微元思想在大學物理的應用

劉 揚

（沈陽工業大學基礎部，遼寧 遼陽 111003）

0 引言

中學物理只能解決常量和恒矢量等簡單特殊的一類物理問題，依靠初等數學和物理概念就可以解決；大學物理解決的是更具一般性復雜的變量問題，采用微積分的思想和方法解決復雜變化的問題，使大學物理相比于中學物理有質的飛躍。相對于高等數學只注重微積分性質和計算，大學物理側重于應用微積分對物理模型的建立。其中最關鍵的是如何應用微元思想恰當的選取微元，以體現元過程，元作用和元貢獻，是學生學習的重點也是難點[1]。

1 微元思想

對所研究問題的區間進行無限分割，在分割后足夠小的區間內選擇微元，變化的物理量就可以近似看作常量或者恒量，這樣把復雜變化的物理問題轉化為簡單特殊的物理模型，然后對分割后的所有區間累加求和，應用定積分的思想來解決實際問題。

1.1 如何選取微元

選取微元的目的是把變化的物理量在分割后的區間內近似為不變的物理量，把不均勻的物理量在分割后的區間內近似為均勻的物理量，把曲線在分割后的區間內近似為直線。如圖1萬有引力的功的計算。質量為m的物體在質量為M物體的引力場中，沿路徑L由A點（r?

1）運動到 B 點（r?2）所做的功[2]。 設C為曲線上任意一點，質點M在C點受到的萬有引力C 處于不同的位置，F?的大小和方向都不同。用中學方法無法之間求解，應用微積分思想把路徑無限分割成無限多的小區間dl，在dl內F?大小近似相等，方向一致，此時變力轉化為恒力，由于dl足夠小，曲線近似為直線，在區間dl內F?的元功dW=F cosθdl=F?·dr?，然后對所有區間累加求和，即對每個區間的元功積分有

圖1

圖2

圖3

1.2 微元選取不唯一時應考慮構造的被積函數盡可能簡單，并且能用一元積分就不用重積分，能用線積分就不用面積分。如圖2求電荷面密度為σ的均勻帶電薄圓盤在其軸線上x處的場強分布，設圓盤半徑為R。如果把圓環在直角坐標系下分割成無限小區間ds=dxdy或者在極坐標下分割為ds=ρdρdθ，直角坐標系下構造的被積函數表達式復雜，積分難度大；極坐標系下，由于距離不同，被積函數難以構造。

因此我們采用轉化的思想分兩步求解，第一步先求半徑為R帶電量為q的均勻帶電細圓環軸線上任一點x的場強分布。取如圖3所示坐標系，設P點距離環心O的距離為x，在環上取微元段dl，所帶電量為dq=在 P 點產生的場強為r，由于電荷分布的對稱性可知圓環上各電荷元在P點激發的場強dE?分布也具有對稱性，即dE?大小相等，方向分別沿頂角為2θ的圓錐面母線方向。因此，dE?沿垂直于x軸方向的分量dE?⊥相互抵消，即E?⊥=0。而各電荷元在P點的場強dE?沿x軸的分量dE?‖都具有相同的方向， 且dE?

x=dE?cosθ， 故P點的場強為，方向沿x軸。

第二步再把帶電圓盤可以看作是許多帶電細圓環組成，取半徑為r，寬為 dr的細圓環，此環帶的電荷為 dq=σds=σ·2πrdr，應用均勻帶電圓環軸線上一點場強分布方向沿 x 方向）[3]，可以用一元積分解決。設選取的圓環距離中心不同，半徑r不同，圓環所帶電量不同，所以d都是沿x方向，對所有圓環的

2 結論

微元思想的貫穿于大學物理的多個章節，學會應用微元思想恰當的構造物理模型，確定積分上下限，求解更為復雜的物理問題對初學者顯得尤為重要。

［1］韓風華.談物理學解題的微積分應用[J].現代物理知識,2000(增刊)：151-152.

［2］王少杰,顧牧.新編基礎物理學[M].高等教育出版社,2009：41-42.

［3］馬文蔚,等.物理學[M].高等教育出版社,2006：159-160.