磁橋式磁通切換型混合勵磁電機電感特性分析與建模

許澤剛，謝少軍

(1.常州工學院，常州213002;2.南京航空航天大學，南京210016)

0 引 言

磁通切換型混合勵磁電機［1－2］(以下簡稱FSHM)繼承了永磁磁通切換電機的諸多優點，如轉子上既無永磁體，也無繞組，機械強度高;永磁體切向安置于定子側，易于散熱和冷卻，適合高速運行;聚磁效應和定子磁鏈雙極性，有助于提升功率密度。通過引入輔助電勵磁繞組，有效拓寬了永磁電機氣隙磁場調節范圍，在風力發電、航空航天和電動汽車等領域具有潛在的應用前景。

依據是否存在連接“C”型分瓣定子的鐵心磁橋，可將FSHM 分為有磁橋［1，4，6］和無磁橋［2，3，5］兩種單元結構。無導磁磁橋FSHM 具有永磁體利用率高的特點，而導磁磁橋為電勵磁繞組提供了額外的并聯磁分路，有助于以較小的勵磁磁動勢獲得較大的調磁范圍。

電感是反映電機靜態特性的重要參數，也是建立FSHM 模型的難點和關鍵所在。文獻［7］基于有限元法研究了無橋式FSHM 的電樞繞組電感、勵磁繞組電感以及勵磁繞組與電樞繞組之間的互感，鑒于電勵磁磁路及電樞反應磁路經由永磁體頂部的空氣磁通管閉合，因此，勵磁電流及電樞電流對電感的影響相對較小。磁橋式FSHM 為兼顧永磁體利用率和電勵磁調磁范圍，鐵心磁橋初始磁密(永磁磁動勢單獨作用)宜設置在鐵心磁化曲線拐點的附近［8］，鐵心磁橋段飽和程度的變化給電感參數的計算增加了不確定因素。

多域系統仿真軟件提供了電機本體有限元模型與外電路模型的場路耦合仿真分析功能，可較為精確地研究系統性能［9－10］，但計算和存儲代價相對較高，因此希望通過全系統聯合仿真實現控制系統的參數整定，進而優化系統設計存在較大難度。

圖1 三相12/10 極FSHM 電機剖面圖

針對上述問題，本文以如圖1所示的三相12/10極磁橋式FSHM 為例，首先建立定子坐標系下的時變電感電機模型和旋轉坐標系下的交直軸電感電機模型，通過二維有限元分析得到電感隨勵磁電流和電樞電流變化的規律，接著利用適當的曲面擬合技術生成便于計算機快速執行的電感曲面方程。最后通過時變電感經坐標變換得到交直軸電感與旋轉坐標系下的分析結果對照，以及電機外特性的仿真與實驗研究，驗證了磁橋式FSHM 電感分析與建模的正確性。

1 電機的數學模型

Hoang 提出永磁磁通切換電機時就將它歸為永磁同步電機［11］，FSHM 雖然增加了輔助電勵磁繞組，但磁鏈仍具有良好的正弦度［8］，因此可按正弦波電機的分析方法建立相應的數學模型。在描述和研究磁通切換電機過程中，頻繁用到的是三相靜止坐標系和dq 旋轉坐標系。

1.1 三相靜止坐標系下的電壓方程

假設各相電樞繞組電阻值相等，同時忽略導體的集膚效應和溫度效應，三相靜止坐標系下的電壓方程可表示:

式中:Rs，Rf分別為電樞繞組與勵磁繞組的電阻;Ljj為各繞組的自感，Ljk為各繞組間的互感;uj和ij分別為各繞組的端電壓及電流(j= a，b，c，f;k = a，b，c，f);繞組間的互感系數是可逆的，即Lab=Lba，Laf=Lfa;p 為微分算子d/dt;θe和ωe分別為轉子位置電角度、轉子電角速度。

1.2 dq 旋轉坐標系下的電壓方程

如采用坐標變換前后功率守恒的變換矩陣:

并忽略系統的不對稱性以及電壓、電流的零序分量，三相FSHM 在兩相旋轉坐標系下的電壓方程可以表示為:

式中:Ld，Lq分別為電樞繞組的交直軸電感;ψm0和Lev分別為永磁空載磁鏈的基波幅值，相繞組與勵磁繞組間互感的基波幅值。

2 三相靜止坐標系下的電感特性與建模

2.1 時變電感的計算模型

以A 相為例，在電樞繞組中注入電流Ia，采用磁鏈法的電樞繞組自感Laa計算模型為:

式中:Nph為每相電樞繞組線圈匝數，Φa(HM，Ia=0)和Φa(HM，Ia)分別為相繞組的空載磁通，電樞磁場與永磁、電勵磁磁動勢共同作用下的合成磁通。

同理，與勵磁電流If對應的電勵磁繞組自感Lff，由A 相電樞電流產生的A 相與B 相電樞繞組之間的互感Lba，以及A 相電樞繞組與勵磁繞組之間的互感Lfa可分別表示:

式中:Nf為電勵磁繞組線圈匝數，Φaf(PM，If=0)和Φaf(HM，If)分別代表空載條件下勵磁電流If作用前后的永磁磁通以及混合勵磁磁通;Φab(HM，Ia=0)，Φab(HM，Ia)和Φaf(HM，Ia=0)，Φaf(HM，Ia)分別表示相電流Ia作用前后，B 相繞組中的空載磁通與合成磁通，以及勵磁繞組中的空載磁通與合成磁通。

2.2 時變電感參數的計算與分析

永磁磁動勢單獨作用與額定勵磁(If= ±5 A)工作狀態下的空載電感曲線頻譜分析結果如表1 所示。需要說明的是，為便于建模分析，表1 僅給出了對總諧波含量影響較大的最低次諧波分量。由表1可以看出，相繞組自感曲線與其互感曲線的2 倍頻分量大小接近，與理想同步電機特征吻合;相繞組與勵磁繞組間互感保持了良好的正弦度，表現為最低次諧波與基波分量幅值比均不超過2%。

表1 自感與互感的頻譜分析結果

Spline 插值法既保留了分段(低次)多項式插值的各種優點，又具有較高的預測精度［12］。圖2 給出了正負額定勵磁電流范圍內，采用靜態場分析得到的If(勵磁電流)－Lev(Laf曲線基波幅值)樣本數據，以及利用Spline 插值法得到的擬合曲線。在對步長為1 A 的勵磁電流掃描結果進行Spline 插值時，If=4.5 A 附近出現了拐點，后經補充靜態仿真數據驗證了Spline 插值法預測趨勢的正確性，體現了該方法對研究的指導價值。

圖2 Lev與勵磁電流關系曲線

插值精度與計算時間是一對矛盾，為保證電感函數的連續性，采用高階多項式對Spline 輸出數據進行擬合。鑒于Lev曲線的擬合精度是影響發電機空載反電動勢、外特性仿真結果正確性的關鍵因素，同時為便于快速仿真，搜索發現8 次多項式的最大相對誤差可接近3%，對應的擬合表達式:

為驗證基于空載狀態時變電感搭建的電機建模的合理性，表2 給出了上述磁橋式FSHM 在1 200 r/min，負載采用星型連接方式，分別基于式(1)所建的MATLAB 仿真模型與二維瞬態場分析得到的負載端電壓。表2 顯示，永磁磁動勢單獨作用與額定去磁工作狀態(If=－5 A)下兩種計算方法得到的結果基本吻合，以額定電流附近的工作點(表中以粗體示出)為例，相對誤差分別僅有2. 67%和2.02%;而額定增磁工作狀態(If=5 A)下的計算結果明顯高于有限元仿真數據，相對誤差高達11.86%，并且隨負載的增加有進一步擴大的趨勢。究其原因，當勵磁電流較小時，磁橋段處于準飽和或深度飽和狀態，因此電樞反應效果不明顯;隨著勵磁電流的增加，磁橋段飽和程度不斷較低，電樞反應去磁效果逐漸顯現并導致電感值上升，由此忽略相電流對電感影響得到的負載端電壓明顯偏高。

表2 時變電感建模與瞬態場計算結果對比

3 dq 旋轉坐標系下的電感特性

3.1 轉子坐標系下的電感計算

按照直軸電感Ld定義，依據d 軸磁動勢單獨作用下的d 軸磁鏈ψd與d 軸電流id計算求得;同理，按照交軸電感Lq定義，依據q 軸磁動勢單獨作用下的q 軸磁鏈ψq與q 軸電流iq計算求得［13］。直、交軸電感的計算公式:

式中:ψd(HM，id=0)和ψd(HM，id)分別代表id作用前后d 軸的空載磁鏈以及合成磁鏈;ψq(HM，iq)代表永磁體與iq共同作用產生的q 軸合成磁鏈。

將轉子旋轉到d 軸軸線與A 相磁鏈最大位置相重合(對應θe=0°)，在相繞組中施加ia=Im，ib=ic=－Im/2，其中Im為相電流峰值。把θe=0°代入式(2)，可得:

可見，θe=0°位置只有直軸電流存在，而交軸電流為零的。此時，直軸磁鏈:

式中:三相磁鏈ψa，ψb，ψc可由靜磁場求得。分別計算直軸電流作用前后的ψd(HM，id=0)和ψd(HM，id)，再結合式(13)即可得Ld。交軸電感的求解過程與此類似，只需將轉子位置順時針旋轉機械角度9°(對應θe=－90°)。

3.2 直軸電感的分析與計算

為定性分析直軸電感Ld隨勵磁電流If和直軸電流Id變化的規律，圖3 分別給出了直軸電感求取位置(即A 相磁鏈最大位置)，直軸電流單獨作用、以及混合勵磁去磁、永磁磁動勢單獨作用、混合勵磁增磁工作狀態下的空載磁場分布圖。

圖4 直軸電感的三維曲面

圖3 直軸電感求取位置磁力線分布圖

3.3 交軸電感的分析與計算

由圖5(a)的交軸電流單獨作用的磁力線分布圖可知，交軸電流磁力線通路中，以虛線圈出的兩處磁橋段磁力線密集，對空載電磁場影響的也更為突出。對照圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)發現，以虛線圈出的對應磁橋段磁力線也呈密集分布，由此Iq對Lq的影響可忽略不計。

混合勵磁去磁(見圖3(b))與永磁磁動勢單獨作用(見圖3(c))模式中，以點劃線圈出的區域內磁力線密集，導磁磁橋處于磁化曲線準飽和或深度飽和區(呈現高磁阻狀態)，因此，Id對Ld的影響并不明顯。同時，去磁工作狀態磁橋部分磁力線密度高于初始值，相應Ld值更小。

若電樞繞組中通入如圖3(a)所示極性的Id(對應Id正方向)，將導致以虛線圈出的圖3(d)定轉子齒端飽和程度降低，單就這點而言，有助于提升Ld;另一方面，因額定增磁工作模式下的磁橋段飽和程度相對較低，并且上述兩圖中點劃線圈出區域磁通方向相反，電樞反應促使磁橋段飽和程度上升，導致Ld降低。如改變Id極性，則定轉子齒端與磁橋段飽和程度的變化趨勢互換。這意味著，混合勵磁增磁工作模式下，Id對Ld的綜合影響效果取決于各鐵心單元的空載磁密及施加的直軸電流，存在不確定性。

分別改變If(－5 A≤If≤5 A)和Id(－6 A≤Id≤6 A)，其中，直軸電流掃描范圍對應1.5 倍峰值電樞電流，得到如圖4 所示的直軸電感三維非線性曲面。圖4 顯示，當If≤1 A 時，直軸電感隨勵磁電流的增加呈單調上升趨勢，空間網格接近矩形分布，體現出直軸電感對直軸電流的變化不敏感;而當If＞1 A 時曲面形狀不規整，并且曲面變化趨勢與基于磁力線分布圖得到的分析結果一致。

接著分析交軸電感Lq與勵磁電流If變化的規律。隨著電勵磁電流的增加，經由定子磁橋段自閉合曲線的磁力線數量不斷減少，而經由永磁體和氣隙構成磁力線回路的數量則不斷增加。由于硅鋼片磁導率大于空氣磁導率，因此磁橋段磁力線密度總體呈下降趨勢，表現為Lq隨If的增加而增加。

同理，分別改變If(－5 A≤If≤5 A)和Iq(－6 A≤Id≤6 A)，圖6 給出了不同工況下交軸電感的三維非線性曲面。圖6 中空間網格接近矩形分布所體現的Lq對Iq變化不敏感，以及三維曲面隨勵磁電流增加而單調上升的特性和磁力線分布圖得到的分析結果一致。

