簡論資金時間價值相關計算公式的推導

摘 要：資金時間價值是一種十分重要的財務管理觀念，其內容多、計算公式復雜，掌握較為困難，本文系統的整理和分析其單利、復利、年金三種具體的資金時間價值的計算公式，從數學角度推導其過程，幫助正確的理解、掌握和運用這些重要的公式。

關鍵詞：資金時間價值 單利 復利 年金 公式 推導

中圖分類號：F234 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2014）12-119-02

財務管理是企業管理的一個組成部分，它是根據財經法規制度，按照財務管理的原則，組織企業財務活動，處理財務關系的一項經濟管理工作。其理財之道：包括聚財（籌資）之道、用財（投資、耗費）之道、生財（收回、分配）之道幾個具體環節。其研究對象是企業的資金運動及其所體現的財務關系。科學理財是財務管理的目標之一，要實現這一目標必須具備理財觀念。資金（貨幣）時間價值觀就是其中之一的觀念，資金時間價值（Time Value of Money）是指資金隨著時間的推移而發生的價值變動，包括時間向后、未來推移產生的價值增值和時間先前、過去推移的減值兩種。資金時間價值有兩種表現形式：

時間價值率（利率）i：扣除風險報酬和通貨膨脹貼水后的社會平均資金利潤率。

時間價值額（利息）I：計息基數×利率×時間

資金時間價值的計息方式具體有兩種：分別是單利和復利

一、一次性收、付款項計算公式的推導

終值（Future Value）現在一定數量的貨幣資金按給定的利率計算所得到的在某個未來時間點的價值，也稱為本利和。

現值（Present Value）就是以后年份收到或付出貨幣資金的現在價值，可用倒求本金的方法計算。

設FVn為終值，即第n年末的價值；PV0為現值，即0年（第1年初）的價值，i為利率，n為計算期數。

（一）單利的相關計算

單利（Simple Interest）計息方式：本金能帶來利息，利息必須在提出以后再以本金形式投入才能生利，否則不能生利。因此，單利前提下無論計息的期數是多長，其每期計息的基數都是保持不變，始終是最初的本金。

1.單利終值：

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合計=PV0+PV0×i×2=PV0×（1+i×2）

同理

n=n FVn=本金+n期利息合計=PV0+PV0×i×n=PV0×（1+i×n）

即：FVn=PV0×（1+i×n）

從公式得出，單利終值的大小與本金、利率、計算期數是成正比例。即本金、利率、計算期數越大，終值越大；反之，越小。

上述單利終值的推導得出時間價值是由四個因素共同組成，如果已知其中任意三個因素都可以通過移項、合并求出唯一的一個未知數。

2.單利現值：PV0= FVn÷（1+i×n）

從公式得出，單利現值的大小與終值成正比例，與利率、計算期數是成反比例。即終值越大，利率、計算期數越小，現值越大；反之，越小。

3.利率：i=（FVn÷PV0—1）÷n

4.計算期數：n=（FVn÷PV0—1）÷i

（二）復利的相關計算

復利（Compound Interest）方式：本能生利，利息在下期則轉列為本金與原來的本金

一起計息。顧名思義復利也稱為利滾利。因此，復利前提下隨著計息的期數越長，其每期計息的基數將逐期遞增，計息的基數是以每個上期的終值（本利和）為基數。

1.復利終值。

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合計=PV0+PV0×i×1+FV1×i×1

=FV1+FV1×i×1=FV1×（1+i×1）=PV0×（1+i×1）（1+i×1） =PV0×（1+i×）2

同理

n=n FVn=本金+n期利息合計=PV0×（1+i）n

從公式得出，復利終值的大小與本金、利率、計算期數是成正比例。即本金、利率、計算期數越大，終值越大；反之，越小。

上述復利終值的推導得出時間價值是由四個因素共同組成，如果已知其中任意三個因素都可以通過移項、合并求出唯一的一個未知數。

2.復利現值：PV0=FVn÷（1+i）n

從公式得出，復利現值的大小與終值成正比例，與利率、計算期數是成反比例。即終值越大，利率、計算期數越小，現值越大；反之，越小。

其中（1+i）n和1÷（1+i）n分別稱為復利終值系數（Future Value Interest Factor）和復利現值系數（Present Value Interest Factor）。其簡略表示形式分別為FVIF i，n和PVIF i，n。相關數據可以通過查表得出。

以上兩個公式，可分別改寫為：

FVn=PV0×FVIF i，n

PV0= FVn×PVIF i，n

理論上利率i和計算期數n同樣可以利用此法，但是由于需要涉及到對數和指數計算。故一般是采用插值法進行計算。

3.利率：在FV n、PV0和n已知情況下，推算期數i的基本步驟：

（1）計算出FVIFi，n=FVn÷PV0的具體數據。

（2）根據FVIFi，n查復利終值系數表。沿著已知的n所在行橫向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系數值，其對應的i值即為所求的利率。

