妙思巧解，演繹數學魅力

朱延春

培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，是數學教學的目標之一。現結合“巧妙解題”的教學實錄，介紹一下我是如何在解決問題的過程中，加強思維策略的指導，提升學生解決問題的策略水平的。

一、猜想——驗證

自然科學，特別是數學中的新發現大都是從猜想開始的，這些猜想經過大量的時間檢驗，再經過嚴密的論證推理，才獲得最終的定理、定論。在數學研究里，先猜想后證明，幾乎是一條規律。教師在組織教學時，要考慮如何創設情境，為學生再發現創造必要條件。

【例1】小白兔非常愛吃青菜，兔媽媽決定在它們家門前的空地上用籬笆圍一塊長方形菜地，自己種菜。要想種的青菜多，圍成的菜地面積就要盡量大，但自家籬笆的長度只有28米，菜地的長和寬各等于多少時，面積才能最大呢？

1.猜想——激活靈感

師：同學們，你有辦法使圍成的菜地面積最大嗎？

生1：若長方形的長為a米，寬為b米，周長是2a+2b=28米，那么長與寬的和就是a+b=14米，長方形的面積公式是“長×寬”，我們只要求出a×b的最大積就行了。

生2：因為正方形是特殊的長方形，我們可以直接猜想“當a=b時，也就是a=b=7。a×b取得最大值”。

生3：假設a×b的最大值為7×7=49，那么長方形的最大面積為49平方米。

2.驗證——得出結論

師：大家的猜想非常有道理，但究竟對不對呢？拿出紙和筆來檢驗一下，怎么樣？

同桌交流：把長方形的長和寬變化時面積的變化情況用表格的形式表示出來：

長方形邊長與面積變化規律表

[長（米）＼&13＼&12＼&11＼&10＼&9＼&8＼&7＼&寬（米）＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&面積（平方米）＼&13＼&24＼&33＼&40＼&45＼&48＼&49＼&]

生：耶！我們的猜想是正確的。

在教學中，教師要讓學生在“猜想——驗證”活動中感受、領悟、理解和掌握數學的思想方法，培養學生勤于思考、勇于提出猜想，并對猜想進行檢驗的學習態度，形成獨特的個人見解，產生創新靈感。

二、探究——歸納

【例2】把、、、化成小數（除不盡的保留三位小數）。

學生順利地把這些分數化為小數后，頗有大功告成之態。見時機成熟，我故意說：“同樣是分數，為什么有的能化成有限小數，而有的卻不能呢？”一石激起千重浪，學生在新問題面前個個凝神思索。這時，我啟發學生仔細觀察這幾個分數有什么相同的地方。學生發現它們的分子都是7，我說：“對呀！為什么分子相同的有的能化成有限小數，而有的卻不能呢？”把學生的思考引到對分母的觀察與思考中去。他們終于發現：一個分數能否化成有限小數，跟它們的分母有關，與它們的分子無關。接著請學生將這些分數按照能否化成有限小數分成兩類，比較它們的分母有什么不同。引導學生初步歸納出：一個分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數，如果分母中含有2和5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

在課堂上，使學生主動地投入到知識的發生、形成、發展、運用的過程中去，切實把他們推向思考問題的最前沿，這是課堂教學中激活學生思維的重要途徑。

三、數形——結合

“數”和“形”是數學中最基本的兩大概念。在教學中，要有目的地幫助學生把抽象的概念、復雜的數量關系與幾何圖形聯系起來考慮，為發展學生的直覺思維創造條件，能使題意形象具體，一目了然，從而較快地找到解題的途徑。

【例3】王大伯今年收獲了2.4噸蘋果，其中一半以上達到一級質量標準，其余達到二級質量標準。如果分等級出售，一級蘋果每千克為2.4元，二級蘋果每千克為1.6元;如果不分等級出售，每千克為1.8元。請你用計算器算一算，怎樣出售比較合適？

解：根據題意畫長方形示意圖。

[A][C][B][D][F][E][G][J][L][H] [2.4][1.8][1.6]

從長方形圖可見：不分等級出售，總收入為長方形ABCD的面積值。分等級出售，總收入為長方形AEFG和長方形EBJL面積和的值。需要比較長方形DHFG與長方形JLHC面積的大小，由于FH>HL，DH>HC，所以SDHFG>SJLHC。所以，分等級出售總收入更多，分等級出售更合算。

數學的思想方法是數學學科的精髓。日本著名數學家米山國藏認為：作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們受益終身。”在課堂教學中，教師要積極而又審時度勢地把學生引向他們的“最近發展區”，給學生充分的獨立自主學習和探究操作的活動空間，讓學生在主動參與探究的過程中激活創新思維。

（責編 金 鈴）endprint