幾類落體運動的微分方程解法

梁樹星

(黑龍江農業工程職業學院 人文學院，黑龍江 哈爾濱 150088)

0 引言

在研究物理問題時通常需要用到數學方法，沒有較好的數學基礎和手段，即使物理過程很清楚，雖然也能正確列出方程，但數學基礎不好也很難計算出我們需要的結果。下面由幾類落體運動的研究來體會微分方程在解題過程中應用，以此來領會數學和物理的密切聯系，使讀者在學習過程領悟各科目間的內在關聯。

落體運動無非包括以下幾方面:一是自由落體運動，此種運動是最簡單、最原始的理想運動;二是有阻力的落體運動;三是變質量(變力)的落體運動。下面我們分別來研究三種落體運動的速度、位移等規律。

1 自由落體運動的微分方程

自由落體運動是無初速的只受重力的運動。假定取向上為x 的正方向，地面高度為零，初始高度為h，重力與此方向相反為負，由牛頓第二定律可知:

v= －gt(負號表示速度方向與規定的正方向相反)。

2 有阻力無初速的落體運動的微分方程

仿照上例，仍假定取向上為x 的正方向，地面高度為零，初始高度為h，若下落過程阻力與速度成正比，比例系數為k，則，重力為－mg，阻力為(負號是以速度方向相反得到，真實阻力方向向上)，仍研究下落的速度和位移。

對上式再一次積分，并帶入初始條件:t=0，x=h 得到位移表達式:

提示:若阻力與速度平方成正比，其運動方程如何，解法如何，請讀者思考。

說明與討論:仔細觀察速度表達式，會發現:當時間足夠長，速度v 的極限為，也就是說，經過較長時間后速度不再增加，而穩定為的常量。其原因為，阻力先隨速度的增加而增加，隨著阻力增加，質點的合外力減少，加速度也隨之減少，但速度仍在增加，只不過增加的幅度已經減小。當阻力增加到與重力相等時，合外力為零，加速度為零，速度不再增加，而保持的恒定速度。在實際問題中也可體會到這一點，例如當雨滴不受阻力時從高空下落，其速度較大，甚至可以傷害到生命和物體，實際上雨滴下落過程中有阻力，經過一段時間后，穩定在一定的較小的速度落到地面。降落傘下落過程與此相仿，正是因為有阻力，降落傘才能保護跳傘者的安全。以上解法亦適用于質點在粘滯液體中的下落過程。

3 變質量無阻力無初速的落體運動的微分方程

下面簡要討論變質量的落體的運動規律。假如某物體(例如雨滴或冰雹)，在下落過程中質量隨時間的均勻改變量為k，若k 為正表示質量增加，反之表示減少。取最高點高度為零，向下為正方向，設在下落過程中不受阻力，討論該質點的下落速度和位移。

對時間t 積分，并帶入初始條件:t=0，v=0，解出任意時刻的速度:

對上式再次積分，帶入初始條件:t=0，x=0，解出任意時刻的下落位移:

4 結語

在學習落體運動過程中，首先要善于分析物理過程，善于將物理過程分類研究，及時總結，準確列出微分方程;其次能準確辨別方程的類型，并采用相應的解法，解決問題時既要細心又要掌握一定的技巧。只有這樣才能將物理與數學聯系到一起，相得益彰。

［1］周衍柏．理論力學教程( 第二版) ［M］．北京:高等教育出版社，1986:39—40．