壓縮感知在波達方向估計中的應用?

史雪輝,朱 偉,鄭 禹

(1.中國人民解放軍海軍駐合肥地區軍事代表室,安徽合肥230088;2.中國電子科技集團公司第三十八研究所,安徽合肥230088;3.安徽建筑大學,安徽合肥230601)

0 引言

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論[1]與Nyquist采樣定理不同,它指出只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的,那么就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將高維信號投影到一個低維空間上,將信號的采樣變成信息的采樣,然后通過求解一個優化問題就可以從這些少量的投影中高概率重構出原信號,可以證明這樣的投影包含重構信號的足夠信息。在CS理論框架下,采樣速率不決定于信號的帶寬,而決定于信息在信號中的結構和內容[2],突破了Nyquist采樣定理的限制,為信號的采集和處理提供了新的思路。

實際中,被測目標在空域內是稀疏的,因此可以將目標DOA估計問題看成是一個稀疏向量的重構問題,該稀疏向量中非零元素的位置信息表征目標的角度信息,即空間譜是稀疏的。隨著壓縮感知理論的逐漸發展,其在陣列DOA估計領域中的應用也開始嶄露頭角。文獻[3]將稀疏分析引入到陣列DOA估計中,通過對空間角度的離散化建立稀疏重構模型,然后使用二階錐規劃求解優化問題;文獻[4]采用空域稀疏的概念,提出l-1 SVD算法,能直接應用于相干源的DOA估計,但在其優化問題求解過程中,最優正則化參數的選取仍需要進一步研究;文獻[5]提出的高分辨DOA估計算法,在一定程度上也受正則化參數選取的困擾;文獻[6]利用多個時刻的陣元接收數據的隨機投影重構一個稀疏的角空間場景,給出信源數及其DOA,在低信噪比情況下無法適用;文獻[7]提出一種壓縮采樣陣列,能有效降低硬件規模,采用多測量矢量欠定系統聚焦求解(MFOCUSS)算法實現DOA估計,但該算法在快拍數較多時運算復雜度較高,在低信噪比情況下估計性能較差;文獻[8]在壓縮采樣陣列的基礎上,提出一種基于奇異值分解的壓縮采樣陣列DOA估計算法,利用陣列結構建立過完備原子庫,對接收數據矩陣進行奇異值分解,最后將信號子空間分解到最佳基向量上,實現空域信號DOA的高分辨估計,但要求陣元數較多。

針對以上問題,本文提出基于協方差矩陣CS、陣列內插CS和波束空間CS的DOA估計算法,利用目標在空域的稀疏性,分別在協方差矩陣、虛擬內插陣和波束空間上進行壓縮采樣,構建出新的DOA估計壓縮感知模型,通過稀疏重建算法來進行信號重構,得到目標的高分辨DOA估計。最后給出計算機仿真結果。

1 基于壓縮感知的DOA估計模型

考慮K個遠場窄帶信號入射到M個各向同性陣元組成的均勻線陣,信源個數已知,且M＞K,陣元間距為d,信號入射角為θi(i=1,2,…,K),則陣列在t時刻的接收信號為

式中:x為M×1維的陣元接收數據;n為M×1維的白噪聲,滿足零均值、方差為σ2的復高斯分布,各陣元輸出噪聲統計獨立;s=[s1,s2,…,sK]T為K×1維的信號矢量;A為M×K維陣列流型:

式中,a(θi)=[1,a(θi),…,aM-1(θi)]T為第i個信源的導向矢量,a(θi)=ex p(-j2πd sin(θi)/λ,λ為入射信號的波長。

信源是空域稀疏的,采用某種空間網格劃分可以實現其稀疏性表示。將需要考慮的空間劃分為{θ1,θ2,…,θN},假設每個θn(n=1,2,…,N)都對應一個潛在的信源sn。為了體現信源的空域稀疏性,N?K,這樣就構造一個N×1維的空域稀疏信號S=[s1,s2,…,sN]T,在S中只有實際存在目標的K個位置有非零元素,其他N-K個位置均為零。因此,式(2)可以寫為

式中,Ψ為信號稀疏化表示以后對應M×N維陣列流型,也被稱為超完備冗余字典。顯然,x和S是等價的。

通過求解如下1范數優化問題,就可以對式(3)進行信號重構:

CS理論指出,把陣列的量測信號x投影到另一個與Ψ不相關的L×M(L?M)維觀測矩陣Φ上,即用觀測矩陣Φ對x進行線性變換,得到L×1維的觀測信號y,從而實現對x的空域壓縮采樣[9](Spatial CS,S-CS):

通過求解如下最優化問題可以從觀測信號y中高概率地重構信號矢量S:

式中,β為噪聲標準差。同時CS理論指出信號稀疏性越強(K越小,即信源個數越少),重構誤差越小[10]。

常用的重構算法可以分為如下幾類:

1)貪婪追蹤算法:這類方法是通過每次迭代時選擇一個局部最優解來逐步逼近原始信號。這些算法包括正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法[11]等。

