程中如何選擇出行方式和出行路徑，也沒有明確地檢測出車行服務是直達還是需要換乘，這些情況都會在給定的條件（1）～（7）中被整合出來。總之，這一規劃構成了混合整數線性規劃。

2.2 二階隨機方案

下文主要研究那些不確定的需求卻服從一定概率分布的情形。

首先列入兩種服務類別：一種是固定的公交出行類型的運轉，即常規服務；另一種是盡可能地把這些服務轉包給第三者，即特別服務。在隨機發展過程中，這一構想又可劃分為2個階段：第一階段確定常規服務需求，第二階段確定特別服務需求。在常規服務的確定過程中，也必須考慮由特別服務引發的預期耗費。一種極端是如果特別服務能夠以較低的耗費成本轉包，那么也就不用維持常規服務；另一種極端是特別服務很昂貴，盡管有時常規服務不能被完全利用，但有利于實現常規服務容許下的需求。通過制定常規服務時間表并引入特別服務，使得總體耗費成本的期望值最小，這樣，乘客的隨機需求就可以通過連續的概率分布來描述，而預期的隨機特別耗費以及乘客出行耗費則通過需求實現過程中的整函數來表達。然而大多數情況下，必須借助方案模擬來估計預期耗費成本，根據實際指定的問題選擇適當的采樣方法。因此，直接在實例模擬的情況下制訂出方案。

假設方案生成的數目為n，方案集合定義為，每1個方案r都有相等的概率，且有，在二階隨機方案中每1個下標r都代表著1種特殊情形的方案。

令是OD對d上的隨機需求，是在方案r中的1個需求實現，令A為特別服務的單位成本，為方案r下OD對d上被轉包的特別服務。此外，令為方案r下的乘客變量，確立生成的方案可表示為：

所有的變量均是非負的。P1是服從二階隨機方案的類型，為了確定依賴于常規服務Y和需求實現的特別服務耗費，目標函數包含了期望Eˉ(Y)，因此沒有Y也不能被確定先驗，這兩種服務類型的相互作用使公交網絡的服務設計問題變得更加復雜。

2.3 隨機可靠性方案與二階下降法

乘客的不確定需求導致了研究服務問題的不確定性，為了更加清晰地討論這一不確定性，將乘客需求劃分為2個部分：一部分是以服務可靠性規范為基礎的服務需求，也即被常規服務所肯定的服務需求；另一部分是超出此規范的服務需求，即有特定需求所采取的特別服務。在這個問題上服務可靠性則是作為內部變量而存在。定義ρd為服務可靠性參數，或者理解為能被常規服務所覆蓋的OD對d上的需求可能性，ρ為ρd的集合表示，令φd為隨機需求Bˉd的累積分布函數，則OD對d上確定能被常規服務所覆蓋的需求為，其中在服務水平Bˉd處常規服務被用來作為優化需求，一階段隨機方案如下：

方案P2是混合整數線性規劃，同方案P0的約束條件（1）～（7）確立的條件相同。通過調整服務可靠性ρ，更改在Bˉd可覆蓋的需求水平并產生最佳的常規服務方案Y。

在第一階段的問題中，設定固定車行規模數目為Nˉ，且有Nˉ≤N，其中出行或者換乘的耗費也是固定的。基于隨機方案的服務可靠性ρ和P2中確定的最佳的常規服務安排Y，針對每個需求實現情況給出第二階段方案：

方案P3中的目標函數包含了特別服務耗費成本、乘客等待時間耗費成本以及乘客出行時間耗費成本。注意到常規服務Y或者Yij如上面約束條件所反映的在解決第一階段問題P2時已經被固定并且約束著常規服務中的乘客量。所有的超出常規服務能力的需求實現都會被作為特別服務，如式（18）所示，P3在形式上類似于P2，是一個線性規劃。

