例說促進初中生數學概念理解的教學途徑

◆ 西藏昌都市察雅縣中學 李江專

例說促進初中生數學概念理解的教學途徑

◆ 西藏昌都市察雅縣中學 李江專

概念教學是初中數學一項重要的教學內容，掌握好數學概念是推導定理，掌握數學公式、法則的基礎。本文以數學概念的教學實例為基礎，提出3種概念教學途徑：從借助直觀到抽象概念的變式教學，數學概念的非概念變式教學，數學概念的形成過程的變式教學。旨在促進初中生對數學概念的理解，對初中數學教師的概念教學有所啟發。

初中數學；數學概念；概念教學

數學概念教學是初中數學教學的一項重要內容，學生掌握好數學概念是推導定理，掌握數學公式和法則的基礎。在數學概念教學中，教師采用什么教學方法和途徑尤為重要。如何進行數學概念教學呢？下面通過一些實例來闡述在初中數學教學中，促進初中生對數學概念理解的方法和途徑。

一、從直觀到抽象的變式教學，旨在理解數學概念

數學概念的一個基本特征是抽象性。學生理解抽象的概念往往感到空洞，從而影響他們準確掌握概念的內涵和本質。事實上，初中許多數學概念直接來自具體的感性經驗，所以，尋求數學概念在生活中的根源，挖掘數學概念的本源，很有必要。這就啟發我們，對初中數學概念的教學，關鍵是要讓學生建立起感性經驗與抽象概念之間的關聯。

例1 相似三角形概念的教學

數學源于生活。在教學過程中，我們不妨采取直觀變式的教學方式，將抽象概念的教學建立在學生已有的感性經驗基礎上，讓生活中的具體實物與抽象的數學概念之間建立起有效聯系。

圖1.1 生活中的相似三角形

首先，教師呈現日常生活中的直觀圖片素材，如圖1.1生活中的相似三角形。這樣能發揮學生已有的感性經驗，使學生理解相似三角形的初步含義。

圖1.2

第二，用不同圖形的變式，如圖1.2，作為直觀材料和抽象數學概念之間的過渡，使學生原有的感性經驗上升到相似三角形概念的認識。

最后，在此基礎上，提出相似三角形的概念。

例2 算術平方根概念的教學

教師將正方形面積和邊長的關系（見表1.1）先呈現給學生，在此基礎上，給出表1.2算術平方根，這樣來引入算術平方根的概念。

這里的“算術平方根”，對剛入學的初中生來說，雖然是抽象的數學概念，但是他們容易理解正方形面積和邊長的關系。正是在正方形面積和邊長的關系這種現實直觀和具體數據的作用下，學生能建立起有效聯系，從而幫助其理解算術平方根的含義。

表1.1 正方形的面積和邊長的關系

表1.2 算術平方根

例3 平行線概念的教學

有觀點認為，數學是“看”出來的。這種觀點借用在數學概念的教學中，教師采用直觀或具體圖形的變式教學，學生在學習中從直觀到抽象的認識，從而“看”出數學概念的內涵。

平行線的概念，教師可以從學生熟悉的現實生活實例入手，如：鐵軌、高壓線上的兩根電線、黑板的上下邊緣等。用日常生活中所接觸到的實物、圖形等作為學生認識的感性材料，再讓學生通過觀察、分析、比較、歸納和概括，從而掌握平行線的屬性，實現平行線概念的教學目的。

二、通過非概念的變式教學，旨在挖掘數學概念的內涵

要讓學生理解數學概念的內涵，通過非概念的變式教學，讓學生明確概念的外延，也就是先讓學生辨別數學概念相對的一面，從而達到掌握數學概念屬性的意圖。

例4 鄰補角概念的教學

圖2.1 鄰角的概念圖

圖2.2 鄰補角的非概念圖

用多媒體呈現圖2.1鄰補角的概念圖形和圖2.2鄰補角的非概念圖形。

師：圖2.1中的兩個角是鄰補角，而2.2中的3對角都不是鄰補角。對照比較，你能發現什么是鄰補角呢？

生1：鄰補角必須要有一條公共邊。

生2：有一個公共頂點。

生3：一個角的一邊是另一個角的反向延長線。

……

師：互為鄰補角的兩個角一定互為補角嗎？互為補角的兩個角不一定互為鄰補角嗎？

教師借助了鄰補角的非概念的3種反例圖形，以提問的方式讓學生觀察、比較、思考，從而描述出鄰補角的內涵和外延。教師通過對鄰補角的概念圖和非概念圖的變式教學，從而使學生掌握鄰補角的概念。