2)凸松弛法:這類方法通過將非凸問題轉化為凸問題求解找到信號的逼近,如內點法[12]等。

3)組合算法:這類方法要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建,如鏈式追蹤[13]等。

但是每種算法都有其固有的缺點。凸松弛法重構信號所需的觀測次數最少,但往往計算量較大。貪婪追蹤算法在運行時間和效率上都位于另兩類算法之間。

2 壓縮感知在DOA估計中的應用

實際中,大部分陣列都為均勻布陣,而且受陣列大小限制,陣列的量測信號x維數有限,相應對x進行壓縮采樣得到的觀測信號y維數過小,利用y進行稀疏重構得到的信號S誤差較大,因此S-CS算法在DOA估計中性能較差。

2.1 協方差矩陣CS算法

量測信號x的維數為M,其協方差矩陣的維數為M×M,對協方差矩陣進行壓縮采樣可以獲得維數較大的觀測信號y,再進行稀疏重構,稱為協方差矩陣CS算法[14](Covariance Matrix CS,CM-CS)。

陣列量測信號矢量x的協方差矩陣R為

式中,RS為信源協方差矩陣,σ2n為噪聲功率。當各信源不相關時,RS為實值對角陣。

對式(7)矩陣矢量化得到

式中,Rv=vec(R),Ψv=[av(～θ1),av(～θ2),…,N),Sv=diag(RS),Sv和S包含相同的空域信息,Iv=vec(I)。

Rv為M2×1維矢量,用L×M2(L?M2)維觀測矩陣ΦC對Rv進行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優化問題轉換為

從以上公式推導中可以看出,只有在信源不相干時,RS才為實值對角陣,針對相干信源問題,提出以下的陣列內插CS算法和波束空間CS算法。

2.2 陣列內插CS算法

通過對M個陣元進行陣列內插,得到陣元為Q(Q?M)的虛擬陣列,從而提高陣列量測信號的維數,然后對虛擬陣列的量測信號進行壓縮采樣,獲得的觀測信號y維數較大,再進行稀疏重構,稱為陣列內插CS(Interpolated Arrays CS,IA-CS)算法。

假設信源位于空域Θ內,將空域Θ劃分為P(P?M)份:

式中,θl,θr為Θ的左右邊界,Δθ為步長。則在空域Θ內,真實陣列的陣列流型矩陣為

在同一空域Θ內,通過陣列內插后到的虛擬陣列的陣列流型矩陣為

因此,內插變換矩陣BI為

在考慮噪聲的情況下得到內插變換矩陣BI為

對內插變換矩陣BI進行預白化處理,得到白化內插變換矩陣TI:

通過陣列內插得到的虛擬陣列的量測信號為

zI為Q×1維矢量,用L×Q(L?Q)維觀測矩陣ΦI對zI進行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優化問題轉換為

2.3 波束空間CS算法

S-CS算法、CM-CS算法和IA-CS算法都是建立在陣元域,即每個陣元都對應一個數據通道,可以先將陣列的量測信號矢量x變換至波束域,然后對波束域的量測信號進行壓縮采樣,再進行稀疏重構,稱為波束空間CS(Beam Space CS,BS-CS)算法。

假設信源位于空域Θ內,空域Θ的定義如式(11),在空域Θ內進行波束形成得到P個波束,波束變換矩陣BB為

對波束變換矩陣BB進行預白化處理,得到白化波束變換矩陣TB:

通過波束變換后得到的波束域量測信號為

zB為P×1維矢量,用L×P(L?P)維觀測矩陣ΦB對zB進行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優化問題轉換為

3 計算機仿真

仿真過程中,針對垂直布置的20個水平極化天線陣元組成的等距布陣,陣元間距半波長,雷達架高20 m,地面反射系數為-0.95,載波頻率為300 MHz,只考慮鏡面反射。將前后向空間平滑MUSIC算法[15](SS-MUSIC)、交替投影最大似然[16](AP-ML)、多測量矢量欠定系統聚焦求解算法[17](FOCUSS)和空域壓縮采樣[9](S-CS)與協方差矩陣CS算法、陣列內插CS算法和波束空間CS算法進行性能比較。SS-MUSIC算法中空間平滑次數為2次,FOCUSS算法中正則化系數p=0.8。搜索的空域間隔為0.01°?？沼颚ǘx為[-10°,-9.9°,…,10°],間隔0.1°。S-CS算法中L=4。IA-CS算法中在每兩個陣元中內插9個虛擬陣元,得到的內插陣的總陣元數為Q=191。BS-CS算法中的波束數P=200。IA-CS算法和BS-CS算法中L=20。最優化問題采用OMP算法進行求解。

仿真一:不考慮多徑反射時的DOA估計性能隨信噪比的變化

仿真條件:單個目標,目標入射角為10°,陣元信噪比從-10 dB變化至20 dB,快拍數為20。500次Monte-Carlo實驗統計的DOA估計均方根誤差如圖1所示。從圖1可以看出,在不考慮多徑反射時,針對單個目標,3種基于壓縮感知的DOA估計算法性能比較接近,略優于常規MUSIC算法。

