基于人工蜂群的電機分數階速度控制器的設計

黃梁松，李玉霞，張志獻，朱蘇寧

(山東科技大學，青島266590)

0 引 言

傳統PID 控制器由于其自身的局限性，在一些諸如需要快速響應、高精度軌跡跟蹤的應用場合，或含有強非線性、大時滯等特征的控制系統中不能很好地滿足應用需求。為此，一些學者開始在傳統PID 控制器中引入過程更柔和細膩的分數階微積分項來代替整數階微積分項，形成了分數階PID 控制器。從1993 年Oustaloup 首次提出的CRONE 控制器［1］到1999 年Podlubny 提出的PIλDμ控制器［2］，分數階PID 控制器在短短幾年時間內便形成了較為完善的結構形式。分數階控制器增加了微積分階次參數λ 和μ，對控制過程的描述更為精確，且在一定范圍內對參數變化不敏感，其穩定性、動態特性和魯棒性相比于傳統PID 控制器具有較大的優勢［2］。然而，參數的增加在給控制器帶來更佳性能和靈活性的同時，也給控制器參數的整定帶來了難度。對于分數階PID 控制器，目前比較常用的參數整定方法是在穩定性裕度整定的基礎上增加增益魯棒條件，或靈敏度和互補靈敏度函數等約束條件，構建以參數為自變量的規范約束方程組，并通過求解方程組來得到最優參數值［3－5］。但是這些方程組都是非線性超越方程組，采用傳統方法無法求解，這也是分數階控制器設計的難點之一。

人工蜂群算法是由土耳其學者提出的一種基于蜜蜂覓食行為的群智能優化算法［6］。與蟻群算法、粒子群算法等其他智能算法相比，人工蜂群不僅參數少，魯棒性強，易于實現，而且在每次迭代過程中都會進行全局和局部搜索，增加了找到最優解的概率，并在一定程度上避免了陷入局部最優的可能［7－9］。對于分數階PID 控制器參數的整定，可以采用人工蜂群算法對規范約束方程組的解進行尋優，并確定一組最優解，通過這種方式可極大簡化分數階控制器設計的復雜性，提高其實用性和易用性。但標準的人工蜂群算法也存在不足，主要表現在收斂速度慢、缺乏局部精細搜索能力、計算精度不高等問題，其算法還有很大的改進空間。

對于諸如數控機床、工業機器人等需要快速響應、高精度軌跡跟蹤性能的伺服控制系統，速度環的設計是體現其運動性能的關鍵。目前商業化的伺服電機速度控制器標準以PI 控制為主，控制性能鮮有提升空間，如何設計高性能的速度控制器也是目前許多伺服系統生產商研發的重點內容之一。本文提出了一種伺服電機速度控制器的設計方法，該方法采用分數階PIλ控制器，利用人工蜂群算法進行參數整定，充分發揮分數階控制器的優異性能和人工蜂群算法的求解復雜方程的能力，具有較好的實用性。

1 分數階速度控制器

1.1 控制對象及控制器數學模型

對于采用磁場定向矢量控制的交流伺服電機控制系統，電流環一般采用控制周期為20 ～50 μs 的PI 控制器。為方便設計，本文首先需要建立一個簡化的伺服電機控制系統電流環數學模型，該模型表達式:

式中:Kc是電流閉環系統的等效增益;T 是電流閉環系統等效的慣性環節時間常數。因為Kc可以在不影響系統增益的情況下轉移到速度控制器的比例環節中，因此式(1)可改寫:

速度控制器采用PIλ控制器，其傳遞函數如下所示:

式中:Kp和Ki分別為控制器的比例項系數和積分項系數;λ 為積分項指數，取值范圍為［0 ～1］。

1.2 參數整定方案

根據控制系統的頻率特性，利用幅值裕度、相角裕度和增益變化魯棒性等頻率性能指標構建分數階控制器的規范約束方程［10］，性能指標如下:

(1)幅值裕度

(2)相角裕度

(3)增益變化魯棒性

式中:C(jωc)，P(jωc)和G(jωc)分別為控制器傳函、控制對象傳函和系統開環傳函，ωc為截止頻率。

將S=jω 帶入式(3)中，PIλ控制器的傳遞函數

可以改寫:

其相位和幅值分別表示:

同理，式(2)中簡化的電流閉環系統傳函的相位和幅值分別:

伺服電機速度控制系統的開環傳函可表示:

其中C(s)和P(s)分別為速度控制器和簡化電流閉環系統的傳函。聯立式(4)，式(5)，式(7)和式(12)，可得到其開環傳函的幅值和相位表達式分別:

將式(14)代入式(6)可得:

式(13)～式(15)組成了包含分數階PIλ控制器3 個未知參數Kp，Ki和λ 的非線性超越方程組，該方程組無法采用傳統方式求解，因此，本文引入人工蜂群智能算法解決方程組的求解問題。

2 改進的人工蜂群算法

2.1 改進的搜索策略

標準的人工蜂群算法的搜索策略更適合全局搜索，而不擅長局部開發［11］，導致收斂速度和精度有待提高，為了提高蜂群的局部開發能力，并避免陷入局部最優，本文提出了一種優化搜索區域并增加最優位置引導的搜索算法，表示式如下:

式中:m 為求解問題的維數，即蜜源位置的維數，由于分數階PIλ控制器包含3 個未知量，因此其取值范圍為m∈ {1 ，2，3 };i 表示蜜源的編號，取值范圍為i∈{1 ，2，…，N };ymi 表示搜索到的新蜜源的第m維分量;xmi 表示當前蜜源i 的第m 維分量表示優化的搜索區域中蜜源j 的第m 維分量;為當前適應度值最高的蜜源的第m 維分量;φ 為取值范圍［0，1］的實數;μ 為取值范圍［0，C］的實數，其中C 為正常數。

由式(16)可知，與標準的人工蜂群算法的搜索策略相比，該搜索策略中引領蜂和跟隨蜂不再在全局范圍內隨機挑選一個蜜源進行搜索，而是在某一優化的區域region 內進行搜索，該優化區域內的蜜源與適應度值最高的蜜源的空間距離均大于平均距離，區域region 的確定方法如下:

設蜜源i 的位置矢量為(ix，iy，iz)，適應度值最高的蜜源的位置矢量為(Bx，By，Bz)，兩者的空間距離li:

求取所有蜜源與適應度值最高的蜜源的空間距離l1，l2，…，lN，計算平均距離Ml:

由此，如果li≤Ml，則蜜源i 屬于優化的搜索區域region，反之亦然。

2.2 參數的取值范圍

利用人工蜂群算法進行尋優的關鍵問題之一是確定各個待求量的取值范圍，即需要提前確定蜂群尋優的區間。

在分數階PIλ控制系統中，λ 是0 到1 之間的一個實數，因此其取值范圍為［0，1］。

根據式(12)可得伺服電機速度環分數階PIλ控制系統的傳遞函數如下:

其特征方程:

根據自動控制原理中的勞斯判據［12］，分別設λ=0和λ=1，可得到閉環系統的穩定條件如下:

由此可推出Ki的取值范圍:

因此Ki的取值范圍為［0，］。

設λ=0，式(19)可改寫:

根據上式可推得自然頻率ωn的表達式如下:

Kp可表示:

結合式(21)可推得Kp的取值范圍:

因此，Kp的取值范圍為［0，T］。

2.3 設置適應度函數

由式(13)，式(14)和式(15)，可定義目標函數:

本文采用標準的人工蜂群算法中的適應度值計算方法，如下:

3 仿真和實驗研究

為了驗證算法的可行性，本文分別進行了MATLAB 環境下的仿真研究和在交流直驅伺服控制系統實驗平臺上進行的實驗研究，實驗對象為美國Parker 公司的三相交流永磁同步無框力矩電機，其定子和轉子如圖1 所示。

