MC-SAR 改進(jìn)正交子空間相位誤差估計(jì)算法?

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410073)

0 引言

方位多通道SAR[1-3]是為了滿(mǎn)足高分辨率寬測(cè)繪帶成像而產(chǎn)生的新技術(shù)。它將一個(gè)大天線(xiàn)分成多個(gè)沿平臺(tái)(衛(wèi)星或飛機(jī)等)航向排列的小天線(xiàn),且每個(gè)小天線(xiàn)都有各自獨(dú)立的接收通道。在系統(tǒng)發(fā)射端,一般以部分孔徑(或全孔徑加波束展寬)形成方位向和俯仰向的寬波束照射場(chǎng)景,同時(shí)為了避免距離模糊,系統(tǒng)的脈沖重復(fù)頻率(PRF)較低;在接收端,各小天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的通道同時(shí)接收回波,單個(gè)通道的數(shù)據(jù)存在方位模糊,通過(guò)利用多通道數(shù)據(jù)完成方位譜重構(gòu)實(shí)現(xiàn)解方位模糊,得到不模糊的信號(hào)。它的核心思想就是以空間采樣率的增加換取時(shí)間采樣率的降低。

要完成多個(gè)通道數(shù)據(jù)的方位譜重構(gòu),要求各通道的特性一致,各通道對(duì)應(yīng)小天線(xiàn)的等效相位中心位置也要排列在與航線(xiàn)方向上。然而實(shí)際情況下,各種非理想因素會(huì)產(chǎn)生通道相位誤差[4]。關(guān)于通道相位誤差的估計(jì)與補(bǔ)償,文獻(xiàn)[5]提出了一種基于回波數(shù)據(jù)的通道誤差時(shí)域估計(jì)方法,此方法在時(shí)域通過(guò)相鄰?fù)ǖ赖母缮孢M(jìn)行通道相位誤差的估計(jì),無(wú)需時(shí)頻域變換,效率比較高;文獻(xiàn)[6]提出了一種加權(quán)的最小化方位譜旁瓣功率(AWLS)方法,該方法認(rèn)為通道相位誤差增加了方位譜多普勒帶寬外的噪聲能量,而對(duì)帶內(nèi)的能量影響不大;文獻(xiàn)[7]提出了一種最小化旁瓣主瓣功率比(MSCR)算法,此方法認(rèn)為誤差得到較好校正時(shí),選取的中心區(qū)間能量與側(cè)邊區(qū)間能量比值趨于最小值;文獻(xiàn)[8]提出了一種通道相位誤差估計(jì)正交子空間(OS)算法,此方法把來(lái)自同一多普勒頻點(diǎn)的不同方向的雜波分量看成“虛擬校正源”,然后利用已知校正源方向的陣列誤差方法來(lái)估計(jì)通道相位誤差,方法在方位多普勒域估計(jì)與補(bǔ)償通道相位誤差,估計(jì)精度比較高,但通道數(shù)較少時(shí)會(huì)有估計(jì)協(xié)方差矩陣不滿(mǎn)秩而帶來(lái)算法不穩(wěn)健的問(wèn)題。

本文對(duì)文獻(xiàn)[8]的方法進(jìn)行了改進(jìn),下文稱(chēng)文獻(xiàn)[8]方法為常規(guī)OS算法。常規(guī)OS算法的通道相位誤差估計(jì)是對(duì)單個(gè)多普勒頻點(diǎn)利用信號(hào)子空間與噪聲子空間正交的約束建立起代價(jià)函數(shù),這時(shí)協(xié)方差矩陣的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)不滿(mǎn)秩的情況。針對(duì)這一情況,考慮各通道在不同多普勒單元上的通道相位誤差基本不變,在全部多普勒頻點(diǎn)上利用信號(hào)子空間與噪聲子空間正交的約束建立起修正的代價(jià)函數(shù),從而解決協(xié)方差矩陣估計(jì)不滿(mǎn)秩的問(wèn)題。另外還考慮了方向圖對(duì)信號(hào)子空間的加權(quán)作用,使得通道相位誤差估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確。

