關于解三角形問題的思考

何旦

摘 ? ?要： 正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，可以解決各種類型的三角形問題。在解三角形的過程中，兩個定理同時使用的情況屢見不鮮。所以，學生如何正確地使用兩個定理是教師課堂教學中的難點。定理使用不正確，有時會導致問題的復雜化，甚至產生錯解。

關鍵詞： 解三角形 ? ?正弦定理 ? ?余弦定理

在學習解三角形的內容中，我們學到最重要的兩個工具——正弦定理和余弦定理，并且歸納出正弦定理和余弦定理的使用情況。目的是讓學生能夠更準確地使用兩個定理，但是一旦根據條件解出一個條件之后，再利用什么定理求解，教師并沒有特別強調。所以在學生完成作業的過程中出現了這樣一個問題：

已知a=2，b=1+■，c=60°，求c，∠A，∠B.

正解：已知兩邊及其夾角，首先使用余弦定理求邊c，代入公式進行計算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵cosA=■=■=■

∴∠A=45°

∠B=180°-45°-60°=75°

錯解：已知兩邊及其夾角，首先使用余弦定理求邊c，代入公式進行計算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵■=■

∴■=■

∴sinB=■

∵0°

∴∠B=75°或105°

當∠B=75°時，∠A=45°

當∠B=105°時，∠A=15°

∵b>c

∴∠B>∠C

∴兩解均可

起初看到這樣的求解，覺得是計算錯誤，才會出現這樣的情況。后來經過驗算發現，從公式運用到推理說明都沒有任何問題。先求出邊c后運用正弦定理先求角B的度數，然后用“大邊對大角”的方法進行檢驗。只是這個檢驗不能刪去多余的錯誤結果。

如果換個做法，求出邊c后還是用正弦定理先求角A的度數，那么也能舍去一解，從而得到正確答案。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∵a

∴∠A<∠C

∴∠A=45°

∴∠A=75°

這樣的問題說明：解三角形的問題在正弦定理和余弦定理都能用的情況下，如果沒有選擇正確，就會影響問題解決的速度和運算的難易程度，甚至會產生錯誤的結果。同樣還有一例，也有類似的情況。

已知AB=6，BC=2■，∠C=60°，求AC.

分析已知件屬于“兩邊一對角”，首先選用正弦定理解決。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∴AB>BC

∴∠C>∠A

∴∠A=45°

∴∠B=180°-45°-60°=75°

接下來求AC邊的長，又有方案1。

方案一使用正弦定理

∵■=■

∴■=■

∴AC=■+3■

根據這兩個例子求解的過程，可以注意到在解決解三角形問題時，如果已知條件多，正弦和余弦定理均可以使用時要注意正確地取舍。特別地，如三邊已求出要求角，就要用余弦定理解決，可以回避解出兩個解的可能，省去檢驗的過程，防止錯解產生;如三個角已求出要求邊長，就要用正弦定理，可以省去開根號運算的麻煩，從而提高解題速度。