微積分知識(shí)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

□ 章臘萍

微積分在經(jīng)濟(jì)中有很多的應(yīng)用，如一元函數(shù)微分學(xué)在邊際分析中的應(yīng)用，一元函數(shù)積分學(xué)在求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的應(yīng)用，求最優(yōu)化問(wèn)題等，這些都是眾所周知的應(yīng)用，除此之外，本文給出了其他微積分知識(shí)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，如極限、偏導(dǎo)數(shù)、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。

一、極限在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

利息是指借款者向貸款者支付的報(bào)酬，它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計(jì)算出來(lái)的，利息又有存款利息、貸款利息、債券利息、貼現(xiàn)利息等幾種主要形式。復(fù)利計(jì)算公式 Am=A(1+r)m，其中A表示剛開始的本金，r表示每一期的利率，m表示復(fù)利的總期數(shù)，Am表示m年后的余額。如果年利率為r的利息一年支付一次，那么當(dāng)初始存款為A元時(shí)，t年后余額則為At=A(1+r)2。如果年利率為r的利息一年支付n次，那么當(dāng)初始存款為A元時(shí)，t年后余額At則為At=A(1當(dāng) n→∞，這稱為連續(xù)復(fù)利。

例1設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在(假定t=0)就售出，總收入為Ro元，如果窖藏起來(lái)，待來(lái)日按陳酒價(jià)格出售，t年末總收入為假定銀行的年利率為r，并以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大，并求r=0．06時(shí)的t值。

解:根據(jù)連續(xù)復(fù)利公式，這批酒在窖藏t年末售出總收入為A(t)=Re-n的現(xiàn)值為A(t)=Re-rt，而，故 A(t)，得駐點(diǎn)，則有，于是是極大值點(diǎn)即最大值點(diǎn)，故窖藏年售出，總收入的現(xiàn)值最大，當(dāng)r=0．06時(shí)年。

二、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

與一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類似，多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有其經(jīng)濟(jì)意義，下面以需求函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明。

設(shè)某產(chǎn)品的需求量為Q=Q(P，y)，其中P為該產(chǎn)品的價(jià)格，y為消費(fèi)者收入。△PQ=Q(P+ △P，y)-(P，y)，△yQ=Q(P，△y)-(P，y表示當(dāng)價(jià)格為P，消費(fèi)者收入為y時(shí)，Q對(duì)于P的變化率表示當(dāng)價(jià)格為P，消費(fèi)者收入為y時(shí)，Q對(duì)于y的變化率，稱為需求Q對(duì)價(jià)格P的偏彈性，稱為需求Q對(duì)收入y的偏彈性。

例2廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，售價(jià)分別p1和p2，銷售量分別為 q1和q2，需求函數(shù)分別為 q1=24-0．2p1和 q2=10-0．05p2，總成本函數(shù)為 C=35+40(q1+q2)，試問(wèn):廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，能使其獲得的總利潤(rùn)最大?最大總利潤(rùn)為多少?

解:總收入函數(shù)為 R=p1q1p+p2q2=24p1-0．2p21-0．05p22，總利潤(rùn)函數(shù)為 L=R-C=32p1-0．2p1-0．05p22-1395+12p2，由極值的必要條件，得方程組:

解此方程組得P1=80，P2=120。

由問(wèn)題的實(shí)際含義可知，當(dāng)P1=80，P2=120時(shí)，廠家所獲得的總利潤(rùn)最大，其最大總利潤(rùn)為L(zhǎng)P1-80 P1-120=605。

三、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

含有未知數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或者微分)的方程，稱為微分方程。一般寫成 F(x，y，y＇，A，y(n))=0 或 y(n)=f(x，y，y＇，A，y(n-1))。微分方程的解:若將函數(shù)代入微分方程，使方程成為恒等式，則該函數(shù)稱為微分方程的解，即設(shè)y=y(x)在區(qū)間I上連續(xù)且有直到 n 階的導(dǎo)數(shù)，使 F(x，y(x)，y＇(x)A ，y(n)(x))=0則稱y=y(x)為該微分方程在區(qū)間I上的一個(gè)解。

變量可分離方程的解:能寫成y＇=f(x)g(y)形式的方程稱為變量可分離型方程，其解法為:

例3已知某商品的需求量x對(duì)價(jià)格p的彈性η=-3p3而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1(萬(wàn)件)，求需求函數(shù)。

例4已知某商品的需求量D和供給量S都是價(jià)格p的函數(shù):D=D(p)=，S=S(p)=bp，其中 ɑ＞0，b＞ 0 為常數(shù);價(jià)格p是時(shí)間t的函數(shù)且滿足方程:=k［D(p)-S(p)］(k為正的常數(shù))，假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)價(jià)格為1，試求:

(1)需求量等于供給量時(shí)的均衡價(jià)格pe;(2)價(jià)格函數(shù)p(t);(3(t)。

［1］吳贛昌．微積分(經(jīng)管類)［M］．北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2014，第4 版

［2］李永樂(lè)，李正元．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書［M］．北京:國(guó)家行政學(xué)院出版社，2013

［3］張宇，楊超．高等數(shù)學(xué)18講［M］．北京:北京理工大學(xué)出版社，2013