開關磁阻電動機轉矩特性的檢測與建模研究*

宋小川，王家軍

(杭州電子科技大學自動化學院，浙江杭州310018)

0 引言

開關磁阻電動機特殊的定、轉子雙凸極結構，以及多變量耦合且工作于磁飽和狀態等特征，使得電磁轉矩的解析計算十分困難［1］。如何在滿足工程精度要求的前提下，以近似的方法獲取開關磁阻電動機的轉矩特性是開關磁阻電動機研究中的一項重要內容。通常開關磁阻電動機的電磁轉矩可利用有限元分析法或基于磁鏈模型計算得到。有限元分析法先通過電動機的定、轉子幾何尺寸等相關物理參數計算出定、轉子極附近的磁場分布，再進一步求解得到電磁轉矩［2］。磁鏈模型計算法則依據開關磁阻電動機的基本能量轉換規律，先將各角度上的磁鏈對電流積分得到磁共能，再將各電流對應的磁共能對角度微分得到電磁轉矩［3］。

本研究首先分別采用基于暫態電流和穩態電流的實驗方法，對一臺4 相8/6 極開關磁阻電動機的轉矩特性進行檢測，并根據轉矩的實測數據用曲線擬合的方法得到轉矩關于相電流和轉子位置角的解析函數T(θ，i)。最后，為了提高擬合精度，提出一種基于區間分段的擬合方法對轉矩特性進行擬合，最終所得轉矩模型具有較高的擬合精度。

1 轉矩特性的測量實驗

由于開關磁阻電動機的各相繞組完全相同且相互獨立，只需對其中的任意一相進行測量［4］。轉矩特性T(θ，i)是相電流i 和轉子位置角θ 的二元函數，因此實驗將先對每一個特定角度的轉矩-電流特性T-i 進行測量，再得到全周期完整的轉矩特性T(θ，i)。實驗過程中轉子將會被固定在某一特定位置，并向繞組供以直流脈沖電壓。通過用數字示波器記錄實驗中的轉矩和電流波形及其對應的數值T(t)和i(t)，如此便可得到該位置的轉矩-電流特性T－i。要得到整個周期的轉矩特性T(θ，i)，需要對各轉子位置進行上述實驗。

實驗電路原理圖及實驗平臺如圖1所示。

繞組經過功率開關元件IGBT 連接電源［5］。為了避免交流電源的諧波和電路中的RLC 振蕩所引起的誤差，該實驗采用一種精密可調直流穩壓電源供電。續流二極管D 在IGBT 關斷時為繞組提供釋放能量的通道，其通斷由信號發生器來控制［6］。

本研究的實驗對象為一臺四相8/6 極開關磁阻電動機，其廠家給出的基本參數如表1所示。在實驗之前需要對繞組阻值進行測量［7］。

1.1 基于暫態電流法的轉矩測量

為了測量特定位置的轉矩-電流特性，實驗需要使用分度卡盤固定電動機的轉子位置，此外還需要使用轉矩測量儀來測量具體轉矩數值。轉矩測量儀輸出為高頻數字信號，為了便于通過示波器觀察，需要通過數模轉換模塊將頻率信號轉化為電壓信號。本研究在一個繞組周期上從對齊位置到非對齊位置進行了30 組實驗，其主要步驟如下:

表1 被測樣機基本參數

(1)用分度卡盤固定好轉子位置，并用配置好的電源和觸發信號去激勵電路;

(2)用數字示波器觀測并記錄一個脈沖周期的電流-轉矩波形及各采樣點采樣數據;

(3)解除分度卡盤的鎖定，將轉子往非對齊位置轉動1°的機械角度，并重復(1)和(2)的操作;

當轉子轉動到非對齊位置時便完成了轉矩特性的檢測。部分位置的實驗波形如圖2所示。

圖2 不同位置的轉矩-電流波形

通過實驗波形可直觀地體現各變量之間的變化趨勢，但要建立精確的數學模型來找到各變量間的解析關系還需借助于具體的實驗數據。示波器在記錄實驗波形的同時也采集了31 組對應電流和轉矩的離散數據序列，為了獲取各位置轉矩與電流的對應關系，實驗選取各位置上電流和轉矩從零增長到最大值的單調區間內的采樣值，其余的值舍棄。筆者根據實驗數據用Matlab 在二維坐標中繪制出部分位置的轉矩-電流波形，如圖3所示。圖中每一條曲線代表一個位置的電流-轉矩特性。