1 信號(hào)模型

圖1是方位多通道SAR的示意圖,T/R表示發(fā)射和接收組件,v表示平臺(tái)移動(dòng)的速度。相鄰接收通道之間天線(xiàn)中心沿航向間隔為Δx,在圖中為子孔徑1(或者說(shuō)為通道1小天線(xiàn)等效相位中心)到子孔徑2的距離。參考通道在方位時(shí)刻η的天線(xiàn)等效相位中心坐標(biāo)為(vη,0,0),目標(biāo)的坐標(biāo)為(x,y,z),則目標(biāo)到參考通道的距離為第m個(gè)通道天線(xiàn)等效相位中心的坐標(biāo)為(vη+ηm,0,0),其中,dm為第m個(gè)通道和參考通道之間天線(xiàn)等效相位中心的距離間隔,M為通道數(shù)目,則第m個(gè)通道到目標(biāo)的單程等效距離可表示為

圖1 方位多通道SAR示意圖

假設(shè)參考通道信號(hào)為

式中:pr(τ)表示線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào);c,λ分別表示發(fā)射電磁波波速和波長(zhǎng)。由于距離向不模糊也不影響分析,公式推導(dǎo)時(shí)不考慮距離向的影響,即忽略快時(shí)間項(xiàng)τ,參考通道信號(hào)記為s(η),記,由此第m個(gè)通道接收的回波信號(hào)zm(η)可由s(η)表示為

式中,fs=PRF為脈沖發(fā)射頻率,或者說(shuō)是方位采樣頻率。采樣信號(hào)的多普勒譜為

式中,fη為多普勒頻率,Zm(fη)與S(fη)分別為zm(η)和s(η)的傅里葉變換。

若需要重構(gòu)的不模糊信號(hào)的多普勒帶寬Ba小于重構(gòu)帶寬K·PRF,即滿(mǎn)足Ba≤K·PRF,K為重構(gòu)的PRF倍數(shù),取為正整數(shù),K≤M。fdc為多普勒中心,則需要重構(gòu)的頻帶為區(qū)間IA=fdc+[-K·fs/2,K·fs/2],重構(gòu)時(shí)參考方位頻譜區(qū)間取為IB=fdc+[-K·fs/2,-K·fs/2+fs],重構(gòu)的目的就是把多個(gè)通道方位頻譜區(qū)間在IB上模糊的信號(hào)(由頻譜周期延拓的特點(diǎn),頻譜區(qū)間在IB上的信號(hào)可以完全表示該模糊信號(hào)的信息量)重構(gòu)出頻帶區(qū)間在IA上的不模糊信號(hào),如圖2取fdc=0,K=2,信號(hào)混疊在虛線(xiàn)表示的[-fs,0]范圍內(nèi)(由頻譜周期延拓的性質(zhì),也可以說(shuō)混疊在[-fs/2,fs/2]),而需要重構(gòu)出用實(shí)線(xiàn)表示的[-fs,fs]內(nèi)的頻譜以實(shí)現(xiàn)解模糊。在頻帶范圍IB內(nèi)的第m個(gè)通道的多普勒譜可以表示為

上式可以理解為把不同方位角混疊在IB內(nèi)的信號(hào)加在一起,或者也可以理解為信號(hào)周期延拓的頻率較低使得信號(hào)混疊,把混疊在IB內(nèi)的信號(hào)加在一起,這里的近似是把重構(gòu)區(qū)間外的天線(xiàn)方向圖增益認(rèn)為為0,并且省略了相位誤差項(xiàng)φm,后面修正模型時(shí)會(huì)加入,由此可以將多個(gè)通道的信號(hào)寫(xiě)成矩陣形式:

式中,Z(fη)=[Z1(fη)Z2(fη) … ZM(fη)]T為觀(guān)測(cè)信號(hào)的矩陣形式,A(fη)=fs[a(fη)a(fη+fs) … a(fη+(K-1)fs)]為導(dǎo)向矢量矩陣形式,其中為a(fη+kfs)的具體形式,S(fη)=[S(fη)S(fη+fs)… S(fη+(K-1)fs)]T為多通道信號(hào)矩陣。

圖2 多普勒頻域和照射角度的關(guān)系

下面進(jìn)一步考慮通道誤差的影響來(lái)修正模型,方位譜重構(gòu)要求各通道的特性一致,各通道位置的相位中心也要求與航線(xiàn)位置基本一致。對(duì)于實(shí)際的多通道系統(tǒng),各個(gè)接收通道的幅相特性并不完全一致,并且各通道相位中心位置測(cè)量也存在誤差。對(duì)于通道特性不完全一致及通道相位中心位置測(cè)量引起的誤差,一般考慮常數(shù)項(xiàng)相位誤差及幅度誤差,第m個(gè)通道的幅相誤差[8-9]可表示為

式中:gm為幅度誤差;?m為常量的相位誤差,由通道特性不一致等原因引起,區(qū)別于式(3)的φm;ft為快時(shí)間頻率;tm為快時(shí)間包絡(luò)延遲。幅度誤差可以通過(guò)能量均衡法予以校準(zhǔn),快時(shí)間的包絡(luò)延遲可以通過(guò)求相關(guān)予以校準(zhǔn),所以進(jìn)行這些校準(zhǔn)后主要考慮相位誤差的影響,即校準(zhǔn)后γm=ej?m,考慮把式(4)的φm并入γm中的相位誤差,則γm可以表示為

此時(shí)信號(hào)的模型可以得到修正,進(jìn)一步考慮隨機(jī)噪聲N(fη)=[N1(fη),N2(fη),…,NM(fη)]T,并且令γ=diag(γ1γ2… γM),可以得到修正模型為

令A(yù)′(fη)=γA(fη),則模型可進(jìn)一步寫(xiě)成:

2 改進(jìn)的OS算法

式(10)的模型為線(xiàn)性模型,由陣列信號(hào)[10-11]的最小二乘方法可知,當(dāng)A′(fη)是一個(gè)滿(mǎn)秩為K的M×K矩陣,N(fη)為白噪聲時(shí),可以得到

式中,W(fη)=A′(fη)(A′(fη)HA′(fη))-1=γA(fη)(A(fη)HA(fη))-1,而A(fη)已知,因此需要估計(jì)γ。 記W(fη)第k列為wk(fη),則為頻點(diǎn)fη+(k-1)fs的頻譜重構(gòu)值。展開(kāi)A′(fη)可得到,

多通道成像質(zhì)量的關(guān)鍵在于誤差補(bǔ)償,而相位誤差又是誤差補(bǔ)償中最關(guān)鍵的一項(xiàng)。因此要選擇高精度的相位誤差補(bǔ)償算法,常規(guī)的正交子空間(OS)算法估計(jì)精度就比較高,它的思想是利用信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性。

該方法首先需要進(jìn)行數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣RZ(fη)的估計(jì),而RZ(fη)=E(ZZH),因此其可由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)(fη∈IB,由一系列離散頻點(diǎn)組成,每個(gè)頻點(diǎn)方位向包含M個(gè)通道的數(shù)據(jù),距離向有若干樣本)。把其進(jìn)行特征分解為

