基于S 函數的無刷直流電動機系統建模仿真的研究

李國順，姜久超，張長勇，孫士尉

(1.河北工程技術高等專科學校，滄州061001;2.中國民航大學，天津300300)

0 引 言

無刷直流電動機(以下簡稱BLDCM)具有結構簡單、出力大和效率高等特點，已在國防、航空航天、機器人、精密機床、汽車電子等領域有較好的應用，為了便于理論分析，建立正確的無刷直流電機模型就顯得非常重要。目前，針對無刷電機建模仿真研究依賴于MATLAB SIMULINK 庫內封裝模塊，靈活性不高，可測數據量有限，如相電壓、中性點電壓均未能進行直接觀測。本文通過采用SIMULINK 的S函數建立電機本體和驅動單元，實現多輸出觀測功能，便于進一步開展控制策略和算法的研究。

1 BLDCM 的數學模型

本文的研究對象是三相定子繞組，星形連接，驅動電路為全橋式120°兩相導通方式(又稱三相六狀態導通方式［4］)的BLDCM，其轉子結構為隱極表貼式結構。為突出研究重點，簡化分析過程，進行如下假設［1］:

(1)認為電機三相定子繞組對稱，自感相等，繞組間互感相等，且都為常數;

(2)不考慮定子齒槽效應和電樞反應對氣隙磁場的影響，并認為氣隙磁場是梯形波;

(3)不考慮電機鐵心存在飽和現象，忽略磁滯和渦流產生的損耗對電機性能的影響。

1.1 BLDCM 的電流狀態方程

由上述假設以及電機學理論可知，該定子繞組的電流狀態方程［1］可表示:

式中:uAG，uBG，uCG為三相定子端電壓電壓;eA，eB，eC為三相定子的反電動勢;iA，iB，ic為三相定子相電流;L，M 分別為定子繞組自感、互感;R 為定子繞組的相電阻;un為中性點電壓。

根據上述方程得BLDCM 等效電路，如圖1 所示。

圖1 BLDCM 等效電路

1.2 電磁轉矩方程和運動狀態方程

BLDCM 的電磁轉矩和運動方程［1］可表示:

式中:Ω 為BLDCM 的機械角速度;TL為BLDCM 的負載轉矩;J 為轉子轉動慣量;BV為黏滯摩擦系數。

至此，式(1)～式(3)共同構成了BLDCM 的微分方程數學模型。

2 驅動電路的數學模型

BLDCM 驅動電路如圖2 所示。圖中VT1 ～VT6為MOSFET 開關管，VD1 ～VD6 為續流二極管，電阻RC與電容C 構成保護MOSFET 管用緩沖電路。

圖2 BLDCM 驅動電路

對于兩兩導通星形連接的三相六狀態BLDCM而言，采用120°導通方式，任意時刻只有兩相導通，而每個橋臂又至多有1 個開關管導通。推導驅動電路的數學模型時，只要將一個單橋臂的工作過程用數學方程描述出來即可。

首先，建立開關管的等效模型，如圖3 所示，開關管用理想開關VT 和導通電阻Ron串聯等效;續流二極管用導通壓降的理想二極管VD 和電阻Rd串聯等效。

圖3 開關管等效模型

然后，以單橋臂VT1 和VT4 為例，不同開關(G1，G4)條件下的電路模型如圖4 ～圖9 所示。圖4 ～圖7 為上下橋臂都截止的情況，即G1 =G4 =0;圖8、圖9 為上橋臂導通、下橋臂截止的情況，即G1 =1，G4 =0。

根據上述電路模型，分別列寫狀態方程式(4)～式(9)，以緩沖電路的電流i0，i1作為狀態變量，uAG為輸出變量，直流Ud和BLDCM 的電流iA為輸入變量。

圖4 驅動模型1 iA =0

圖5 驅動模型2 iA ＞0，uAG ＞－VD

圖6 驅動模型3 iA ＞0，uAG≤－VD

圖7 驅動模型4 iA ＜0，uAG≥Ud +VD

圖8 驅動模型5 iA≥0

圖9 驅動模型6 iA ＜0，uAG≥Ud +VD

式中:Y=RSRd+2RdRon+RSRon。

對于iA＜0，uAG＜Ud+VD條件下的電路模型和狀態方程與iA≥0 相同，不再累述;而對于下橋臂導通、上橋臂截止的情況(即G1 =1，G4 =0)也可推導，本文不再累述。可見，通過分條件建立狀態方程的方法，可以完整地描述驅動電路工作過程。

3 利用S 函數創建仿真模塊

S 函數提供了一種在Simulink 模型中增加自制塊的手段，可以使用MATLAB、C 等語言創建所需要的模塊。其形式通用，且適用于連續、離散和混合系統。

C 語言S 函數體的基本結構如圖10 所示，函數運行的開始要進行模型初始化，包括仿真時間、輸入輸出變量及狀態變量的初始化，然后進行輸出變量和狀態變量的微分循環計算，最后根據設定的時間結束仿真。

