關于曲面積分求解的探討

左嵐

(咸寧職業技術學院，湖北 咸寧 437100)

0 引言

高等數學涉及的范圍特別廣，其中微積分是常見的高等數學知識中最為關鍵的一個分支，我們常見的是一維方程的微積分。然而，對于想接受更高級別教育體系學習的學生來說，必須要掌握二維方程的微積分，這對于以后的學習以及考研來說是非常重要的。在二維方程的微積分的學習中，其中關于曲面方程的積分的求解是教學和學習的重點難點，對于曲面方程積分求解方法的探討，尤其是對第二類曲面積分求解方法的探討，不僅能夠深入學習曲面方程積分的特性，對曲面積分有更深入的了解，而且能夠提高學生們對曲面積分的求解技巧，從而有助于更加深入地學習其他更加復雜的方程微積分的求解。所以對于曲面方程的積分求解方法的探討，對于學生學習和考研來說具有非常重要的現實意義。

1 曲面積分的定義和解題技巧

關于曲面積分的定義，具體說明如下:

假定一個函數R(x，y，z)為一個光滑而且有方向的曲面Σ 的某個有固定邊界的區域，將Σ 劃分成任意的小塊，如果每個小塊用ΔSi表示(其中i = 1，2，3……，n)，則ΔSi所有的曲面相加等于整個Σ。假設ΔSi在底面x-0-y 軸上的垂直投影為(ΔSi)xy，?(ξi，ηi，ζi)∈(ΔSi)xy，并且各個小曲面ΔSi的直徑λ 趨于0 時，則有如下存在，那么此時，處在光滑的有向曲面Σ 的函數R(x，y，z)在對底面x-0-y 坐標軸的積分稱之為第二類曲面積分，一般表示為。同樣的，該函數對其他面的第二類曲面積分也可以同樣的形式表示，如對于x-0-z 面的第二類曲面積分表示為;對于y-0-z 面的第二類曲面積分表示為。

對第二類曲面積分類型的題目的計算，是在教學工作中以及考研題目中常見的題目類型。對于該類型題目的計算，一般要通過利用第二類曲面積分的基本性質來簡化原有題目中的計算表達式，將計算表達式化繁為簡、化難為易，從而最終實現第二類曲面積分題目的計算。

常見的，我們在計算第二類曲面積分題目的時候有三個解題技巧:第一個解題技巧是利用第二類曲面積分的可以將曲面積分直接代入到被積分函數中的性質，將曲面方程直接帶入到計算表達式中進行積分操作，從而簡化計算工作量。例如，假設有球面方程x2+ y2+ z2= R2，其中Σ 為該球面方程的下半球面的上側部分，則對如下球面積分方程I =進行求解時即可使用該方法，首先將表達式中的x2+ y2+ z2變換成R2之后再找其他適合的方法進行求解。第二個解題技巧則是利用第二類曲面積分的輪換對稱性來簡化計算表達式，從而簡化計算工作量。例如有一曲面x+y+z = 1，Σ 為被x-y-z 坐標軸截取該曲面的下部分的上側曲面，對于曲面積分xzdxdz 的計算，就可以利用曲面積分的輪換對稱性，如果將平面x + y + z = 1 的三個坐標軸的位置任意調換，曲面Σ 的表達式以及被積分的表達式均不發生變化，那么即可利用第二類曲面積分的輪換對稱性，即有，則原有的曲面積分計算表達式則可以變換為I =等價于等價于，然后對進行曲面積分即可。第三個解題技巧則是利用了奇函數或者偶函數在第二類曲面積分對稱積分面上的基本性質來進行對計算表達式的處理。利用該性質來對第二類曲面積分進行求解時，要求曲面Σ 必須是對稱的，并且被積分的函數是奇函數或偶函數。所以在對第二類曲面積分的題目進行解題時，必須注意利用上述解題技巧來簡化計算表達式，優化解題過程。

2 曲面積分的求解方法

對第二類曲面積分類型的題目的求解，有很多解題技巧，一般都是通過曲面積分的基本性質來對計算表達式進行簡化處理，然后根據簡化后的被積分函數進行簡體，從而優化解題思路，簡化解題過程。當然，解題技巧是死的，必須由解題者對計算表達式能夠深刻認識和理解，根據表達式的表現形式進行處理，最終對解題技巧進行靈活運用。在此，對幾種常見的第二類曲面積分的解題方法進行闡述說明。

2．1 公式法

利用公式來求解第二類曲面積分的求解方式是最直接有效的方法，即依據第二類曲面積分的定義，通過曲面的投影將計算表達式化解成二重積分來進行計算。

例如，對于Σ 曲面方程為z = z(x，y)，該曲面在x-0-y 面上的投影為Sxy，并且曲面Σ 在Sxy上為一階連續的偏導數，則對于求解的第二類曲面積分方程D(x，y，z)而言，如果該被積分方程能夠滿足第二類曲面積分的要求，則有如下表達式。