特別服務的期望以及等待時間的耗費都可以由下式給出：

將上述2個階段結合可得出如下基于隨機方案的目標函數式：

對給定的服務可靠性ρ，式（19）中前2個式子是指在P2中提到的常規服務耗費；Eˉ(ρ)是指特別服務耗費的期望，包括P3解決的乘客等待時間耗費和乘客出行時間耗費。該方案的目標是求得最優的服務可靠性指數ρ，使得式（19）提到的結合常規服務耗費、特別服務耗費期望、等待時間耗費和出行時間耗費的總期望值最小。

為求解該函數，設計二階下降方法，通過ρ求得P2并多次反復求P3直到滿足停止標準。

方案P2和P3通過引入服務可靠性ρ將常規服務Y和特別服務Z的相互作用分離成二階隨機方案P1。因此問題的關鍵是這兩種等價的構想是否能得到等價的理想方案。首先，研究這兩種方案的可行區域是否相同；其次，要分析任意基于服務可靠性的隨機方案的可行解是否都分布在原始的二階隨機方案的可行域中，原始的二階隨機方案的最優解是否又會落在基于服務可靠性的隨機方案的可行區域中，現給出以下命題：

命題1：任意基于服務可靠性隨機規劃方案的可行解對原始的二階隨機方案都是可行的。

命題2：對于概率分布在[0,+∞ )上的隨機需求問題，任意原始的二階隨機方案的最優解可以被基于服務可靠性的隨機方案規劃生成。

提出的求解過程稱為基于服務可靠性的下降求解過程，它并不像常規解法那樣通過減小可行區域來找最優解，而是通過服務可靠性ρ來確定下降方向。一旦常規服務Y給定，相應的最低成本也即確定。因此首先要找到Y*，由于Y的離散性質，即它的所有元素的影響在同一時間不可能通過Y直接進行線搜索，這也是基于服務可靠性ρ來確定目標函數下降方向的原因。對給定的初值ρ，沿著目標函數下降方向來尋找最優的ρ*。從實踐的角度來說，ρ的物理意義為常規服務攜帶的隨機需求的可能性，它能更加清楚地幫助初始點ρk解決各類問題。

2.4 ρ的優化過程

2.4.1 確定ρ的可行變化范圍

當出行的車行規模上界足夠大（也即和N相對于需求水平足夠大），ρ的可行域應介于[0,1]；當出行的車行規模上界較小，此時ρ的可行區域應定義為適當確保第一階段問題P2的可行性。因此在解決P2問題之前先要計算出ρ的可行區域。通過盡可能大地設置Yij來獲得最大的總需求使得常規需求可以覆蓋其相應的ρ，也可以求得每個OD對和ρd的最大需求，程序步驟描述如下。

（1）通過求解：

來獲得上界ρ，其受制于方案P2的約束條件。

（2）通過求解：

來獲得個別ρd的上界變量，其受制于方案P2的約束條件。

式（20）和式（21）定義了ρ的可行范圍，并將Bˉd定義為決策變量，一旦Bˉd給定，ρ也可以由相應的需求累積分布函數計算得出。

對于初始點ρk=(ρdk)，首先通過P2和P3找到總的系統耗費，然后通過對目標函數求偏導來找ρ的下降方向，這樣能及時更新ρ以便于更好地進行下一次迭代。重復這一過程直到滿足停止條件，這一過程中每個變量的下標k都代表著迭代次數。