圖10 C 語言S 函數體的結構框圖

可見，利用S 函數建模，只要選擇合適的輸入輸出及狀態變量，并根據它們之間的數學關系將其填寫到相應的函數中即可。

3.1 利用S 函數建立BLDCM 的本體模塊

首先要明確該模型的電機參數:包括黏滯摩擦系數BV=1 ×10－3N·m·s，轉動慣量J =0.8 ×10－3kg·m2，定子電阻R=2.875 Ω，每相繞組磁鏈最大值Ψm=0.175 Wb，極對數p=4，定子等效電感L－M=8.5 ×10－3H。

其次，確定BLDCM 的反電動勢［3］，若不計電樞反應，氣隙磁場一般為梯形波，以A 相為例可寫為:

式中:ω 為電機電角速度;fA(θ)為A 相反電動勢波形系數。fA(θ)隨轉子位置角θ 呈梯形分布，最大值和最小值分別為1和－1，波形如圖11所示，其與轉子角θ 之間數學的關系，如表1 所示。

圖11 三相波形系數相位圖

表1 三相波形系數的表達式

表中，n 為電機轉數，n 可利用C 語言中的取整函數floor 計算:

最后，由式(1)～式(3)及上述反電動勢分析，確定輸入、輸出量以及狀態變量，如表2 所示。

表2 BLDCM 本體模塊變量表

另外，BLDCM 要有霍爾傳感器來得到轉子的位置信號，并對電機三相繞組進行換相控制。這就要求仿真的本體模塊輸出用于控制驅動電路換向的霍爾信號，其與轉子角的關系如下表3 所示。

表3 霍爾信號與轉子角之間關系的真值表［4］

在Simulink 中添加S 函數模塊，將上述內容用C 語言的形式填寫到S 函數結構框架中，具體程序不再累述，可以得到BLDCM 本體模塊，如圖12 所示。

圖12 BLDCM 本體模塊

圖12 中，pos 為轉角信號，需要電角速度輸出ω經過積分器求解得到。由于電流和轉速信號既作輸入量又作輸出量，因此要使用帶有延時作用的memorry 模塊來消除輸入輸出直接饋通形成的代數環。另外，圖中n 為電機轉速，其與狀態變量機械角速度(簡記為Ω)及電角速度ω 之間的關系:

式中:p 為電機的極對數。

3.2 利用S 函數建立驅動電路模塊

驅動電路以單臂為基本模塊，根據其數學描述的內容可知，使用S 函數建立單橋臂電路模塊，需要確定的輸入、輸出量以及狀態變量，如表4 所示。

表4 單橋臂驅動模塊變量表

另外，單橋臂驅動電路的相關參數包括開關管的導通電阻Ron=0.001 Ω，續流二極管導通壓降VD=0. 5 V及體電阻Rd=0. 01 Ω，緩沖電路電阻RS=3 000 Ω 及電容CS=1 μF。

根據上述內容及驅動數學方程，用C 語言的形式填寫到S 函數框架中，具體程序不再累述，可以得到三個單橋臂驅動電路模塊，如圖13 所示，再經過整體封裝便可得到如圖14 所示的橋式驅動電路。

圖13 三橋臂驅動電路模塊

圖14 橋式驅動電路模塊

4 BLDCM 的系統仿真

在進行系統仿真前，還需要產生開關管VT1 ～VT6 的開關信號G1 ～G6，其與霍爾信號之間的邏輯關系如表5 所示。

表5 開關狀態與霍爾信號的邏輯關系［4］

利用Simulink 中的與非模塊來實現該邏輯，如圖15 所示。圖中上半部分單元模塊表示了開關信號G1 與霍爾信號之間的邏輯關系，另外5 個開關信號不再給出，下半部分的H_sensor 模塊是對6 個開關信號單元進行封裝后產生的。

圖15 霍爾傳感器模塊

系統仿真就是將圖12、圖14 以及圖15，這三個模塊結合在一起，然后加以觀測，如圖16 所示。根據圖16 所建模型，對其進行仿真，其結果如圖17 ～圖20 所示。

圖16 BLDCM 系統仿真模型

圖17 電機轉速與電磁轉矩仿真波形

5 結 語

本文從工作原理和數學模型兩方面介紹了無刷直流電動機，并根據數學模型，利用MATLAB 中的S函數作為工具，對其系統模型進行了仿真，得到了較為理想的數據波形，進而驗證了所建模型的有效性。

［1］ 夏長亮. 無刷直流電機控制系統［M］. 北京:科學出版社，2009:31－37.

［2］ 殷云華，鄭賓，鄭浩鑫. 一種基于MATLAB 的無刷直流電機控制系統建模仿真方法［J］.系統仿真學報，2008，20(2):293－298.

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