圖1 力矩電機的定子與轉子

力矩電機的技術參數如表1 所示。

表1 力矩電機技術參數

3.1 最優參數值搜索

依照本文第2 節的內容搭建伺服電機分數階PIλ速度閉環控制系統模型，其中電流環采用式(2)中的簡化模型并根據電機參數設T =0.001 3，根據控制理論穩定性設計規則［12］，設系統的ωc=200 rad/s，ψ=45°。在人工蜂群算法中，設蜜源數N=10，參數limit 為100，搜索循環次數為5 000，參數C =1.5。為了驗證改進的人工蜂群算法在收斂速度和精度上的優勢，本文分別采用標準的人工蜂群算法和改進的人工蜂群算法求取未知量Kp，Ki和λ，其迭代曲線分別如圖2 ～圖4 所示。

圖2、圖3 和圖4 分別顯示了采用標準的人工蜂群和改進的人工蜂群尋優方程組3 個參數的迭代對比曲線，具體的迭代結果如表2 所示。

圖4 人工蜂群算法對λ 尋優的收斂曲線

表2 兩種人工蜂群算法的迭代結果對比

通過表2 中達到最優的循環次數可知，改進的人工蜂群算法的收斂速度明顯快于標準的人工蜂群算法。

3.2 仿真研究

在MATLAB 環境下搭建伺服電機分數階PIλ速度閉環控制系統模型，將兩個算法尋優的結果代入PIλ速度閉環仿真模型中，并與傳統PI 控制器一起進行速度階躍仿真實驗，給定值設為50 r/min，其仿真結果如圖5 和表3 所示。

圖5 三種算法的速度階躍響應曲線對比

表3 三種算法的仿真數據對比

3.3 實驗研究

在直驅電機伺服控制系統實驗平臺上進行幾種算法的對比實驗，實驗平臺如圖6 所示。

圖6 力矩電機伺服控制系統實驗平臺

采用磁粉制動器給直驅電機加載2 N·m，將兩個算法尋優的結果代入直驅電機伺服控制系統的PIλ速度控制器中，并與傳統PI 控制器一起進行速度階躍實驗，給定值設為50 r/min，采用LabVIEW的虛擬示波器顯示階躍響應波形，并選擇一個最優的傳統 控制的實驗結果進行顯示，其實驗結果分別如圖7 ～圖9 和表4 所示。

圖9 改進的人工蜂群算法尋優的PIλ 控制的階躍響應曲線

表4 三種算法的實驗數據對比

3.4 結果分析

通過表3 和表4 結果可知，采用分數階PIλ結合人工蜂群算法的控制方式比單純的PI 控制具有更優異的動態性能;同時，相比于標準的人工蜂群算法，改進的人工蜂群算法的尋優結果具有更好的動態性能。因此，分數階PIλ控制器采用改進的人工蜂群算法整定參數可提高整定精度，具有更好的控制效果。

實驗結果顯示，人工蜂群算法的仿真效果要好于實際實驗，這主要是由于人工蜂群尋優和仿真都依據簡化的電流環模型，而實際實驗的電流環模型與簡化的模型存在較大的偏差，尋優結果直接應用于實際實驗無法得到最優的結果。因此，下一步研究的重點是采用該方法進行實際應用時，如何采用更接近于實際系統的模型建立方程組并進行參數尋優，以提高其實用性。

4 結 語

本文提出了一種針對伺服系統的分數階PIλ速度控制器的設計，針對分數階控制器參數整定困難的問題，本文在建立伺服系統分數階PIλ速度控制器模型和參數整定策略的基礎上引入人工蜂群智能算法求解非線性超越方程組，并根據標準的人工蜂群算法的不足，提出了一種優化搜索區域并增加最優位置引導的搜索算法，增強了蜂群的局部開發能力，提高了人工蜂群算法的收斂速度和精度。仿真和實際實驗驗證了該方法的可行性，該方法對于分數階控制器的應用具有較好的參考價值。

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