導電聚合物驅動器的自適應滑模控制研究*

許 洋，王湘江，劉懷民

(南華大學機械工程學院，湖南衡陽421001)

0 引言

在過去十年里，基于吡咯、噻吩、苯胺等導電聚合物驅行器由于其功耗低、重量輕、結構簡單、操作簡便、無需高電壓驅動，對磁場不敏感和工作無噪音等優點，已被作為高性能智能驅動器進行了廣泛研究。這些驅動器也被稱為人造肌肉，其工作原理基于離子在導電聚合物層的遷移［1-6］。大量的研究一直致力于構建其電化學機械行為模型，通過控制其彎曲變形以增強驅動器的定位能力。各國學者已經建立一些有效的數學模型［7-12］，但這些模型的精度和適應性需要進一步的研究。基于逆模前饋控制是一種開環控制方法［13］，這種方法無需要反饋的數據就能控制其彎曲位移［14］，但其不具有魯棒性。

在已有研究的基礎上，本研究首先采用遞推最小二乘法，對所制作的能在空氣介質中工作的多層彎曲型導電聚合物驅動器進行建模研究［15］。針對模型特性，提出了一種自適應滑模控制律來控制驅動器的彎曲位移。理論上證明了自適應滑模控制方法的穩定性。最后，通過實驗證明控制該方法有較好的信號跟隨能力。本研究中所使用的驅動器是一個多層(三層)的聚吡咯電活性聚合物驅動器，該驅動器可在空氣和液體介質下工作。

1 數學模型的建立

多層驅動器的結構如圖1所示。筆者所研究的導電聚合物驅動器最外層為活性聚吡咯層，中間層是能容納液體電解質的多孔隔板(偏二氟乙烯PVDF)，PVDF 兩側是很薄的鍍金層。該多層結構能夠產生類似于雙層懸臂結構的簡單彎曲運動。當電勢差或電流通過聚合物(聚吡咯)的電極時，驅動器由于電化學反應作用其尖端發生彎曲產生機械運動。

圖1 多層驅動器的結構

為實現驅動器的精確運動，測控系統的實驗裝置如圖2所示。

圖2 實驗裝置示意圖

驅動器的輸入電壓信號先由計算機輸出，該系統包含了NI USB-6251，DAQ 及電子數據采集接口。電壓信號被發送到驅動器的兩電極。驅動器的尖端的位移由非接觸式激光位移傳感器(NCDT-1700-10)測量。

驅動器工作包含了電、化學和機械過程。由理論分析可得驅動器的傳遞函數為［16］:

式中:u(s)—輸入電壓信號，y(s)—輸出位移信號。

最小二乘遞歸識別方法可以用來在線識別驅動器的參數。該數學模型(1)可以表述為:

參數θ 定義為:

變形參數φ(t)由下式給出:

公式(2)可表述成:

遞推最小二乘算法為:

式中:β—一個正常數;P(t)—一個對稱的正定矩陣。

當n=2，式(1)可以簡化為一個二階系統，參數向量θ 可以寫成:

變形向量可寫成:

為了消除高頻干擾，向量φ(t)通過一個低通濾波器H(S)進行濾波:

式中:α1，α2—正常數。

實驗用驅動器的尺寸為15 mm ×4 mm ×0.17 mm。二階系統的參數的變化如圖3所示。

圖3 模型參數的收斂性

在線識別模型輸出和驅動器的實驗輸出對比如圖4所示。可以看出將系統看成二階系統其誤差非常小。精確的驅動器模型可由下式給出:

式中:Δ(s)—未建模的動態參數，?(s)—測量噪聲。參照圖5，可知Δ(s)很小且有界，?(s)有界的。

圖4 在線識別系統的實驗結果

驅動器模型可簡化為二階線性系統進行分析，具有如下結構:

由式(13)可得:

2 自適應滑模控制器

滑模控制律的切換函數定義為:

式中:yd—期望軌跡;λ—一個正常數。

由式(14，15)可得:

為了保證正常運動段的品質，可采用如下趨近律:

其中:Kd＞0。

由公式(16，17)可得:

因此:

式中:φ =1/b0，使用以下定義來證明所提出的控制方法的穩定性:

式(19)可寫為:

如果:

驅動器的滑模控制律可寫為:

式中:γ，μ，η，q—正常數。

定理:對于由公式(12)給出的系統，基于公式(27 ～30)給出的滑模控制器的自適應律，對于所有有界信號都存在，當t→∞時y(t)→yd(t)。

證明:使用式(16，20 ～23，26)和式中s 的定義，并注意到:

有:

定義如下的Lyapunov 函數:

其導函數:

式(33，34)表明:V(t)為非遞增函數，由Lyapunov穩定性理論可知系統穩定。

3 實驗結果與討論

由于式(25 ～30)中的參數Kd，λ，γ，μ，η 和q 可進行仿真得到參數初值。函數s 當ε=0.001 25 時，由s－εsat(s/ε)替換，以減輕系統輸出的抖振現象。sat(·)是飽和函數。

為驗證控制率的實際效果，輸入期望的軌跡yd=1.5sin(ωt)，選擇不同頻率范圍;ω = 0.25 rad/s，0.5 rad/s，1.0 rad/s，2.0 rad/s。實驗結果如圖(5 ～9)所示(其中:e(t)—驅動器的輸出位移y(t)與期望輸入yd(t)之間的跟蹤誤差)。

圖5 輸入信號yd =1.5sin(0.25πt)的控制效果

圖6 輸入信號yd =1.5sin(0.5πt)的控制效果

此外，自適應滑模控制器的動態位移響應由兩個混合正弦軌跡進行驗證;軌跡A(yd=1.2sin(0.25πt)+0.3sin(πt))如圖9所示，軌跡B(yd=1.2sin(πt)+0.3sin(4πt))如圖10所示。跟蹤誤差的均方根平方(RMS)如表1、表2所示。RMS 由下式給出:

圖7 輸入信號yd =1.5sin(πt)的控制效果

圖8 輸入信號yd =1.5sin(2πt)的控制效果

圖9 輸入信號yd =1.2sin(0.25πt)+0.3sin(πt)的控制效果

圖10 輸入信號yd =1.2sin(πt)+0.3sin(4πt)的控制效果

表1 yd =1.5sin(ωt)的均方根誤差

表2 混合正弦軌跡的均方根誤差

位移輸出和信號跟蹤誤差如圖5 ～10所示。輸出位移y(t)與期望輸入yd(t)如圖5(a)～10(a)所示，從圖上看輸出位移y(t)與期望輸入yd(t)幾乎重合。這說明，自適應滑模控制方法表現出優異的跟蹤特性。控制輸入和位置跟蹤誤差如圖5(b)～10(b)所示。由位置跟蹤誤差表明:控制方法很好的補償了簡化模型的不確定性和未建模動態，位置跟蹤誤差的均方根在0.032 mm 內，且狀態穩定，說明所提出的自適應滑模控制方法是有效的。同時，如圖(5 ～10)、表(1 ～2)所示，頻率越高，RMS 也越大。

實驗結果說明，自適應滑模控制方法是穩定的，且能很好地跟隨期望的軌跡。需要注意的是，自適應滑模控制方案跟蹤誤差沒有完全消除，原因主要是由于測量噪聲造成的，且信號頻率越高，噪聲影響越大。

4 結束語

本研究提出一種自適應滑模控制方法來控制彎曲型導電聚合物驅行器的尖端位移輸出。使用遞歸最小二乘法來在線識別驅動器的系統模型參數，由辨識結果可知，驅動器可簡化為二階系統，簡化模型使控制系統的設計和實現變得更加容易。為使控制器具有適應性和魯棒性，采用自適應滑模控制律來實現對驅動器的動態精確控制。此種控制律的實施是可行的，并且僅僅只需要知道一個簡化的導電聚合物驅行器模型以及未建模動態和不確定性的邊界。自適應滑動模式控制方法的穩定性已在理論上證明，實驗也顯示控制系統能有效地控制驅動器的彎曲位移。

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