《正弦定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)

劉洋

一、教學(xué)內(nèi)容分析

正弦定理第一課是在高二學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用;同時(shí)，作為三角形中的定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。

根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想;第二層次，由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式;第三層次，利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。

二、學(xué)情分析

對高二學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定的難度。

三、設(shè)計(jì)思想

本節(jié)課采用新的課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)中，由教師啟發(fā)引導(dǎo)，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，給學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會，讓學(xué)生參與個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動。

四、教學(xué)目標(biāo)

（一）讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

（二）通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察、提出、分析、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

（三）培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明;正弦定理的簡單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。

教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器。

六、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

師生活動：

教師：展示情景圖，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？

教師：若已測得∠BAC=75°，∠ACB=45°，要計(jì)算A、B兩地距離，你能解決嗎？

學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形A′B′C′，使得B′C′為6cm，∠B′A′C′=75°，∠A′C′B′=45°，量得A′B′距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。

老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？

師生共同回憶解直角三角形進(jìn)而處理相關(guān)問題。

教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才的解題過程。

設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個(gè)猜測性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

（二）和學(xué)生展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)互動，驗(yàn)證猜想。

教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)■=■=■是否成立，舉出特例。

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，■、■、■值仍然保持相等。

我們猜想：■=■=■

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的好奇心。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。

（三）引導(dǎo)學(xué)生證明猜想，得出定理。

師生活動：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明■=■=■呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。

（四）利用定理，解決引例。

（五）了解解三角形概念。

設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。

（六）運(yùn)用定理，解決例題。

師生活動：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊。

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角。

（七）嘗試小結(jié)。

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：

（1）正弦定理的內(nèi)容（■=■=■=2R）及其證明思想方法。

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。

（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。

評述：這本節(jié)課從設(shè)計(jì)到課程的實(shí)施圍繞著創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)動機(jī)，激勵學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題。數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。