原計算表達式是對x，y 變量的積分，則通過公式法將原計算表達式中的z 變量，通過Σ 曲面方程表達式z = z(x，y)來替代，最終形成了對變量x，y 的二重積分，而變換后的整體結果的正負取值，則是由Σ 曲面的法向量與被替代變量的軸的夾角取值范圍來確定，如果是銳角則取“+”，如果為鈍角則取“－”。

上述表達式描述的是由于原始表達式只對x，y 變量求積分，那么通過對Σ 曲面方程的轉換，將其變換成x，y 為z 的函數，并將被積分函數中的z 變量全部由x，y 變量替代，最終形成了只有對x，y 變量進行積分的二重積分，而轉換后的整體結果，則要看Σ 曲面的法向量的方向與z 軸形成的夾角，通過看其夾角是銳角還是鈍角來決定“+”或者“－”的取值。

例如，對于平面x +y +z = 2，Σ 曲面為該平面與x，y，z 坐標軸三個坐標平面截取的下部分的下側，然后對方程I =進行求解。

首先要對Σ 曲面和被積分方程進行觀察分析。很明顯，無論x，y，z 軸如何變換，Σ 曲面以及被積分方程都不會變化，所以可以利用第二類曲面積分的第二個解題技巧，即利用曲面積分的輪換對稱性，將被積分方程進行簡化，在原計算表達式中，則原計算表達式可以轉換成如下表達式:

然后，通過公式法，將被積分表達式中的z 變量通過x，y變量替代，Σ 曲面方程為x +y +z = 2，則有z = 2 －x －y，帶入被積分方程中，則有y)2dxdy。然后對變換后的方程進行轉換得到，I =，最終求得結果為－4 。

2．2 高斯定理算法

高斯定理又稱為散度定理或高斯散度定理，是物理理論中用來表示在某個閉合曲面內的電荷分布與其產生電場的之間關系的表達式。

高斯定理定義為，假如空間內含有閉合區域Ω，且該區域的邊界Ω 為分片光滑閉曲面，同時函數P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)，及其一階偏導數在Ω 上為連續的，那么則有高斯公式為:

對于該題目的求解就可以利用高斯定理的方法來實現。首先要滿足高斯定理的基本要求，對于一個閉合的曲面進行處理。那么假定有一平面Σ1為z = 0，與Σ 曲面構成一個完整封閉的區域Ω。在利用高斯定理求解前，可對被積分的函數進行公式法處理。由于，則有a2= x2+y2+ z2，由于a 為大于0 的任意常數，代入被積分函數可得，πa4= － πa3/2。

利用高斯定理來求解第二類曲面積分非常方便快捷，但是使用起來有幾個關鍵點必須滿足。首先要滿足高斯定理的基本要求，即首先構成一個完整的封閉的區域空間，然后P，Q，R 函數在該空間上具有連續的一階偏導數，而且求解的Σ 曲面為該封閉區域的外側，所以對于不是封閉的區域首先要為其構建一個封閉的區域才能開始使用高斯定理求解，然后就可以利用高斯定理將被積分的函數通過高斯公式轉變成x，y，z 變量的三重積分。如果Ω 空間區域內有某些奇點使得函數P，Q，R 在該空間上不能連續偏導，那就要先去除這些奇點，然后用高斯公式進行處理，最后再對這些奇點進行分析，最終實現對第二類曲面積分的計算。

2．3 利用第一類曲面積分求解法

利用第一類曲面積分來求解第二類曲面積分的方法就是考慮到二者之間的轉換關系，只要能求出曲面的法向量，然后利用兩類曲面積分之間存在的換算關系將被積分函數轉換成第一類曲面積分表達式來求解。兩類曲面積分表達式關系如下:

其中，cosα，cosβ，cosγ 是Σ 曲面在某個點出的法向量的方向余弦值。通過上述轉換關系，即可對被積分的函數進行轉換，最終將原計算表達式轉換成對第一類由面積分的計算表達式，然后對其進行求解。

例如，一平面為x － y + z = 1，Σ 曲面為該平面在第四象限的上側。則對于連續函數f(x，y，z)，計算如下曲面積分值I［2f(x，y，z)+3z］dxdy。由于該題目中并未給出f(x，y，z)函數的具體表達式，所以無法利用公式法和高斯定理將其進行轉換，這時就可以考慮利用第一類和第二類曲面積分之間的關系進行求解。

對第二類曲面積分的求解，主要是利用解題技巧，將被積分的計算表達式進行簡化處理，然后利用公式法、高斯定理或者利用兩類曲面積分之間的換算關系來求解出曲面積分的最終值。

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