式中,λi為協(xié)方差矩陣的特征值,并滿(mǎn)足λ1≥λ2≥… ≥λM,ui為對(duì)應(yīng)的特征向量,ΣS=diag(λ1,λ2,…,λK)由K個(gè)數(shù)值較大的特征值組成,信號(hào)子空間US=[u1u2… uK]由對(duì)應(yīng)的特征向量組成,即K為信號(hào)子空間維數(shù)。同理ΣN=diag(λK+1,λK+2,…,λM)由剩余M-K數(shù)值較小的特征值組成,噪聲子空間UN=[uK+1uK+2… uM]。協(xié)方差矩陣的大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的空間US與信號(hào)的導(dǎo)向矢量空間A′(fη)是同一個(gè)空間,并且US和UN正交,從而得到un和正交,其中n∈[K+1,…,M],k∈[1,…,K],但協(xié)方差矩陣由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)而來(lái),因此不一定嚴(yán)格正交,從而通過(guò)求代價(jià)函數(shù)J的最小值來(lái)實(shí)現(xiàn)。J定義為

式中,

上式為了求最小值的需要,令y=[γ1γ2… γM]T,從而得到估計(jì)相位誤差γ的目標(biāo)函數(shù):

g1表示M×M維單位矩陣的第一列,為歸一化因子,保證γ1=1。根據(jù)陣列信號(hào)知識(shí)的線(xiàn)性約束最小方差法可以得到

相位誤差認(rèn)為在不同的多普勒頻點(diǎn)上的值保持不變[5,8],因此常規(guī)的OS算法為了減小估計(jì)誤差,對(duì)不同多普勒頻點(diǎn)的估計(jì)結(jié)果^y進(jìn)行平均得到最終的通道相位誤差估計(jì)值。但是以上方法的一個(gè)問(wèn)題在R(fη)的滿(mǎn)秩性難以得到保證,譬如,通過(guò)3個(gè)通道的數(shù)據(jù)估計(jì)多普勒帶寬為兩倍PRF的回波信號(hào),即M=3,K=2,此時(shí)噪聲子空間的UN的維數(shù)為1,的秩為1,因此由式(14)可知,R(fη)的秩小于等于2,不滿(mǎn)足可逆條件。當(dāng)然由于協(xié)方差矩陣由數(shù)據(jù)估計(jì)而來(lái),因此可能可逆,但是該方法的穩(wěn)健性一般。

一個(gè)改進(jìn)的思路是先對(duì)每個(gè)頻點(diǎn)估計(jì)的協(xié)方差矩陣求平均,然后再通過(guò)上述方法進(jìn)行求解。相當(dāng)于把求平均提前到協(xié)方差矩陣估計(jì)上來(lái),這樣大大加強(qiáng)了方法的穩(wěn)健性,另外考慮到不同頻點(diǎn)上方向圖的增益值是不一樣的,越靠近多普勒中心的值越大,因此可以用方向圖的幅度值Pk(fη)對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行加權(quán),認(rèn)為方向圖值越大的頻點(diǎn)對(duì)代價(jià)函數(shù)做的貢獻(xiàn)越大,這是因?yàn)樵娇拷嗥绽罩行?受到噪聲的影響越小,其導(dǎo)向矢量與噪聲子空間正交穩(wěn)定性越好,這種方法稱(chēng)為改進(jìn)的OS算法。對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行修正以代替原來(lái)的代價(jià)函數(shù),修正后的代價(jià)函數(shù)可用JM表示為

修正后的協(xié)方差矩陣R′(fη)為

Pk(fη)在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)已知,實(shí)驗(yàn)時(shí)可以通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)IB上的多個(gè)頻點(diǎn)求和得到R′(fη),求和使得R′(fη)滿(mǎn)足可逆條件從而可以比較穩(wěn)健地得到相位誤差的估計(jì)值。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析與驗(yàn)證