例5 圓的切線概念的教學

用多媒體呈現圖2.3圓的切線概念圖和圖2.4圓的切線非概念圖。

師：圖2.3中的直線是圓的切線，而圖2.4中的直線都不是圓的切線。那么圓的切線是什么呢？

生1：雖然直線垂直圓的半徑，但沒有經過圓的半徑的外端。

生2：雖然直線經過圓的半徑，但沒有垂直于圓的半徑。

生3：直線與圓沒有交點。

……

師：你能總結出圓的切線要滿足哪兩個條件嗎？

在教師的引導下，學生通過對圓的切線非概念圖的探究、歸納，得出圓的切線要滿足的兩個條件：經過半徑的外端，垂直于這條半徑。這樣學生就很容易理解和掌握圓的切線的概念。

圖2.3 圓的切線概念圖

圖2.4 圓的切線非概念圖

三、通過概念形成過程的教學，旨在揭示數學概念的本質

早有研究者提出“過程性變”的概念。過程性活動變式是，在數學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗，讓學生體驗數學概念的形成過程，從而掌握數學概念，揭示數學概念的本質。

例6 二次函數有關概念的教學

二次函數是初中數學重要的教學內容，二次函數一般式的形式、二次項系數等既是重點，又是關鍵。若教師只是簡單地讓學生記住二次函數的解析式，而學生并沒有真正掌握二次函數的來龍去脈，會讓學生感覺到數學就是機械記憶。既然二次函數來自現實生活，必然能用生活中的實際問題來確定二次函數的解析式。在二次函數概念教學中，教師不妨抓住二次函數在現實生活中的事例，讓學生體驗二次函數概念的形成過程，既可讓學生主動參與，積極探索，又能準確掌握二次函數的有關概念。

師：在下列問題中，求x與y的關系式。

①正方體的邊長為x，表面積為y；②正方形的邊長為x米，邊長增加2米，邊長增加之后的正方形的面積為y；③圓柱體的底面半徑為x米，高為4米，其體積為y；④操場上有y名學生做課間操，恰好站成長方形，有x排學生，縱排比橫排多2。

生：①y=6x2；②y=x2+4x+4；③y=4πx2；④y=x2+2x

師：這4個關系式有什么共同特點？

生：（通過觀察、比較），都有二次項。

師：他們都是函數嗎？

生：是。

師：給此類函數取個名。我們就把它稱為二次函數。假若二次項前面的系數為零，能確保有二次項嗎？

生：不能。

師：理由是什么呢？

生：若二次項系數為零，就沒有二次項了。

通過教師的引導，歸納出二次函數的一般形式：y=ax2+bx+c （a≠0）以及當b=0、c=0時，y=ax2（a≠0）是特殊的二次函數，學生從而掌握了二次函數的結構特征，掌握了二次函數的有關概念。

數學學習是一個探究的過程，學生在觀察、比較、分析、探究和歸納的過程中掌握了數學概念所具有的特征，教師通過概念形成過程的教學，讓學生弄清概念的來龍去脈，從而使學生掌握了數學概念。

[1]顧泠沅．演變圖形在幾何教學中的直觀效果和心理意義[C]．上海市數學會年會論文，1981．

[2]鮑建生，周超．數學學習的心理基礎與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009，10．

（編輯：胡 璐）

李江專，碩士，中學一級教師，主要研究方向：課程與教學論（數學）方向。

G623.2

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1671-0568 （2015） 31-0114-03