在線遞推支持向量機的磁軸承轉子位移預測

朱志瑩，孫玉坤，李祖明，周云紅，王正齊

(南京工程學院，南京211167)

0 引 言

主動磁軸承因其無摩擦、無磨損、超高速、長壽命、剛度可調、易于控制等一系列優點得到了廣泛研究和應用［1－3］。位移檢測環節是主動磁軸承系統重要組成部分。目前國內外實際實際磁軸承位移檢測中多直接利用各類位移傳感器，增加了系統復雜性，使得安裝和調試不便，同時增加磁軸承轉子軸向長度，降低臨界轉速，使得系統的優越性能發揮受限，因此探索無位移傳感器的磁軸承轉子位移自檢測技術具有重要意義［4－6］。

由于磁軸承系統的本質非線性和參數不確定性，使得傳統依賴于對象模型的轉子位移自檢測算法很難取得較好的檢測效果。人工神經網絡作為一種智能辨識方法能夠擺脫對控制對象精確模型的依賴，在處理非線性和不確定性的問題中獲得可處理性和魯棒性［7］。但神經網絡遵循經驗風險最小化準則，存在訓練樣本規模過大、易陷于局部極小值等問題。為此，Vapnik［8］和Suykens［9］等人提出了一種新型機器學習算法——最小二乘支持向量機(以下簡稱LS－SVM)，該方法訓練過程遵循結構風險最小化原則，不易發生過擬合現象，也不存在局部極小值問題，且小樣本學習具有很強的泛化能力，近年來得到了廣泛研究和快速發展。文獻［10］將其用于磁軸承轉子位移預測建模中，取得了比神經網絡更好的應用效果。然而文獻［10］將LS－SVM 用于位移預測建模時，基于離線學習算法，而實際磁軸承是一個時變不確定的系統，其電磁參數和運行工況隨時間而變化，通過固定樣本離線構建學習模型，并不能完全準確反映系統實際動態特征。

本文為實現主動磁軸承轉子位移動態實時自檢測，研究了一種在線遞推LS－SVM 的磁軸承轉子位移預測算法。首先對LS－SVM 進行改進，設定窗體寬度，使樣本集隨時間不斷更新，并采用遞推最小二乘法訓練LS－SVM，實現LS－SVM 權值和閾值的在線遞推式求解，提高計算速度;其次基于在線學習算法，建立磁軸承轉子位移預測模型，該模型利用輸入等效懸浮控制電流和等效磁鏈，實現轉子位移的在線實時預測，仿真結果驗證了算法的有效性。

1 在線遞推最小二乘支持向量機

LS－SVM 算法是標準SVM 的一種改進，計算效率已經有了較大提升，但依然難以滿足在線預測要求。這是因為在線學習樣本是時間序列，不是批處理方式提供，每次引入新樣本都需要從第一個樣本開始重新學習，學習效率隨著樣本數目增多會急劇下降;同時引入在線學習后，LS－SVM 求解的線性方程組是時變的，需要不斷地進行矩陣求逆運算，計算耗時較長。考慮到磁軸承系統的實際運行情況，在現有LS－SVM 基礎上，進一步結合樣本窗式更新和遞推計算思想對其進行改進。設定在線學習樣本窗的寬度固定為L，每進來一個最新樣本，同時就丟掉一個最舊樣本，使學習樣本隨時間t 不斷更新而不是遞增。這樣既可以有效利用最新的樣本集反映系統實時動態性能，又可以解決樣本過大影響在線學習速度的問題。

假設t 時刻采樣得到的輸入輸出樣本集為{X(t)，Y(t)}，X(t)=［xt－L+1，…，xt－1，xt］，Y(t)=［Yt－L+1，…，Yt－1，Yt］，xt∈Rn為n 維輸入向量，Yt∈R 為一維輸出向量。在線LS－SVM 回歸約束優化如下:

式中:k=0，1，…，L－1;φ(·)是從輸入空間到特征空間的非線性映射;w 為權向量;bt為t 時刻偏置量;γ 為正則化參數;ek為松弛變量。

由式(1)定義拉格朗日函數如下:式中:αt+k為t 時刻拉格朗日乘子。由KKT［9］優化條件，對式(2)求偏導數，并消去ek和w，得到如下線性方程組:

式中:1 =［1，…，1］T;I 為單位矩陣;α(t)=［αt－L+1，…，αt］T;Y(t)=［Yt+L－1，…，Yt］T;Kt為t 時刻核函數矩陣，元素Kt(i，j)=K(xt－i，xt－j)=φ(xt－i)Tφ(xt－j)，i，j=0，1，…，L－1。采用高斯徑向基函數為核函數，表達式:

式中:σ 為核參數，反映邊界封閉包含的半徑。

設Pt=Kt+γ－1I，解式(3)線性方程組，可得:

這樣在輸入X(t)下的在線辨識模型:

由式(5)和式(6)可知，α(t)和bt求解涉及復雜的矩陣求逆運算，采用傳統最小二乘法直接求逆運算量大，不利于在線學習，為此引入遞推最小二乘算法。假設t 時刻有:θ=［bt，α(t)］T=［bt，αt－L+1，…，αt］T，Hk=［1，K(xt－L+1，xk)，…，K(xt，xk)］T，k=t－L+1，t－L+2，…，t。

設測試樣本窗寬度亦為L，則采用遞推最小二乘算法在線訓練LS－SVM 步驟如下:

(1)初始化θ(0)=0，S(0)=δ－1I，δ 取小的正常數10－6，0 為零向量，I 為單位矩陣。

(2)取k =t－L +1，t－L +2，…，t。逐步刷新θ，即:

式中:Si為協方差矩陣;Mi為增益向量;θi為待辨識參數向量;λ 稱為遺忘因子，其目的是減小舊數據的影響，增加新數據的作用，通常取0.95≤λ≤0.98，本文選取λ=0.98。

(3)若i≤t，返回步驟(2);否則，刷新完畢。

2 基于在線遞推LS-SVM 轉子位移預測

2.1 轉子位移預測模型

LS－SVM 實現高度復雜的非線性映射，具有較快的運算速度，同時在線學習機制使得LS－SVM 具有自適應能力，能夠隨時間的變化而在線進化，可實現轉子位移的在線預測。圖1 給出了在線遞推LS－SVM 建立磁軸承位移預測模型結構。輸入為等效控制電流(ix，iy)和等效磁鏈(ψx，ψy)，輸出為轉子徑向位移(x，y)，為簡潔起見，此處圖1 以位移x的預測為例作介紹。圖1 中數據處理包含采樣保持和窗式滾動兩個步驟，其中采樣保持的作用是通過對數據的采集、儲存和延遲等操作;窗式滾動更新是數據緩沖區，將數據按時間順序添加到時間窗內，轉化為帶時間特征的樣本序列，并使樣本集隨時間不斷滾動更新，以供模型在線學習使用。這樣經過采樣保持后得到的學習樣本集，經過窗式滾動更新后，得到當前時刻最新的在線學習樣本集，然后基于模型輸出值與實際期望值之差，通過遞推最小二乘算法(RLS)在線調整LS－SVM 模型參數，從而保證在t 時刻樣本集的輸入下，位移預測值與對象實際輸出值匹配。

圖1 基于在線遞推LS－SVM 的轉子位移預測模型結構

2.2 轉子位移在線預測

運用在線遞推LS－SVM 在線預測磁軸承轉子位移主要包括以下幾個步驟:

1)確定輸入和輸出變量。輸入變量為磁軸承等效懸浮控制電流(ix，iy)和等效磁鏈(ψx，ψy)，輸出變量為磁軸承轉子徑向兩自由度位移x 和y。其中輸入等效電流(ix，iy)可由三相交流電流iA，iB，iC經過C3/2變換得到:

而三相電流可有電流傳感器直接采集得到，而等效磁鏈無法直接檢測得到，但可通過直接檢測得到的電壓、電流而間接得到磁鏈:

式中:u 為放大器的端電壓;i 為繞組電流;r 為繞組等效電阻;ψ 為繞組磁鏈。

2)獲取學習樣本集。采集繞組電流、端電壓和轉子位移數據，通過C3/2變換和式(10)分別得到等效電流和等效磁鏈數據，并對實際數據進行采樣保持和窗式滾動更新，將處理后時間長度為L 的電流、磁鏈和位移數據作為學習樣本集。

3)選擇RBF 型核函數的核寬度σ 以及處罰因子γ。為了提高LS－SVM 的預測能力，避免人為選擇參數的盲目性，本文利用粒子群優化算法［10］對參數(σ，γ)進行自動尋優。

4)利用遞推最小二乘法訓練兩個LS－SVM 模型，獲得相應參數θ1= (，α1(t))和θ2= (，α2(t))，從而根據當前的輸入X(t)，預測模型在線預測出轉子的位移x 和y。

隨著我國經濟以及社會的快速發展，我國迅速進入數字化時代，此時信息發現、信息分析整合、信息管理以及信息創新應用都發生了很大的改變。在此背景下，如何加強我國黨校圖書館的信息整合建設，受到了我國黨和政府的高度重視。習近平總書記曾指出：我國的黨校圖書館信息整合建設應重點從提高信息質量、推動信息創新方面下手。加強黨校圖書館為黨政部門決策所提供的的信息資源和服務，實現我國黨政建設的健康發展。

5)利用測試樣本集檢驗預測精度是否達到目標要求，符合要求，則預測結果有效，轉步驟6);否則轉步驟4)。評價模型采用均方根誤差:

6)采集t+1 時刻電流和位移數據，剔除t－L+1 時刻的數據，采集t+1 時刻的期望位移，并將計算結果加入期望數據集，令t= t+1，轉至步驟4)。

2.3 基于在線遞推LS－SVM 的轉子位移預測控制

以一臺三相交流主動磁軸承為例，介紹在線遞推LS－SVM 轉子位移預測控制算法。圖2 給出了三相交流主動磁軸承結構示意圖。由圖2 可見，三個U 型電磁鐵沿圓周120°均勻分布，I0為偏置繞組中的直流電流，提供靜態偏置磁通;iA，iB，iC為三相交流電流［4］。

圖2 三相交流主動磁軸承結構示意圖

忽略3 個磁極間的磁路耦合、漏磁、鐵心磁阻、轉子磁阻及渦流損耗等，根據磁路等效法，可得磁軸承懸浮力計算公式:

式中:I0為偏置繞組直流電流;S 為磁極截面積;δ0為磁極下氣隙長度;μ0為空氣的磁導率。

根據三相交流主動磁軸承的懸浮力模型，結合在線梯度LS－SVM 位移預測原理，構建如圖3 所示的磁軸承轉子位移預測控制框圖。圖3 中，三相繞組電流和電壓由傳感器直接檢測得到，等效電流和等效磁鏈(ix，iy，ψx，ψy)經過C3/2和式(10)得到，通過數據處理模塊形成在線窗式學習數據，LS－SVM模塊根據輸入樣本集，得到轉子位移預測值和，與參考值x*和y*進行比較，經PID 調節器和力/電流轉換模塊得到兩相等效電流指令，經過C2/3變換得到三相電流的指令值，，再經過逆變器控制產生三相電流實際值iA，iB，iC，控制磁軸承轉子懸浮。

3 仿真分析研究

根據本文提出的轉子位移預測方法，在圖2 控制框圖基礎上進行仿真驗證。仿真所用磁軸承樣機參數如表1 所示，轉子初始位移為x=y =－0.2 mm。

表1 磁軸承模型參數

圖4 是空載起浮時轉子在徑向位移x 和y 的實際值和預測值對比曲線。從圖4(a)的轉子徑向位移曲線可以看出，基于在線遞推LS－SVM 的轉子預測位移能夠準確、快速地跟蹤轉子實際位移，并最終穩定懸浮在平衡位置處。從圖4(b)的位移誤差曲線可以進一步看出，預測誤差分布具有如下特點:①轉子穩定懸浮階段預測誤差小于起浮階段的預測誤差，主要是因為:轉子在穩定懸浮階段基本無徑向位移，而在起浮階段徑向位移波動較大，使得在線算法的回歸計算時間較長，從而導致了預測位移滯后于實際位移;②對于同一預測位移，在較為平滑的上升或下降段預測精度較高，而在曲線拐點處的預測誤差較大，這主要是由于在拐點處曲線趨勢發生變化，導致算法的預測精度有所下降。③位移最大預測誤差為28 μm，遠小于氣隙長度0.5 mm。因此所述在線遞推LS－SVM 具備較高的預測精度。

圖4 位移實際值與預測值

為進一步驗證在線遞推LS－SVM 位移預測算法的優越性，將其與傳統離線LS－SVM 位移預測算法進行對比研究。對比研究中，在轉子穩定懸浮時對徑向兩自由度施加沖擊負載，觀察兩種算法下轉子位移響應情況。圖5 和圖6 分別給出了x 方向沖擊負載和y 方向沖擊負載作用下兩種算法的位移響應波形。

圖6 y 方向沖擊負載仿真波形

從圖5 和圖6 可以看出，對兩個自由度施加沖擊負載后，在兩種預測算法控制下，磁軸承轉子在經過一個單邊抖動后都能回到平衡位置，這表明了離線LS－SVM 和在線遞推LS－SVM 的位移預測控制均能實現轉子穩定懸浮運行。這體現了LS－SVM預測控制算法的有效性。同時，進一步比較圖5(a)、圖5(b)以及比較圖6(a)、圖6(b)可以看出，當沖擊負載消失以后，在線遞推LS－SVM 算法作用下轉子徑向波動幅值明顯小于離線LS－SVM 算法下的轉子波動幅值，這說明在線遞推LS－SVM 預測算法采用在線學習后，使其對對象變化具備更強的適應能力，因而所提在線遞推LS－SVM 預測算法具有更強的適應性。

4 結 語

本文采用在線遞推LS－SVM 進行磁軸承轉子位移在線預測研究，理論分析與仿真結果表明:

1)利用樣本窗式更新和遞推最小二乘法實現在線遞推LS－SVM 算法，提高了計算速度，使其滿足在線學習的要求;

2)基于在線遞推LS－SVM 預測模型能夠較好地映射出等效電流、磁鏈與轉子位移的實際動態關系，具備較高的預測精度和自適應能力;

3)在線遞推LS－SVM 的磁軸承轉子位移預測控制方案，避免了位移傳感器的不利影響，簡化了懸浮控制系統的結構，提高了系統的可靠性。

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