3.1 算法驗(yàn)證

本節(jié)將利用38所的機(jī)載三通道回波數(shù)據(jù)對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證。表1列出了雷達(dá)的主要性能參數(shù),由于原數(shù)據(jù)PRF為1 400 Hz,多普勒帶寬為517 Hz,方位不模糊,為了驗(yàn)證算法,首先對(duì)每個(gè)通道的原數(shù)據(jù)進(jìn)行降采樣以產(chǎn)生模糊信號(hào),采用降4倍采樣,使每個(gè)通道的PRF降為350 Hz,得到3個(gè)通道的模糊信號(hào)。實(shí)驗(yàn)時(shí)方位向點(diǎn)數(shù)取為8 192,距離向點(diǎn)數(shù)取為8 192,通道數(shù)取為M=3,重構(gòu)時(shí)重構(gòu)倍數(shù)取為K=2,重構(gòu)后的數(shù)據(jù)帶寬為700 Hz,重構(gòu)后數(shù)據(jù)的PRF大于多普勒帶寬,可以實(shí)現(xiàn)解方位模糊。圖3(a)是通道一降2倍采樣的方位譜,它作為重構(gòu)后的參考方位譜(通道二、三降2倍采樣后的方位譜也基本一致);圖3(b)是降4倍采樣后信號(hào)的方位譜,它作為待重構(gòu)的模糊信號(hào),可以看到明顯的方位模糊。

表1 雷達(dá)的主要參數(shù)

通道相位誤差估計(jì)與補(bǔ)償時(shí)。由于距離向的點(diǎn)數(shù)較多,可以在距離向進(jìn)行分塊處理[12],距離向分塊是為了防止下視角范圍較大引起的距離向相位空變誤差,不同塊可以估計(jì)出不同的相位誤差。實(shí)驗(yàn)中距離向分27塊,每塊300個(gè)點(diǎn)。先用能量均衡法進(jìn)行幅度失配的估計(jì),其次用OS算法和改進(jìn)的OS算法進(jìn)行相位誤差估計(jì),通道一為參考通道,用OS算法估計(jì)時(shí)由于某些頻點(diǎn)協(xié)方差矩陣不滿(mǎn)秩從而不能估計(jì)出值,因此用剩余頻點(diǎn)的估計(jì)值進(jìn)行平均,而改進(jìn)OS算法很穩(wěn)定,每次都可以估計(jì)出穩(wěn)定的值,這也可以看出改進(jìn)OS算法的穩(wěn)健性很好。從圖4的估計(jì)結(jié)果可以看到通道間相位誤差較大,并且沿距離向有空變。

圖4 OS算法和改進(jìn)OS算法相位誤差估計(jì)

從相位誤差的估計(jì)結(jié)果可以看到OS算法和改進(jìn)的OS算法估計(jì)的精度基本一致,但是OS算法不穩(wěn)健,因此采用改進(jìn)OS算法補(bǔ)償相位誤差。進(jìn)行方位譜重構(gòu)時(shí),K值取為2,圖5(a)為不進(jìn)行誤差校正直接解模糊后的重構(gòu)方位譜,可以看到解模糊的效果很差,重構(gòu)后多普勒中心發(fā)生了變化,重構(gòu)的方位譜也很不均勻;圖5(b)為進(jìn)行誤差校正后重構(gòu)的方位譜,可以看出和原始數(shù)據(jù)的方位譜吻合度很高,所以認(rèn)為改進(jìn)后的OS算法比較好地完成相位誤差補(bǔ)償,從而實(shí)現(xiàn)了無(wú)模糊重構(gòu)。

圖5 誤差補(bǔ)償前后方位譜

然后對(duì)上述處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行WK成像。圖6是截取的部分特征區(qū)域。圖6(a)是重構(gòu)前成的圖像(取通道一的數(shù)據(jù)成像,PRF=350 Hz),可以看到圈出來(lái)的部分出現(xiàn)了明顯的模糊,實(shí)線(xiàn)圈是場(chǎng)景實(shí)際像點(diǎn),虛線(xiàn)圈出現(xiàn)了明顯的模糊像點(diǎn)。圖6(b)沒(méi)有進(jìn)行誤差校正直接解模糊成像,可以看到模糊并沒(méi)有解除。圖6(c)為進(jìn)行誤差校正后的圖像,與圖6(a)進(jìn)行比較可以看出模糊去除,與圖6(d)進(jìn)行比較可以看到基本達(dá)到了單發(fā)單收的效果(圖6(d)為進(jìn)行降2倍采樣后的數(shù)據(jù)成像的結(jié)果,其與重構(gòu)后的數(shù)據(jù)PRF相等,所以作為同等情況下的單發(fā)單收結(jié)果)。