圖1 仿真一信噪比變化時的性能曲線

仿真二:考慮多徑反射時的DOA估計性能隨信噪比的變化

仿真條件:單個目標,目標與參考天線的距離為200 km,目標直達角為2°,多徑反射角為-2.01°,陣元信噪比從-10 d B變化至20 d B,快拍數為20。500次Monte-Carlo實驗統計的DOA估計均方根誤差如圖2所示。

從圖2可以看出,在考慮多徑反射時,IA-CS算法和BS-CS算法的信噪比門限大于其他算法的信噪比門限。隨著信噪比的增加,IA-CS算法和BS-CS算法的DOA估計精度急劇增加,在信噪比門限以上其DOA估計性能明顯優于其他算法。

圖2 仿真二信噪比變化時的性能曲線

仿真三:不同仰角對算法估計精度的影響

仿真條件:單個目標,目標高度為12 000 m,距離從50 km飛至650 km,信噪比為10 d B,快拍數為10。蒙特卡羅實驗次數為100次。

圖3給出幾種算法進行100次獨立實驗的角度估計結果,其中實線為目標真實值?？梢钥闯鯥A-CS算法和BS-CS算法性能優于其他兩種傳統DOA估計算法。

4 結束語

利用目標空域稀疏的特點,將壓縮感知方法引入到DOA估計問題中,推導了協方差矩陣壓縮感知、內插陣壓縮感知和波束空間壓縮感知DOA估計方法,將DOA估計問題視為1范數最優化問題,有效提高了算法的性能,并通過仿真和實測數據處理驗證這幾種方法的高分辨率和測角精度。計算機仿真結果表明,通過稀疏分析,為低信噪比和快拍數較少的環境下DOA估計提供了一種有效的解決方法。相比于應用最為廣泛的子空間類算法,該算法在少量采樣下更具有優勢,類似子空間類算法,該算法隨著采樣點的增多可以提高估計效果,此外建立模型時并未要求信號源是相互獨立的,因此對空域信號的相關性不敏感,可以直接用于相干信號的DOA估計,且具有更高的角度分辨率。

圖3 幾種算法多次實驗結果

[1]CANDèS E J.Compressive Sampling[C]∥International Congress of Mathematicians,Madrid,Spain:[s.n.],2006:1433-1452.

[2]焦李成,楊淑媛,劉芳,等.壓縮感知回顧與展望[J].電子學報,2011,39(7):1651-1662.

[3]王健,宗竹林.前視SAR壓縮感知成像算法[J].雷達科學與技術,2012,10(1):27-31,36.

[4]MALIOUTOV D,CETIN M,WILLSKY A S.A Sparse Signal Reconstruction Perspective for Source Localization with Sensor Arrays[J].IEEE Trans on Signal Processing,2005,53(8):3010-3022.

[5]賀亞鵬,李洪濤,王克讓,等.基于壓縮感知的高分辨DOA估計[J].宇航學報,2011,32(6):1344-1349.

[6]CEVHER V,GURBUZ A C,MCCLELLAN J H,et al.Compressive Wireless Arrays for Bearing Estimation[C]∥IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,Las Vegas,NV:IEEE,2008:2497-2500.

[7]WANG Y,LEUS G,PANDHARIPANDE A.Direction Estimation Using Compressive Sampling Array Processing[C]∥IEEE/SP 15th Workshop on Statistical Signal Processing,Cardiff:IEEE,2009:626-629.

[8]薛會祥,趙擁軍.基于CS陣列的DOA估計[J].電子測量與儀器學報,2012,26(3):208-214.

[9]BILIK I.Spatial Compressive Sensing for Direction-of-Arrival Estimation of Multiple Sources Using Dynamic Sensor Arrays[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2011,47(3):1754-1769.

[10]ZHU W,CHEN B X.Novel Methods of DOA Estimation Based on Compressed Sensing[J].Multidimensional Systems and Signal Processing,2015,26(1):113-123.

[11]NEEDELL D,VERSHYNIN R.Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Measurements via Regularized Orthogonal Matching Pursuit[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2010,4(2):310-316.

[12]薛會祥,趙擁軍,郭磊.基于交替下降求解的稀疏信號重建算法[J].信息工程大學學報,2012,13(2):211-217.

[13]GILBERT A C,LI Y,PORAT E,et al.Approximate Sparse Recovery:Optimizing Time and Measurements[J].SIAM Journal on Computing,2012,41(2):436-453.

[14]ZHENG J,KAVEH M.Directions-of-Arrival Estimation Using a Sparse Spatial Spectrum Model with Uncertainty[C]∥IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,Prague,Czech Republic:IEEE,2011:2848-2851.

[15]LI J.Improved Angular Resolution for Spatial Smoothing Techniques[J].IEEE Trans on Signal Processing,1992,40(12):3078-3081.

[16]ZHU W,CHEN B X.Altitude Measurement Based on Terrain Matching in VHF Array Radar[J].Circuits,Systems and Signal Processing,2013,32(2):647-662.

[17]GORODNITSKY I F,RAO B D.Sparse Signal Reconstruction from Limited Data Using FOCUSS:A Re-Weighted Minimum Norm Algorithm[J].IEEE Trans on Signal Processing,1997,45(3):600-616.