理想氣體狀態方程應用的難點突破

陳國鈞

(南通科技職業學院，江蘇 南通 226007)

氣體狀態方程是中學或普通物理教學中的重點和難點之一，公式表達形式雖然不復雜，但其用來解決的具體問題靈活性較大，且種類繁多。在教學中發現，很多學生對正確應用理想氣體狀態方程解題感到無所適從，不能舉一反三，往往重復出現同樣的錯誤?，F在就如何突破這一教學難點，談談筆者的做法，以饗讀者。

1 幫助學生建立應用氣態方程解題的總體思路

思考物理問題，首先有一個正確分析問題的思路，善于捕捉共性特點，區分個性特點。因此，課堂上筆者在通過兩道基本例題的分析后，引導學生歸納出應用氣態方程解題的總體思路:

(1)了解物理過程，明確研究對象，注意研究對象有時不止一個，并分清熱學研究對象和力學研究對象。

(2)確定同一研究對象的始末狀態參量，對于多個研究對象的問題，應注意分別確定每個對象的始末態以及對應的參量，防止張冠李戴。

(3)列出氣態方程求解，注意統一單位，尤其壓強單位，溫度要用熱力學溫標。

(4)解題時，注意相關條件和隱含條件，列出輔助方程。(5)善用整體思想分析問題。

2 通過對氣體壓強計算的單獨處理，分散解題難點

學生解氣態方程計算題時，錯誤率最高的就是不能將熱學研究對象初末狀態壓強的表達式正確寫出來。為了解決這個問題，采取將壓強問題作為一個專題進行教學，以達到分散難點、突出重點，使學生在“強刺激”環境中突破難點。專題主要談兩個問題:一是壓強單位如何統一，二是怎樣確定壓強表達式。具體如下:

2．1 壓強單位如何統一

我們常見的壓強單位有帕斯卡、大氣壓、厘米高水銀柱等。一般學生對帕斯卡與大氣壓的互換，厘米高水銀柱與帕的互換是不會感到困難的，有難度的是在牛頓第二定律表達式中怎樣統一單位。

例1:在一個開口向上豎直放置的試管中，有一段長為H厘米的水銀柱，下面封閉著長為L 的空氣柱(如圖1)。設外界大氣壓為P0，求試管以g/2 加速度下落時，空氣柱長度變為多少?

此題在寫末態氣體壓強時，由圖1(2)對水銀應用牛頓第二定律得:

(1)式中P0、P 往往是cmHg為單位，如將cmHg 換算為帕比較麻煩。為此，我們可對(1)式進行恒等變換，總結出一般方法:將方程兩邊同除S 得

2．2 壓強表達式的正確表述

綜觀氣體壓強的計算可分為兩大類:一是被研究對象處于平衡狀態，二是研究對象處在加速系統中。

2．2．1 被研究對象處在平衡系統中

在教學中，分別對液柱封閉氣體、活塞封閉氣體情況下的壓強計算，通過例題分析歸納可得基本方法:在平衡系統中應對力學對象進行受力分析，不能忽視大氣壓，然后由平衡條件來求解。

對液柱封閉氣體的壓強求解是最常見的題型，它可采用同一形式的公式為液柱與外界接觸一方的氣壓，h 表示水銀柱的豎直高度。

求活塞封閉氣體情況下的壓強也是常見的題型，如:

例2:如圖2 內壁光滑的氣缸內放有氣密性好的兩活塞A、B，已知A、B 質量分別為mA、mB，橫截面積為SA、SB，且A、B 之間用細線連接并封閉著一定質量的氣體，在大氣壓強的作用下處于靜止狀態，則此時封閉氣體壓強應為多大?(設外界大氣壓強為P0)

分析:該題屬于力學研究對象處于平衡系統，故對活塞受力分析，如圖3 所示。

由力學平衡條件得:P0SA+ mAg + mBg + PSB= P0SB+PSA

2．2．2 被研究對象處在加速系統中

此類問題在上述平衡系統中拓寬一下就可得求解路子:對力學對象進行受力分析后，用牛頓第二定律來求解即可。

例3:一端封閉的玻璃管，在封閉端有被長10cm 的水銀柱封閉著的空氣柱，當此玻璃管從斜面上滑下時，空氣柱的壓強多大?如圖4 所示。(已知大氣壓強P 為75cmHg，玻璃管與斜面間的摩擦系數。

分析:對水銀受力分析，受力圖如圖5 所示，由牛頓第二定律得:)

又將水銀和試管作為整體由牛頓第二定律得:

忽略試管質量，解(1)和(2)得:

如壓強單位為cmHg，則由壓強單位換算方法可將(3)式寫為:

3 對題型作系統分類，找出每類的共同特征，明確解題方法

學生對氣態方程習題往往感到多而雜，心中一本糊涂賬。因此，在教學中注重題型分類，幫助學生找出對應的解題方法，能起到事半功倍的效果。筆者將題型分為:單個熱學研究對象、氣體連接體問題、變質量問題、氣體定律與能的轉化和守恒定律的綜合應用等四個方面。

3．1 單個熱學研究對象

所謂單個熱學研究對象，就是氣體系統只有一個，這種題型的問題是最基本的，但不一定簡單。關鍵是壓強計算，而這一點我們已通過專題解決了。所以這類問題在這里便不難了。典型模型有水銀柱、彈簧管、活塞問題。

如涉及到臨界狀態，則可先求出恰在臨界狀態的情況下的有關物理量，再與實際情況進行比較而得出氣體所處的狀態，再根據狀態方程求解。

例4:如圖6 所示，一端封閉的玻璃管長1m，內貯空氣，氣柱上面有一段高h=20cm 的水銀柱，將空氣封住，空氣柱長49cm。若將玻璃管倒轉至管口豎直向下，如果大氣壓等于76cmHg，求此時空氣柱長度(全過程中溫度不變)。

此題中試管倒過來，管中水銀可能掉下來，也可能水銀不掉下來。這就要先求一下水銀恰不掉下時試管長度，然后將這個長度與實際長度比較一下，就不難得出結論。

3．2 氣體連接體問題

所謂氣體連接體問題，就是由兩個(或兩個以上)氣體組成的系統。它們之間不是弧立的，而是有聯系的。解此類問題的一般思路是:(1)隔離法逐個研究熱學對象;(2)確定力學對象，寫出壓強表達式;(3)建立輔助方程。從三個方面著手:一是幾何約束關系(體積)，二是熱學的聯系(溫度)，三是力學約束關系(壓強)。最后綜合聯立方程求解。

例5:兩個相同的氣缸活塞，用剛性連桿連接著，如圖7所示。當溫度為T 時，在這兩個氣缸內充以質量相等的空氣，之后把其中一個氣缸加熱到T1，而另一氣缸保持原來溫度T 不變。若不計活塞和連桿的重力，大氣壓為P0，求氣缸中的壓強分別為多少?

分析:首先分別對1 和2 氣體寫出狀態方程

然后找出約束方程分別為

綜合(1)(2)(3)(4)就可解得結果。

3．3 變質量問題

所謂變質量問題，就是各個氣體系統在狀態變化過程中，質量發生宏觀遷移而重新分布，對每個氣體研究對象來說都是變質量系統。此類問題一般方法有二種:一是克拉珀龍方程或道爾頓分壓原理，二是虛擬法或無形彈性袋模型法。但第一種方法教材未涉及，故我們宜采用虛擬法，培養學生的空間形象思維能力。其方法:通過對整個狀態過程的分析，虛擬一些簡單的物理過程及狀態參量，化變質量為不變質量，達到能運用氣態方程的目的。

例6:某地與外界相通的教室，室溫從27℃升高到42℃的過程中，剩余氣體的質量占原來室內氣體質量的百分比多大?

此問題可虛擬一個“無形”彈性袋將漏出氣體全部收集起來，并利用此氣袋的容積變化，將袋中氣體變成與最終氣體同溫同壓，如圖8。這樣以原來全部氣體為研究對象，就不難求出所求量。

3．4 氣體定律與能的轉化和守恒定律的綜合應用

氣體的狀態變化一般會伴隨能量的變化，因此，氣體狀態變化過程中除了受到氣體定律制約，還必須遵循能的轉化和守恒定律。像這樣有關氣體定律與能的轉化和守恒定律的綜合題，其一般思路是:確定狀態變化過程的特征，由溫度變化判斷內能的變化，由體積變化判定做功情況，列出能的轉化方程，最后與氣態方程聯立求解。

例7:如圖9，質量為m=2kg 的氣缸中有一截面積為S=10cm2的可在氣缸內無摩擦移動的活塞，活塞的質量M=3kg，一根繩子系住活塞，將活塞和氣缸一起吊起來處于平衡狀態，這里活塞與氣缸底相距h=10cm，大氣壓強為105Pa，取g=10 m/S2，當在汽缸下面的鉤子上掛m' =3kg 重物后，氣缸與重物組成的系統重新達到平衡位置時的動能為0．76焦。求這一過程中氣缸內氣體做功W汽是多少?設氣缸的底面積等于活塞的面積，實驗過程中溫度保持不變。

分析:此題中的封閉氣體作等溫變化，氣體膨脹對外做功，將氣缸與重物組成的系統作為力學研究對象，由動能定理得:

解(2)(3)(4)可得Δh=0．06m，代入(1)式可得氣體做功W汽=3．76焦。

教學實踐表明，通過以上教學過程的處理，能收到比較好的教學效果。

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