2.4.2 解決方案示意圖

原始的二階段問題的約束條件離散化后可以由圖3（a）表示，其中包括3個決策變量：Y（常規服務）、X（常規服務下的乘客量）、Z（特別服務下的乘客量）。這3個變量相互作用與相互制約構成了初始的約束條件：將約束條件集分成3個區域，左區僅含Y，包括車行保障和車行規模約束，也即P1中的式（9）～（12）；中間區包括Y和X，代表著在常規服務下沒有超出車行能力的乘客量，即P1中的式（15）；右區包括X和Z，意味著乘客的實際需求包括采用常規服務的乘客量X和特別服務的乘客量Z。對離散后連續條件下的隨機需求，需要考慮各區域達到理想狀態的準確度，因此，P1會變得相當大導致計算很難完成，常規解法通常利用這一問題的特殊結構將其分離成2個部分：主部分和子部分（見圖3（b）），主部分僅和Y有關，在每一次迭代中，優化子部分會生成1個或多個主部分的約束條件。因此，在每次迭代中隨著計算的進行，主部分的約束條件會越來越多，計算量也會越來越大。常規方法的優點是一開始時的下降速度很快，但越到后期越疲乏。而本文提出的二階下降法也采用類似的原理將原始的問題分解為2個階段：一階段和二階段（見圖3（c））。一階段問題是混合整數線性規劃，而二階段問題是簡單的線性規劃，二者相對于之前的問題都更容易計算。與常規解法相比，它們在每次迭代過程中約束問題的規模都在逐漸增大，而二階下降法中的一階段問題規模保持不變，通過不引入額外的約束來搜索需求方案的服務可靠性，計算時間基本保持一致，這也顯示出了其計算的優勢，這一點在后續的數值仿真中得以證明。另外一個優點是二階下降法可以采用ρ來作為加速因子用來加速算法（通常選取已有的或者預期的服務可靠性因子），而其他的方法卻不能。

圖3 原始方案及解決方案示意圖

3 算例分析

為了說明方法的有效性，引入圖4所示的例子，節點1,2,3代表在不同時刻相同的某一公交站點，同樣節點4和5代表不同時刻的另外一個公交站點，變量及相關定義如圖4所示。

圖4 公交實例模型

這一問題轉化成數學模型為：

其中，一階段問題為：

二階段問題為：

在一階段中，利用不同的初始點(ρ1,ρ2)來比較實驗結果，取(0,0)到(0.5,0.5)，步長為0.1。在二階段中，將需求分布離散化來覆蓋整個空間OD對需求。

首先，將2個均勻分布分割成均等的n份，每個小的間隔代表著概率為1n的可能性；

然后，列舉出離散需求值集合中的所有可能性組合，生成n2空間，每一個接合點的可能性為1/n2。例如（）是一個可能的維系，結果的精確度取決于離散化的需求分布水平（即n的值）。應用最優化ρ求解步驟求解該方案，結果如表1所示。通過改變單位特別服務耗費A可以生成一組不同的常規服務方案。結果顯示，A從10逐漸變到25的過程中，常規服務方案中(Y14,Y25)從(0,0)逐漸增加到(1,2)，(0,0)表示放棄定制的常規服務而選擇100%依賴特別服務，(1,2)表示達到車行規模最優方案。

表1 實驗數據與結果

表1 （續）

4 數據結果對比

這一結果的精準度依賴于隨機需求的分布水平，根據表1，二階下降法得到的總的耗費和原始解法得到的結果非常接近，即使對于每個變量A，基于二階下降法可以像原始解法那樣生成相同的常規服務安排，但它們之間會存在微小的差異。結果表明不同的變量A生成不同的ρ和Y的最優值，盡管常規服務Y對基于服務可靠性的二階下降法和原始解法來說是一致的，但它們可能有不同的服務可靠性方案，即ρ會有不同的解或者多解來生成相同的常規服務方案Y。因此，比較二階下降法和原始解法在A=10,A=12,A=15和A=20,A=25時的最優可靠性。在不同的時間到達公交站點的OD對需求在不影響總的常規服務耗費情況下會加載等量的公交出行，恰好這些OD對需求加載方案會生成不同的常規服務。這一結果表明，有很多種最優服務可靠性組合也會導致相同的最優方案總耗費。

5 結語

本文通過服務可靠性在隨機需求條件下建立了一類隨機公交網絡服務設計模型，服務可靠性可以分離出依賴于混合整數線性規劃的二階隨機整數方案，通過二階下降法規定不確定的隨機變量參數ρ來求解二階隨機方案。首先通過在一階段減少混合整數規劃中約束條件的數量，可以節省大量的計算時間，隨后在二階段中模擬出一個線性規劃，便可以有效地解決問題。在實踐層面，該方法可以廣泛應用到交通網絡設計中，比如通過制定最優化組合的固定航線或者實行靈活的出行服務來使得預期耗費最小；或者在物流方面規劃出貨車的出行方案以及交互服務，可以處理一些隨機的需求溢出。作為基于不確定性的二階隨機方案，將其擴展到大規模的網絡仍是一巨大挑戰，如何將用戶均衡原則融合到隨機方案中將是接下來研究的重點。

[1]高自友，吳建軍.出行者博弈、網絡結構與城市交通系統復雜性[J].復雜系統與復雜性科學，2010，7（4）：55-64.

