創(chuàng)設(shè)合理情境，點(diǎn)燃探究激情

朱謙友

新課程理念體現(xiàn)“以學(xué)生的發(fā)展為本”，從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，筆者認(rèn)為“學(xué)生的發(fā)展”就體現(xiàn)在發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知力。如果說我們不能以更高的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，不能從發(fā)展認(rèn)知力的高度設(shè)計(jì)教學(xué)，不能把學(xué)生放在教學(xué)過程首位的話，探究教學(xué)就會(huì)產(chǎn)生很多“滑過現(xiàn)象”[1]，錯(cuò)過寶貴的育人契機(jī)。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要融入自己的元素，適當(dāng)增加探究性的案例，通過學(xué)生的自我實(shí)驗(yàn)、自我探究，真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的趣味性和生動(dòng)性。筆者以解析幾何教學(xué)為例作思考。

一、圖形計(jì)算器為概念與圖形實(shí)現(xiàn)無縫對接

筆者認(rèn)為，概念教學(xué)是落實(shí)發(fā)展學(xué)生認(rèn)知力目標(biāo)的重要載體，通常常用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式拋出概念，再強(qiáng)化訓(xùn)練，而概念的形成過程、性質(zhì)的概括過程被邊緣化，缺少探究，大大有礙于學(xué)生能力的培養(yǎng)。而技術(shù)可視化的特點(diǎn)為數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和探究提供了有力支持。

案例1：有關(guān)橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

根據(jù)幾何條件，描一些點(diǎn)容易，畫成線則難，但如果借助圖形計(jì)算器（模擬機(jī)），就可以直觀地呈現(xiàn)出軌跡，就可以“敢想、敢做”，輕松地實(shí)現(xiàn)點(diǎn)動(dòng)成線。操作如下：

（1）在“圖形”界面內(nèi)，任意取一點(diǎn)M，畫出點(diǎn)A和點(diǎn)B；

（2）作出線段AM、BM，并測量出它們的長度；

（3）用“文本”工具輸入a+b，通過計(jì)算，分別賦予a，b為AM、BM所測量出的值，得到|AM|+|BM|的值，顯然當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)和值也隨之變化，可移動(dòng)點(diǎn)M使和值達(dá)到需要的定值；

（4）選擇這個(gè)和的屬性，并且“鎖定”這個(gè)對象，于是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)必須符合兩線段之和等于這個(gè)被“固定”了的常數(shù)；

（5）選擇點(diǎn)M，確定M為“幾何跟蹤”的對象，拖動(dòng)點(diǎn)M，觀測點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)現(xiàn)是橢圓（如圖）。

追問：如果將“和”這種運(yùn)算進(jìn)行類比探究，改變其中的幾何條件，進(jìn)行相似操作，可以探究出一些“在一定條件下的軌跡”生成問題。

（1）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

（2）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

（3）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

（4）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之商等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

這種“鎖定”功能，讓概念與圖形實(shí)現(xiàn)無縫對接，讓學(xué)生更直觀地在“做”中觀察，在“思考”中領(lǐng)悟，為學(xué)生進(jìn)行自主探究提供技術(shù)保障。

二、圖形計(jì)算器為數(shù)與形聯(lián)系保駕護(hù)航

筆者認(rèn)為，圓與橢圓都是封閉曲線，相關(guān)的切線問題比較明顯，而雙曲線不是封閉曲線，有關(guān)它的切線問題比較復(fù)雜。教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)缺少系統(tǒng)直觀地感知圖形，使學(xué)生缺乏理解，頻頻出錯(cuò)。這正是研究性學(xué)習(xí)的好的素材和契機(jī)，以直線與雙曲線相切為例。

內(nèi)，雖然過點(diǎn)P不能作雙曲線的切線，但過點(diǎn)P可以分別作雙曲線兩條漸近線的平行線，故有2條。學(xué)生4：點(diǎn)P在雙曲線的開口外，過點(diǎn)P可作雙曲線的兩條切線，又可作兩條漸近線的平行線，故有4條。學(xué)生5更正，認(rèn)為：點(diǎn)P（2，4）恰好在一條漸近線上，只能作一條漸近線的平行線，故有3條。

問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是點(diǎn)P到底在雙曲線的開口內(nèi)，還是開口外？二是直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，除了切線外，還有沒有與漸近線平行的直線？這反映了學(xué)生缺乏對圖形的全面認(rèn)識(shí)，教師可以建議學(xué)生充分利用圖形計(jì)算器（CASIO）演示，使問題直觀化，突破現(xiàn)有的學(xué)習(xí)方式和思維模式。

操作步驟：（1）從主菜單進(jìn)入“動(dòng)態(tài)函數(shù)”窗口，編輯相關(guān)的雙曲線、漸近線方程及動(dòng)直線方程y=k（x-2）+4，選中它們；

（2）按l鍵，進(jìn)入“動(dòng)態(tài)變量”窗口，設(shè)置參數(shù)；

（3）按l鍵，直線在轉(zhuǎn)動(dòng)，得到兩條只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線（有一條與紅色漸近線重合），如圖：

引申探究，接著對“案例”引申探究，進(jìn)行變式訓(xùn)練：

讓學(xué)生充分利用圖形計(jì)算器（CASIO）探究，親身體會(huì)出直線的變化情境，自我動(dòng)手、自我觀察，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成探索的良好習(xí)慣。

三、圖形計(jì)算器為探究學(xué)習(xí)開拓創(chuàng)新

在解析幾何的教學(xué)過程中偶爾有粗心的學(xué)生把圓錐曲線方程寫倒了，于是筆者將錯(cuò)就錯(cuò)，通過利用圖形計(jì)算器探究，意外發(fā)現(xiàn)了倒圓、倒橢圓、倒雙曲線。

利用圖形計(jì)算器（CASIO）演示，從主菜單進(jìn)入“圖形”窗口，使問題直觀化（如圖）：

讓學(xué)生親身體驗(yàn)、自我探究，意義深遠(yuǎn)，使學(xué)生既認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又提高了探究創(chuàng)新的能力，對數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起到了積極有效的作用。

總之，圖形計(jì)算器不僅僅是“教”的輔助工具，可以幫助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生更容易理解某些知識(shí)內(nèi)容，突破難點(diǎn)，跨越障礙；更應(yīng)該是一種學(xué)生的學(xué)習(xí)工具，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，可以較直觀較清晰地去感受、去掌握，最終使它成為學(xué)生自主探究的工具，用它發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，真正促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。因此，倡導(dǎo)和探索圖形計(jì)算器和數(shù)學(xué)課程的結(jié)合，將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象生動(dòng)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，讓學(xué)生更想學(xué)、更會(huì)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]寧連華.數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的“滑過現(xiàn)象”及其預(yù)防策略[J].中國教育學(xué)刊，2006，（9）：18-21.