本研究將各位置的電流-轉矩特性所組成的轉矩值矩陣轉置，可得到不同電流值對應的位置-轉矩特性如圖4所示。

圖3 不同位置的轉矩-電流曲線

圖4 不同電流的轉矩-位置曲線

可見，隨著電流的上升轉矩值有明顯波動，這是由于在暫態過程中示波器采樣存在著電磁干擾，與此同時轉子和轉矩測量儀連接處的細微相對位移以及系統轉動慣量和摩擦都會對轉矩產生影響。該實驗所采用的轉矩測量儀是高精度儀器，這些機械干擾信號均會被轉矩測量儀所捕獲，因此實驗結果的精確度并不理想。

1.2 基于穩態電流法的轉矩測量

暫態電流法是一個動態采樣過程，一方面電流和轉矩采樣序列中各采樣點難以一一對應，另一方面在動態過程中采樣電流和轉矩總會有誤差被示波器捕獲。為了消除上述兩種誤差來源，本研究現采用基于穩態電流的方法進行轉矩測量。穩態電流法將不對上升階段的電流和轉矩進行采樣，而是等電流達到最大值并保持一定時間待其進入穩定狀態后再分別對穩態電流和轉矩進行采樣，并分別取平均值。為了能夠得到足夠多的穩定狀態下的數據采樣點，需要將實驗的采樣周期和占空比增大，如此便可測得特定角度、特定電流所對應的轉矩數值。實驗方法在做出此改進之后，首先采樣時間上的誤差被消除，因為電流和轉矩都已經處于穩定狀態，它們的采樣值在時間上總是對應的。其次對穩定階段的值進行采樣并取平均進行濾波也減小了實驗誤差對結果的影響。

采用穩態電流法所得前半周期部分位置部分電流對應的實驗波形如圖5所示。其中圖5(a ～c)對應5°位置，圖5(d ～f)對應15°位置，圖5(g ～i)對應25°位置。

此時通過對稱性可得后半周期的轉矩特性，其對應的二維和三維曲線如圖6所示。

圖5 各位置上不同電流對應的轉矩波形

圖6 實測轉矩的2 維曲線和3 維曲線

圖中所示曲線完全由實驗結果直接描點繪圖所制成，沒有經過濾波或擬合的處理，從圖中可以看出由原始數據所繪圖形已經十分連續光滑，沒有明顯的波動和干擾，可見基于穩態電流法的實驗效果良好，系統誤差源被有效地抑制。根據所得轉矩曲線可知，該實驗所測得的轉矩特性與開關磁阻電動機的基本理論相符合［8-9］。

2 基于解析法的轉矩特性數學建模

在測得轉矩特性之后便可通過查表的方式得到特定電流和位置所對應的轉矩大小，然而實驗法所得轉矩數據存在一定的局限性。一方面，實驗法得到的均是離散數據，不能精確定位到任意位置、任意電流所對應的轉矩，難以滿足控制精度較高的場合。另一方面，在實際應用中查表的方式也將大量消耗控制器的資源。雖然可以通過減小實驗的步距角增加實驗次數來提高精度，但這對實驗儀器有著嚴苛的精度要求，也將耗費更多的人力物力。因此連續的轉矩-電流-位置的函數關系對于高精度的開關磁阻電動機控制至關重要，這需要得到轉矩特性的解析表達式［10］。然而開關磁阻電動機的高度非線性導致沒有現有的物理公式來描述這3 個變量間的非線性耦合關系，因此要得到轉矩特性的解析函數，需要基于轉矩的實測數據，通過曲線擬合的方式得到一個經驗公式來近似。

2.1 基于最小二乘擬合的轉矩模型

轉矩特性的曲線擬合需要先擬合出各電流對應的轉矩T 關于位置角θ 的函數T(θ，P)(其中P 為擬合系數)，再擬合出各轉子位置對應的P 關于電流i 的系數函數P(i)，從而得到轉矩的解析函數T(θ，P(i))，即T(θ，i)。本研究以實測轉矩數據為基礎，使用最小二乘法分別嘗試了7 ～12 階多項式的曲線擬合，擬合效果如圖7所示，擬合的精度指標如表2所示。