（3）如找不到恰好為FVIFi，n的系數值，則要查找最接近FVIFi，n值的左右臨界系數。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及對應的臨界期數i1，i2，然后應用插值法求i。計算公式如下：

4.計算期數：在FVn、PV0和n已知情況下，推算期數i的基本步驟：

（1）計算出FVIFi，n= FVn÷PV0的具體數據。

（2）根據FVIFi，n查復利終值系數表。沿著已知的i所在列縱向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系數值，其對應的n值即為所求的期數值。

（3）如找不到恰好為FVIFi，n的系數值，則要查找最接近FVIFi，n值的左右臨界系數。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及對應的臨界期數n1，n2，然后應用插值法求n。

二、連續性收、付款項計算公式的推導

這里的連續性收付款項，主要是以年金（Annuity）為例。年金是指一定期間內每期相等金額的收付款項。

年金必須同時具備以下四個特點：

1.連續收付款項，至少連續發生兩次及以上。

2.相等的時間間隔，發生連續收付款項。

3.相等的金額，發生連續收付款項。

4.以復利方式計息。

年金主要分為：普通年金（Ordinary Annuity）、先付年金（ Annuity Due）、遞延年金（Deferred Annuity）、永續年金（Perpetual Annuity）四種類型。

（一）普通年金的相關計算

如下圖：

1.普通年金終值：是指每個年金按復利計算終值后的合計。

同樣設FVn為終值，即第n年末的價值；PV0為現值，即0年（第1年初）的價值，A為年金，i為利率，n為計算期數。

FVn=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2-----A（1+i）（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）1+（1+i）2-----（1+i）（n-1）是公比為（1+i）的等比數列，代入等比數列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）0[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A[（1+i）n—1]÷i=A×FVIFAi，n

2.普通年金現值：是指每個年金按復利計算現值后的合計。

PV0=A（1+i）-1+A（1+i）-2+A（1+i）-3-----A（1+i）-n

提出公因子A，剩余（1+i）-1+（1+i）-2+（1+i）-3-----（1+i）-n是公比為（1+i）-1的等比數列，代入等比數列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）-1[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A[1—（1+i）-n]÷i=A×PVIFAi，n

3.利率、計算期數應用插值法求得，同上。

（二）先付年金的相關計算

如下圖：

1.先付年金終值：是指每個年金按復利計算終值后的合計。

FVn=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3-----A（1+i）n

提出公因子A，剩余（1+i）1+（1+i）2+（1+i）3-----（1+i）n是公比為（1+i）的等比數列，代入等比數列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）1[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=（1+i）[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A（1+i）[（1+i）n—1]÷i=A×（1+i）×FVIFAi，n

2.先付年金現值：是指每個年金按復利計算現值后的合計。

PV0=A（1+i）0+A（1+i）-1+A（1+i）-2-----A（1+i）-（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）-1+（1+i）-2-----（1+i）-（n-1）是公比為（1+i）-1的等比數列，代入等比數列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=（1+i）[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A（1+i）[1—（1+i）-n]÷i=A×（1+i）×PVIFAi，n

3.利率、計算期數應用插值法求得，同上。

其余兩種年金的計算類似，不再重復敘述。

三、計息期短于一年的相關計算

以上有關資金時間價值的計算，主要闡述一次性收付款項和系列收付款項現值轉換為終值的計算方法，這種計算的前提是計息期為一年，而且計息期數為已經給定了的。但是，在經濟生活中，往往有計算期短于一年，或者需要根據已知條件確定計息期數的情況。

計息期短于一年時，計息期利率和計息期數的換算公式如下：

r=i÷m

t=n×m

r為期利率，i為年利率；m為每年的計息期數；n為年數，t為換算后的計息期數。

換算后，單利利終值和現值的計算可按下列公式進行：

FVt=PV0×（1+r×t）=PV0×[1+（i÷m）×（n×m）]=PV0×（1+i×n）

PV0=FVt÷（1+r×t）=FVt÷[1+（i÷m）×（n×m）]=FVn÷（1+i×n）

換算后，復利利終值和現值的計算可按下列公式進行：

通過上述公式轉換可見：計息期短于一年不影響單利終值和現值的計算結果。只是影響復利，在一年期計息的時間越短，一年內計息的次數越多，利滾利的時間價值就越大，從而終值相比一年計息一次的終值大，現值則比一年計息一次小。

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（作者單位：川北醫學院管理學院 四川南充 637007；作者簡介：李偉，講師，碩士研究生，從事經濟及管理研究）

（責編：若佳）