基于數值積分的物理學Flash課件

彭 亮

（武漢鐵路職業技術學院，湖北 武漢 430205）

0 前言

物理學是一門實驗科學，單純從數學角度來記憶公式是無法深入理解物理規律的。在物理教學過程中，傳統的以粉筆和黑板作為媒介的教學方式比較死板，通過借助計算機技術，將物理運動過程制作成多媒體課件，形象、直觀的展示出來，能夠加深學生對物理規律的感性認識，從而提高教學的效果。

Flash是常用的動畫軟件之一，具有使用方便、動畫效果好的優點，最為重要的是內置一套Action Script編程語言，能夠通過程序的方式實現其他軟件難以實現的動態效果。在物理學課件的制作過程中，傳統靜態動畫制作方式過程繁瑣，而且難以精確的再現物理運動過程。借助Flash提供的Action Script編程語言，制作過程得到了簡化，還具有精確、通用性強的優點。

1 Flash中實時展現物理過程的方法

1.1 基于運動方程的方法

Flash采用幀的方式運行，通過改變圖形在不同幀的位置、大小等屬性來實現動畫的效果，屬于時間離散的過程，而真實的物理運動過程則是時間連續的。為了在Flash中精確的再現物理運動過程必須對時間連續的過程進行離散化。

物理運動過程可以由運動方程來描述，例如：

運動方程直接給出了位置與時間的關系，通過在每幀中使用方程計算出位置坐標就能再現運動過程。

這種方法精準度高，只有計算過程中的舍入誤差，且誤差不會累積。但該方法必須事先求出運動方程，而且不同場景的運動方程差異極大，所以通用性不是很好。

1.2 采用數值積分的方法

由于基于運動方程的方法不夠靈活，通用性差，有必要直接從影響物體運動的物理規律出發，尋找一種通用的方法。

根據牛頓定律可知：物體的運動過程由初始狀態（位置、速度）以及受到的力決定，而日常中出現的力可以看成和時間、物體位置和速度有關的函數，因此可以用以下微分方程來表示物體運動過程。

在物體的初始位置和速度已知的情況下，通過數值積分的方法，計算出下一幀的位置和速度，然后以此類推，也能夠再現物體運動過程。這種方法通用性較好，但精度比采用運動方程的方法要差，因為使用數值積分遞推計算位置和速度，不僅存在舍入誤差，還有數值積分方法帶來的截斷誤差，且誤差會累積。不過通過采用高精度的計算方法，誤差能做到可以接受的程度。

2 數值積分過程

2.1 歐拉方法

首先將式1改寫為以下形式

采用歐拉方法求解上式的過程如下：

2.2 龍格庫塔方法

采用龍格庫塔方法求解式2的過程如下：

3 實例及性能分析

以斜拋運動為例，其運動過程可由以下微分方程描述：

上述式子第一項描述水平方向的運動過程，第二項描述垂直方向的運動過程。

3.1 采用歐拉方法的程序

程序中sx表示水平方向的位置，vx表示水平方向的速度，sy表示垂直方向的位置，vy表示垂直方向的速度，t表示時間，h表示積分步長。方法caculateAccX和caculateAccY用于求取加速度，與式2中的函數 v′=f（t，x，v）對應。

3.2 采用龍格庫塔方法的程序

以上程序為水平方向的計算過程，垂直方向的計算過程與之類似，程序中的變量和函數與歐拉方法程序的變量和函數相同?？梢钥吹烬埜駧焖ǖ挠嬎氵^程要比歐拉方法復雜，接下來將會對兩者的性能進行比對分析。

3.3 性能分析

圖1

圖1中為取h=0.2s時的運行結果，圖中實線為運動方程表示的運動過程，+記號的點序列表示歐拉方法計算結果，×記號的點序列表示龍格庫塔方法計算結果?？梢钥闯鰵W拉方法在初段與運動方程的結果相近，但隨著步數增加，誤差越來越大，而龍格庫塔法的誤差幾乎可以忽略。

4 結束語

本文介紹了基于數值積分的物理學Flash課件制作方法，給出了采用兩種不同數值積分的實現過程，并對兩者的性能進行比對，得出結論：歐拉方法計算過程簡單，但誤差較大，適合在步長較短且運行時間也比較短的場合使用，龍格庫塔法計算過程復雜，但誤差很小，適合在步長較長且運行時間也比較長的場合使用。

［1］陳誌敏.龍格-庫塔法及其Mathematica實現[J].武漢工程職業技術學院學報,2006,18(2).

［2］黃曉紅,胡振華.淺析龍格-庫塔方法[J].黑龍江科技信息,2012(23).

［3］陸映紅.基于物理學原理Flash行為動畫的實現[J].廣西民族學院學報,2005,11(4).