圖7 不同階數下轉矩的多項式擬合效果

表2 不同階數對應的擬合精度指標

從波形中可以看出，9 階多項式在后半區間內的擬合效果最為平滑穩定，曲線的波動程度最小，但其在小角度區間上的明顯波動影響了整體的擬合效果，故其平均相對誤差最大，達到了28.47%。按照最小二乘法的原則，應選擇均方誤差最小的10 階多項式作為擬合函數，然而在得到多項式系數后還需將各多項式系數對電流再一次進行擬合，每增加一個多項式系數便增加一次曲線擬合，這就增加了整體的計算復雜度。因此在考慮均方誤差和平均相對誤差的同時還需權衡整體的擬合難度，應盡量減少擬合函數的多項式系數。各階多項式擬合結果中，12 階多項式從4 次方項到常數項的多項式系數均為0，因此實際的系數為8 個，在各階多項式擬合結果中個數最少。與此同時，12 階多項式擬合的平均相對誤差和均方誤差分別為14.99%與0.010 9，與9 階多項式的對應精度指標僅有微小差別，因此本研究選擇12 階多項式作為擬合函數，即:

以式(1)作為轉矩的擬合函數，分別對電流為1 A ～7 A時所對應的7 組轉矩-角度特性進行擬合，可得7組多項式系數。由于P9～P13均為零，實際的轉矩函數如下式:

得到各電流對應的多項式系數P1～P8后，還需對各系數Pi(i =1 ～8)再進行一次關于電流的擬合，以得到最終的轉矩函數，即:

經試驗，5 階多項式擬合的結果精度較高，這將會產生新的8 組多項式系數，將各組多項式系數分別代入其對應多項式函數即可得到要求的8 個多項式系數函數P1(i)～P8(i)。最后將P1(i)～P8(i)代入式(3)便得到了最終的轉矩擬合函數T(θ，i)，其對應的二維曲線及其整個周期的三維曲面如圖8所示。擬合的總體平均相對誤差為14.89%，均方誤差為0.011 0。由此便完成了轉矩特性解析模型的建立。

2.2 基于區間分段的轉矩擬合模型

圖8 轉矩特性的解析模型

轉矩函數的平均相對誤差達到了14.89%，與實際轉矩特性已經有了較為明顯的誤差。這是由于轉矩函數的波形具有強烈的非線性，難以找到能反映其變化規律的基本初等函數作為擬合函數。與此同時，轉矩波形在其周期內的單調性也有變化，在前三分之一周期內為增函數，后三分之二周期內為減函數，且轉矩增加的速度很快，減少的趨勢卻較為平緩，中間還有一段接近水平的區域。若使用同一種函數來進行擬合，對轉矩特性的跟蹤將顧此失彼，難以同時準確地擬合出兩種相反的變化趨勢。因此本研究將針對此問題對轉矩特性以分段的方法進行擬合，也就是將擬合的區間從轉矩增減性發生改變的位置附近分開成兩個單調區間，前半區間為增區間，后半區間為減區間。然后再分別對這兩個單調區間上的轉矩特性進行擬合，分別得出兩個區間上的解析函數，最后通過分段函數的形式給出轉矩特性的解析函數。

由轉矩的實測波形可知，從非對齊位置到8°位置附近的區間內轉矩單調增加，其后到對齊位置的區間內轉矩單調減少，因此本研究首先以8°位置為分界點，將角度區間分為增區間和減區間兩個部分。與此同時將轉矩的實測數據也以8°為分界點分前、后兩個部分，并依此數據為基礎，分別對增減區間的轉矩數據進行擬合。擬合仍然采用最小二乘的方法，并以多項式函數作為擬合函數。經試驗，增、減區間的擬合函數分別選取7 階多項式和5 階多項式可以得到較高的擬合精度，其擬合效果圖如圖9所示。