[2]鄭嘯，陳建平，邵佳麗，等.基于復雜網絡理論的北京公交網絡拓撲性質分析[J].物理學報，2012，61（19）：95-105.

[3]王喆，彭其淵.成都市公交復雜網絡拓撲特性研究[J].交通與計算機，2007（2）：39-42.

[4]GAO Z Y,SUN H J,SHAN L L.A Continuous Equilibrium Network Design Model and Algorithm for Transit Systems [J].Transportation Research Part B:Methodological,2004, 38(3):235-250.

[5]SZETO W Y,JIANG Y,WONG K I.Reliability-Based Sto?chastic Transit Assignment with Capacity Constraints:For?mulation and Solution Method[J].Transportation Research Part C:Emerging Technologies,2013(35):286-304.

[6]劉志謙，宋瑞.基于復雜網絡理論的廣州軌道交通網絡可靠性研究[J].交通運輸系統工程與信息，2010，10（5）：194-200.

[7]丁小兵.復雜網絡理論及其在上海城市軌道交通網絡可靠性分析評價中的應用[J].城市軌道交通研究，2012，（11）：50-53.

[8]WANG Z W,LO H K.Multi-Fleet Ferry Service Network Design with Passenger Preferences for Differential Services [J].Transportation Research Part B:Methodological,2008, 42(9):798-822.

[9]BAGLOEE S A,CEDER A.Transit-Network Design Meth?odology for Actual-Size Road Networks[J].Transportation Research Part B:Methodological,2011,45(10):1787-1804.

[10]陸化普，蔚欣欣，卞長志.OD需求不確定的離散交通網絡設計模型研究[J].公路交通科技，2011，28（5）：128-132.

[11]孫華，高自友，龍建成.不確定OD需求下連續交通網絡設計的魯棒優化模型[J].交通運輸系統工程與信息，2011，11（2）：70-76.

[12]范大娟，黃志球，肖芳雄，等.一種需求驅動的服務行為適配方法[J].四川大學學報：工程科學版，2014，46（2）：95-104.

[13]徐英俊，程天成.隨機需求下公交網絡設計的期望值模型與求解算法研究[J].交通標準化，2013（17）：22-25.

Service Reliability of Public Transit Network under Condition of Two-Stage Stochastic Demand

ZHAO Jie1,ZHANG Li2,AN Xin-lei1
(1.School of Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China; 2.Department of Basic Courses,Lanzhou Institute of Technology,Lanzhou 730050,China)

The notion of service reliability was introduced.The public transit network model with the stochastic demand was established through taking minimizing the passengers travel cost and bus opera?tion cost as the target.The fixed demand service scheme model and two-stage stochastic scheme model were put forward respectively.The travel choice of passenger for public transit was embodied while the inter relation between stochastic demand and service reliability was reflected by this model.Then the service design of public transit network was analyzed,including the regular service and the particular service.The two-stage stochastic scheme was solved by using two-stage descent method and defining the stochastic parameter of service reliability.The computing time was saved by reducing the number of mixed integer programming during the first stage,and then a linear programming was simulated to solve the two-stage stochastic scheme during the second stage.Finally,the feasibility of this model was veri?fied with instance model.

public transit network;service reliability;two-stage descent method;stochastic scheme;passenger demand

U491.17

：A

：2095-9931（2015）04-0030-08

10.16503/j.cnki.2095-9931.2015.04.005

2015-06-02

國家自然科學基金（61364001）；蘭州交通大學青年科學研究基金（2014024）；甘肅省自然科學基金（1310RJZA028）

趙杰（1993—），男，甘肅西和人，碩士研究生，研究方向為非線性與復雜網絡。E-mail：zhaoj1993@126.com。