利用圖形表征促進問題解決

顧葉平

表征在辭典中的解釋為“揭示，闡明”之意，是外部事物在心理活動中的內部再現，它一方面反映客觀事物，代表客觀事物，另一方面是心理活動進一步加工的對象。表征是一種心理過程，即學生對問題的理解和內化，也是問題理解的一種結果，即問題在頭腦中的呈現方式。

在現實教學中，很多學生學習數學都有這樣的感受，公式定理記了不少，教材中的題目似乎也一看就懂，遇到陌生問題常常感到無從下手，不知所措。究其原因是多方面的，其中很重要的原因是解決問題的表征形式影響學生的思維方式，導致學生不能有效解題。對題目做什么樣的表征，這種表征是否適宜，直接影響問題解決的難易、快慢和成敗。圖形表征在問題解決中起著相當重要的作用，圖形表征可以使抽象的題目變得形象，運用圖形表征可輕巧地找出一些文字中未經解釋的有用信息，促進問題的解決。在小學數學教學中有很多內容是應用了圖形表征的方法，這符合小學生的認知能力。

一、畫圖搭橋，抽象問題具體化

隨著新課改的逐步深入，解決問題的呈現形式更豐富多彩，內容更具有廣度和深度，學生面對實際問題時，會主動嘗試用自己的方式方法理解題意，內化為自己可以接受的題目。圖形表征是眾多的表征題意中最基本的，也是一種很重要的方法。示意圖能為學生理解抽象的數學問題搭好橋，幫助學生化抽象為形象，化復雜為簡單，化無序為有序，從而使學生找到解決問題的突破口，并形成解決問題的思路。

例如：17個小朋友站成一排，從左往右數，芳芳排在第9;從右往左數，兵兵排在第4。芳芳和兵兵之間有多少個小朋友？這一題初看題目比較難理解，但是如果學生自主地用○、△等簡易符號表示17個小朋友，再找到芳芳和兵兵的位置，再現站隊場景，列式解決就方便得多。這樣把一道文字呈現的題目以符號的形象展示，使得抽象的問題具體化，降低解決問題的坡度。

二、形式多樣，表征問題靈活化

在傳統解決問題教學中，提到畫圖老師們想到的是線段圖，他們往往把畫線段圖作為一個知識教給學生，而不是作為一種方法，所以學生往往不會按照老師的要求畫出標準的線段圖，甚至不會主動畫圖。新的教學理念指引我們要不斷研究，要把它看做是幫助學生解決問題的一個表征能力進行教學，不斷總結，教給學生多樣的畫圖的方法，提高學生自主運用圖形幫助我們進行問題表征。

1.線段圖：可以把題意簡潔形象的表現出來，在表示兩個量的比較關系中比較常用。例如：青云小學十月份用水440立方米，比九月份節約20%。九月份用水多少立方米？學生第一時間可能會列出440-440×20%，這時教師不要急于下結論，而是引導學生將題意用線段圖表示出來，理解單位“1”是九月份，找到量與分率的對應關系，從而正確理解題意，確定用方程解決問題的方法。

2.樹狀圖：有些特定的解決問題，思考時具有一定的順序性，我們可以根據題意畫出樹狀圖，邊畫邊思考，答案慢慢就水落石出。例如在教學“搭配中的規律”時，使用“樹狀圖”會更直觀：有3件不同的襯衣和5條不同的褲子，配成一套衣服，一共有幾種不同的搭配方法？學生憑借大腦想象比較困難，這時用簡單的符號表示襯衣和褲子，連線搭配，通過畫圖，題目就能迎刃而解。又如有16支球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行。數一數，一共要進行多少場比賽后才能產生冠軍？學生根據題意自己畫圖，在示意圖中理解淘汰制的規律就找到解決問題的思路。

3.示意圖：在解決問題的過程中，學生會根據自己的經驗，畫出一些讓我們意想不到的圖。在這種情況下，教師既要充分肯定學生畫圖的創意，保護學生學習數學的興趣，又要通過圖形幫助學生理解學習數學知識的價值。例如：王大爺想靠墻圍一塊長8米，寬5米的長方形菜地，請你幫王大爺算一算需要籬笆多少米？學生可以將題意用圖形表示出來，如果是一面靠墻，該是長邊靠墻還是短邊靠墻呢？如果節約籬笆可以兩面靠墻嗎？這種圖形對學生有一定的挑戰性，經過這樣的嘗試，學生真正理解長方形的周長知識在生活中的實際運用。

教學要真正做到培養學生運用圖形表征的能力，不是在加深問題的難度上下工夫，而是要通過有代表性的又為學生容易接受的題目，著重培養學生的畫圖興趣，使學生產生遷移。這樣即使遇到一些陌生的題目，學生經過自己的畫圖、分析也能找出解答方法。因此教師要鼓勵學生靈活運用圖形表征題意，分析和解決問題。

三、循序漸進，畫圖方法習慣化

圖形表征的掌握不是一朝一夕就能學會，而是需要從低年級開始不斷訓練才能形成。我認為教師應該分三步進行引導。第一階段：自由畫圖階段，是用畫圖理解問題解決的初級階段，即低年級階段。這時老師可以放手，讓學生自由發揮，無論學生畫得如何，教師都應該鼓勵他們。第二階段：規范畫圖階段，即中年級階段。當學生想畫圖，但畫出的圖不夠規范，不能準確表示題意時，引導他們將所畫的圖形不斷規范，標出題目中的已知條件和問題，形成相對標準的圖形。第三階段：腦中成圖階段，這是用畫圖方法表征題意的最高階段。這時學生在圖形表征的長期訓練后，看到題目能在腦中想出示意圖，然后根據腦中的示意圖解決問題，從真正意義上提高學生的解題能力，一般高年級的學生具備這樣的能力。學生通過圖形表征解決問題，就能感受到直觀示意圖對于解題的作用，形成應用圖形表征題意的興趣和自覺性。

學生有著不同的知識背景，對題意的理解方法也各不一樣，這正是學生個性的體現。圖形表征固然是一種很重要的表征方式，但在解決實際問題中要靈活應用，需要與其他學習方法相結合，充分發揮其作用，達到提高學生解決問題能力的目的。