圖9 使用分段法所得轉矩特性的擬合效果

增區間和減區間所對應的擬合轉矩和實際的對比圖如圖9(a)、9(b)所示。從圖中可以明顯看出采用分段的方法擬合轉矩較為精確地跟蹤了實測轉矩，前半區間與后半區間的總體平均相對誤差減小到了3.61%，均方誤差減小到了5.82 ×10－4。因此對于從非對齊位置到對齊位置的完整區間，固定電流的轉矩-角度的解析函數是一個以8°為分段點的分段函數，兩個區間上都為多項式函數，階數分別為7 階和5 階，即:

式中:P1～P8—增區間轉矩函數的多項式系數;Q1～Q6—減區間轉矩函數的多項式系數。與完整區間上的轉矩擬合一樣，此時需要進一步完成各多項式系數對電流的擬合，以得到各多項式系數關于電流的函數，并最終求出轉矩關于角度和電流的二元函數，即:

經試驗，前、后半周期均采用7 階多項式可達最佳擬合精度效果。將擬合所得關于電流的多項式系數分別代入前、后半周期的各多項式函數，便得前半周期的多項式系數函數P1(i)～P8(i)以及后半周期的多項式系數函數Q1(i)～Q6(i)。最后分別將式P1(i)～P8(i)和式Q1(i)～Q6(i)代入式(5)，便得到了使用區間分段擬合法的解析函數。現在本研究根據解析函數繪制出整個周期的轉矩擬合曲線和轉矩實測曲線的二維曲線，以及經對稱化處理后的轉矩三維曲面圖形，分段擬合法的轉矩曲線及轉矩曲面如圖10所示。

圖10 分段擬合法的轉矩曲線及轉矩曲面虛線為實測轉矩，實線為擬合轉矩

從圖中可以看出使用分段的方法后擬合轉矩對實測轉矩的擬合效果較為理想，從圖像中已難看出明顯誤差。擬合的平均相對誤差為6.14%，均方誤差為0.024 5，精度較高。因此，使用基于區間分段擬合法的效果要明顯好于完全區間擬合法。

3 結束語

本研究針對開關磁阻電動機轉矩特性難以獲取的問題，首先分別用基于暫態電流和穩態電流的方法對一臺4 相8/6 極開關磁阻電動機進行了轉矩測量實驗，其中使用穩態電流法所測得轉矩精度較高;接著在實驗測得的轉矩數據的基礎上，對實驗樣機的轉矩特性進行了數學建模。建模主要使用基于最小二乘的曲線擬合方法，得到了實驗樣機轉矩關于相電流和轉子位置角的函數解析式。

同時，本研究還提出了一種區間分段擬合的方法，提高了擬合精度。

［1］KRISHNAN R.Switched Reluctance Motor Drives［M］.Florida:CRC Press，2001.

［2］GOBBI R，SAHOO N C，VEJIAN R R.Rising and Falling Current Methods for Measurement of Flux-Linkage Characteristics of Switched Reluctance Motors:A Comparative Study［C］.2006 First IEEE International Power and Energy Conference，Putra Jaya，Malaysia，2006:383-387.

［3］TORREY D A，LANG J H.Modeling a nonlinear variable reluctance motor drive［J］.Electric Power Applications，IEE Proceedings B，1990，137(5):314-326.

［4］FUENGWARODSAKUL N H，BAUER S，TSAFAK O，et al.Characteristic Measurement System for Automotive Class Switched Reluctance Machines［C］.2005 IEEE 11th European Conference on Power Electronics and Applications，Dresden，Germany，2005:1-10.

［5］ZHANG Peng，CASSANI P A，WILLIAMSON S S.An accurate inductance profile measurement technique for switched reluctance machines［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2010，57(9):2972-2979.

［6］宋小川，王家軍.開關磁阻電動機的一種磁鏈建模方法研究［J］.機電工程，2014，31(11):1426-1430.

［7］GOBBI R，SAHOO N C，VEJIAN R.Experimental investigations on computer-based methods for determination of static electromagnetic characteristics of switched reluctance motors［J］.IEEE Transactions on instrumentation and measurement，2008，57(10):2196-2211.

［8］MILLER T J E.Switched Reluctance Motors and Their Control［M］.Oxford:Magna Physics Publishing and Clarendon Press，1993.

［9］MILLER T J E.Electronic Control of Switched Reluctance Machines［M］.Oxford:Newnes Press，2001.

［10］VUJICIC V P.Modeling of a switched reluctance machine based on the invertible torque function［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2008，44(9):2186-2194.