3.4 交直軸電感擬合

為評估相同勵磁電流作用下，交直軸電流變化對交直軸電感值的影響效果，定義波動范圍:

式中:MAX，MEAN 分別為最大值函數和平均值函數;n 為反映交直軸電流變化的樣本數據量。

圖7(a)給出了各勵磁電流下的交軸電感波動范圍，Lq的最大波動系數約為5.7%，因此，Lq可視作僅與If存在關聯。進一步采用與Lev－If曲線相同的擬合方法，搜索發現選用四次多項式對不同勵磁電流下的交軸電感平均值進行擬合，最大相對誤差即可控制在3%以內。交軸電感曲面擬合表達式:

圖7(b)顯示Ld的最大波動系數高達62%，需要采用適當的曲面擬合技術生成便于計算機快速執行的曲面方程。基于最小二乘法擬合曲線方法改進并推廣至三維空間擬合曲面的雙三次多項式，具有較高的逼近精度［14－15］。在二維曲線擬合中，為避免高次多項式擬合過程中可能出現的龍格現象，已有不少學者嘗試采用分段擬合方法［16－17］。本文通過分析電感波動范圍確定合適的分段節點，并利用二維曲線與雙三次多項式相結合的方法來實現直軸電感的三維非線性曲面的擬合。

圖7 交直軸電感波動范圍

當If≤1 A 時，直軸電感Ld的最大波動系數約為5.1%，可忽略Id對Ld的影響，由此確定If=1 A為分段節點。與此對應的直軸電感曲面擬合表達式:

4 仿真與實驗驗證

4.1 交直軸電感仿真驗證

圖8 和圖9 比較了三種工況下分別采用三相電感矩陣L(a，b，c)經坐標變換得到的交直軸電感，以及三維空間散亂數據點經曲面方程擬合得到的交直軸電感。對比結果顯示，不論是永磁磁動勢單獨作用、混合勵磁去磁，或是混合勵磁增磁工作模式，兩種方法得到的計算都比較接近，驗證了曲面擬合方程具有較高的逼近精度，為電機建模創造了條件。

4.2 負載端電壓仿真研究與實驗驗證

通過對FSHM 負載特性的仿真與研究，來驗證三維電感曲線擬合方法的合理性以及電機模型的準確性。電流檢測采用25 A 磁平衡霍爾電流傳感器(匝數比5∶ 1 000)，采樣電阻取為75 Ω，示波器探頭選擇×10 檔，相當于將電樞電流放大至3.75 倍。在同一臺計算機上運行二維有限元瞬態場求解器與Simulink 仿真模型，求解步長均設為20 μs，同計算一個電周期，前者約需30 min，后者僅需0.2 s。圖10 給出了轉速為1 200 r/min，星型連接電阻為60 Ω，三種勵磁模式下的單相負載實測波形與仿真結果，對比結果顯示相電壓和相電流波形均近似正弦波，幅值和頻率與仿真數據相一致，表明依據交直軸電感建立的轉子坐標下的Simulink 模型可以較為準確地反映電機的輸出特性，并且大幅度降低電機特性分析的計算成本。

圖10 負載端電壓實驗與仿真波形比較

5 結 語

在建立三相靜止坐標系下磁鏈和電壓方程的基礎上，采用磁鏈法計算了時變電感。分析了鐵心磁橋飽和程度與電感參數的關系，指出磁橋式FSHM不能忽略電樞反應，相應由三相電感矩陣經坐標變換得到交直軸電感的方法存在較大難度。在對勵磁電流和交直軸電流分別掃描的基礎上，針對交直軸電感的非線性特點，依據電感曲線對電樞反應敏感性的差異，采用二維擬合與雙三次多項式擬合相結合的方法構造了電感與多重激勵電流的曲面方程，并據此搭建了Simulink 仿真模型。與有限元瞬態場仿真結果、實測波形對比顯示，所建曲面方程描述的三維電感具有較高的逼近精度;基于該電感曲面方程建立的電機仿真模型可較好地反映磁橋式FSHM的實際工作特性，并具有運行速度快、準確度高的特點。

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