反對稱矩陣特征值的性質及其相關解題應用

馬永秀

1 反對稱矩陣特征值的性質

性質14 實反對稱矩陣的特征值為純虛數或零.

證明：法一：設A是實反對稱矩陣，不妨設λ=a+bi為A的特征值，ξ=?+βi 為相應的特征向量.即Aξ=λξ，取共軛轉置：ξTAT=λξT，從而有：ξTATξ=λξTξ，又有：ξTAξ=λξTξ，從而：ξTATξ=-ξTAξ=-λξTξ=λξTξ，故：-λ=λ，進而λ=0或λ為純虛數，故A的特征值為0或純虛數.

法二：設A是實反對稱矩陣，Aα=λα，α為特征向量，則Aα=λα?αTAT=λαT?αTATα=λαTα，即：，得：λ+λ=0，Re λ=0，所以，λ為純虛數或零。

性質15：設λ是反對稱矩陣A的特征值，則-λ也是A的特征值.

證明：設λ是反對稱矩陣A的特征值，則|λE-A|=0.又AT=-A，從而|-λE-A|=|-λE+AT|=|（-λE+A）T|=|-λE+A|=（-1）n|λE-A|=0，所以-λ也是A的特征值.

性質16：若實矩陣A為反對稱矩陣，則E±A可逆.

證明：因A是反對稱矩陣，直接由性質13可知±1是A的特征值，所以|E±A|≠0，即有E±A可逆.

2 特征值性質的相關解題應用

例6：設A是n階實反對稱矩陣，B是n階可逆實對稱矩陣，且AB=BA，則A+B是可逆矩陣.

分析：要求A+B可逆，就需求證|A+B|≠0，又A+B=B（E+ B-1A），則只需求證|E+ B-1A|≠0，即-1不是B-1A的特征值，由反對稱矩陣特征值相關性質即可求證.

證明：由AB=BA及B可逆知：A B-1= B-1A，又A是反對稱，B是對稱，故（AB-1）T=（ B-1）TA-1=-B-1A=-AB-1，所以AB-1=B-1A是實反對稱矩陣，從而知B-1A的特征值是0或純虛數，當然-1不是B-1A的特征值，故|E+B-1A|≠0.于是|A+B|=|B+A|=|B（E+B-1A）|=|B||E+B -1A|≠0，因此A+B是可逆矩陣.

3 反對稱矩陣在歐式空間線性變換上的相關解題應用

3.1用反對稱矩陣研究線性變換

例7：歐式空間V中的線性變換A：V→V稱為反對稱變換，若?α，β∈V，（Aα，β）=-（α，Aβ）.證明：A反對稱當且僅當A在一組標準正交基的矩陣是反對稱矩陣.

證明：充分性：設A=（aij）n×n是線性變換A在標準正交基ε1，ε2，…，εn 下的矩陣，且A反對稱，即AT=-A，任給α，β∈V，記α=（ε1，ε2，…，εn）X，β=（ ε1，ε2，…，εn）Y，則有Aα=（ε1，ε2，…，εn）AX， Aβ=（ ε1，ε2，…，εn）AY，那么（Aα，β）=（AX）TY=XTATY=-（α，Aβ），所以A為反對稱變換.

必要性：設是A反對稱變換，且A（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A，其中矩陣A=（aij）n×n，ε1，ε2，…，εn為V的標準正交基，那么，

，.

因此（Aεi，εj）=aij，（εi，Aεj）=aij，所以aij=（εi，Aεj）=-（Aεi，εj）=-aij.即知A為反對稱矩陣.

小結 有本例題可知，若求證一線性變換是反對稱變換，只需要求出其在（1，0，…，0），（0，1，0，…，0），…，（0，…，0，1）下的矩陣是反對稱矩陣即可.

3.2用反對稱矩陣研究反對稱雙線性函數

（設f （α，β）為線性空間V上的一個雙線性函數，且滿足f （α，β）= -f （β，α）， α，β∈V，則稱f （α，β）為V上的一個反對稱雙線性函數.）

例8：設ε1，ε2，…，εn是線性空間V的任意一組基， V上的雙線性函數f （α，β）是反對稱的，當且僅當f在基ε1，ε2，…，εn下的度量矩陣A是反對稱矩陣.

證明：設ε1，ε2，…，εn為V的一組基，若雙線性函數f （α，β）是反對稱的，則f （εi，εj）=-f（εj，εi），所以它的度量矩陣A是反對稱的.反之，若雙線性函數f（α，β）在基ε1，ε2，…，εn下的度量矩陣A是反對稱的，那么對V中任意向量α= （ε1，ε2，…，εn）X和β= （ε1，ε2，…，εn）Y， 都有f （α，β）=XTAY=YTATX=YT（-A）X= -YTAX=-f （β，α），所以f （α，β）是反對稱的.

例9：設V是數域P上n維線性空間， M是V上全體反對稱雙線性函數構成的集合， f，g∈M，定義f+g，使對 α，β∈V有（f+g）（α，β） =f （α，β） +g （α，β），f+g稱為f與g的和， K∈P，定義Kf，使對 α，β∈V，有（Kf）（α，β）=Kf（α，β）， Kf稱為K與f的數量乘積，簡稱數乘，則M對于如上定義的兩種運算構成數域P上的線性空間，且dimM=.

證明：按線性空間的定義，易證M對于如上定義的兩種運算構成數域P上的線性空間.

設數域P上的全體n階反對稱矩陣構成的集合為K，則顯然K為數域P上的線性空間，且dimK=.

在線性空間V中取定一組基ε1，ε2，…，εn后， f，g∈M，設f，g在這組基下的度量矩陣分別為A，B，則由例7， A，B為反對稱矩陣， α，β∈V，α，β在這組基下的坐標為X= （x1，x2，…，xn）T， Y= （y1，y2，…，yn）T，則f （α，β） =XTAY， g （α，β）=XTBY，且A，B由f，g唯一確定，當f≠g時，有Af≠B，反之，對A∈K，令f （α，β）=XTAY，則f在這組基下的度量矩陣為A，所以在M與K之間存在雙射σ，使σ（f）= A，σ（g）=B，且滿足σ（f+g）= A+BA，σ（Kf）=kA，所以σ是M到K的同構映射，從而dimM=dimK=.

本文從基礎理論和實際應用方面討論了反對稱矩陣的基本性質，給出反對稱矩陣有關秩及特征值方面的性質，并引入了解題的相關應用，對此我們要仔細琢磨和思考，努力掌握好反對稱矩陣的相關問題。