3.2 性能分析

為了驗(yàn)證算法的有效性,并且盡可能地減少一些不可控因素的影響,實(shí)現(xiàn)對(duì)通道相位誤差的精準(zhǔn)控制,通過(guò)單通道數(shù)據(jù)降采樣生成多通道數(shù)據(jù)進(jìn)行性能分析。采用的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為算法驗(yàn)證時(shí)用到的數(shù)據(jù),PRF為1 400 Hz,多普勒帶寬為517 Hz。距離向點(diǎn)數(shù)取為4 098,方位向點(diǎn)數(shù)取為1 024,加入定量的隨機(jī)噪聲產(chǎn)生不同信噪比的信號(hào),再在通道二、三中加入隨機(jī)的相位誤差,范圍為(-90°,90°),蒙特卡羅仿真次數(shù)取為200次。

圖6 成像效果對(duì)比圖

實(shí)驗(yàn)一:降6倍采樣變成“6個(gè)通道”,每個(gè)通道的PRF為233.33 Hz,取其中3個(gè)相間隔的通道,這時(shí)模擬的是均勻采樣情況下的通道相位誤差估計(jì),然后在通道二和通道三分別加入不同的相位誤差進(jìn)行蒙特卡羅仿真;實(shí)驗(yàn)二:降5倍采樣變成“5個(gè)通道”,每個(gè)通道的PRF為280 Hz,取其中3個(gè)相間隔的通道,這時(shí)模擬的是非均勻采樣情況下的通道相位誤差估計(jì),然后在通道二和通道三分別加入不同的相位誤差進(jìn)行蒙特卡羅仿真。圖7示意了3個(gè)通道數(shù)據(jù)的生成過(guò)程。

圖7 仿真數(shù)據(jù)生成的示意圖

仿真不同信噪比下的平均均方根誤差,用下式進(jìn)行計(jì)算:

式中,N為實(shí)驗(yàn)蒙特卡羅仿真次數(shù),Δ?m為通道m(xù)實(shí)際的相位誤差,為通道m(xù)第n次蒙特卡羅仿真時(shí)的相位誤差估計(jì)值。得到圖8的相位誤差估計(jì)性能曲線(xiàn)。圖8(a)為均勻采樣的情況,兩種算法估計(jì)精度基本類(lèi)似;圖8(b)為非均勻采樣的情況,改進(jìn)OS算法相位誤差估計(jì)的偏差小于OS算法和AWLS算法,并且低信噪比時(shí)OS算法估計(jì)還可能出現(xiàn)失效的情況,因此驗(yàn)證了算法的高精度性和穩(wěn)健性。

圖8 不同信噪比下改進(jìn)OS算法和OS算法的平均均方根誤差比較

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)方位多通道系統(tǒng)的相位誤差估計(jì)問(wèn)題,本文提出了一種改進(jìn)的OS算法,算法可以克服OS算法在通道數(shù)較少時(shí)由不滿(mǎn)秩導(dǎo)致算法失效的問(wèn)題,該方法利用所有多普勒頻點(diǎn)建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)估計(jì)相位誤差值,并且考慮了天線(xiàn)方向圖的加權(quán)作用,以代替對(duì)每個(gè)頻點(diǎn)得到相位估計(jì)值后再求平均的常規(guī)OS算法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)原方法的改進(jìn),提高了精度和算法的穩(wěn)健性。最后按照多通道實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)成像的處理流程逐步分析結(jié)果,實(shí)現(xiàn)了對(duì)改進(jìn)OS算法有效性的驗(yàn)證。

致謝 感謝中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所提供的機(jī)載SAR多通道實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

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