何種情況下用洛比達法則求函數(shù)極限較合適

何冬梅

摘 要： 洛比達法則是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是解決某些極限問題的重要方法.熟練掌握洛比達法則求極限的方法，對學(xué)好高等數(shù)學(xué)有十分重要的意義.

關(guān)鍵詞： 洛比達法則 函數(shù)極限 求解方法

極限是微分學(xué)的基礎(chǔ)，它貫穿微分學(xué)的始終，求極限是高等數(shù)學(xué)中的重要章節(jié)，洛比達法則是求極限方法中的一種重要方法，它能使運算過程簡單化，但由于求極限的方法較多，本來可以用洛比達法則解決的問題，有的學(xué)生卻不知該如何入手，采用什么方法解決問題.筆者就自己的教學(xué)工作經(jīng)驗，論述如下，希望能起到拋磚引玉的作用.

一、洛比達法則的定義

定理1：如果函數(shù)f（x）、g（x）滿足

（1）當(dāng)x→a或x→∞時，f（x）→0，g（x）→0

（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0

（3）lim■存在（或為無窮大）

那么lim■=lim■.

定理2：如果函數(shù)f（x）、g（x）滿足

（1）當(dāng)x→a或x→∞時，f（x）→∞，g（x）→∞

（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0

（3）lim■存在（或為無窮大）

那么lim■=lim■.

以上兩個定理中所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛比達法則.

這個法則是由瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利發(fā)現(xiàn)的，因此也被稱為伯努力法則.

二、求函數(shù)極限的方法

1.直接代入法

當(dāng)未知數(shù)x→常數(shù)a，且函數(shù)在x→a的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，則原極限等于x的地方用a代替，再計算出結(jié)果.

2.當(dāng)x→a時，函數(shù)中的分母→0，則有以下情形：

（1）當(dāng)函數(shù)是分式，可分別對分子、分母因式分解、約分、化簡后再用代入法求極限.

（2）當(dāng)函數(shù)中有根式出現(xiàn)時，則先對分子或分母有理化（用平方差公式）及化簡后再求極限.

（3）當(dāng)分子、分母都是多項式，且分子，分母都→0時，可用洛比達法則求極限.

3.運用兩個重要極限公式求極限

（1）■■=1

（2）■（1+■）■=e

4.運用洛比達法則求極限

只要滿足定理：1.定理2的求極限的條件，就可用洛比達法則.定理1和定理2中的求極限問題分別稱為■型未定式、■型未定式，其他型的未定式∞-∞型、1■、0■、∞■均可轉(zhuǎn)化為■型或■型，再進一步求極限.

5.利用等價無窮小量替換法求極限

當(dāng)x→0，替換如下：

x～sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln（1+x）～e■-1；

1-cosx～■；（1+x）■-1～ax（a≠0）

只有在等價的無窮小前提下及因式中才可以替換.

三、在什么情況下用洛比達法則求極限較合適

顯然，在上述中已敘述過，當(dāng)求極限的問題屬于■型、■型未定式可用洛比達法則，其他如∞-∞型、1■、0■、∞■型的未定式可轉(zhuǎn)化成以上兩種后再用洛比達法則.

采用此方法解題的好處是：簡單：快捷.

兩邊夾法則：只有在等價的無窮及因式中才可以替換.

兩邊夾法則：若g（x）≤f（x）≤h（x）且■g（x）=■h（x）=A，

則■f（x）=A.

綜上所述，當(dāng)遇到“商的極限”且是屬于■型或■型未定式時，用洛比達法則求極限比較合適.當(dāng)然還有1■型、0■型、∞-∞型、∞■型經(jīng)過轉(zhuǎn)化后也可用此法則.解題時一定要注意，只有滿足條件時才能用，否則就會導(dǎo)致錯誤；只要滿足條件，則可連續(xù)使用；某些較復(fù)雜的題中，應(yīng)與其他方法結(jié)合起來，簡化運算過程.也只有熟練掌握以上求極限的各種方法，才能把高等數(shù)學(xué)學(xué)好，為今后各學(xué)科的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)教研主編.高等數(shù)學(xué).第四版上冊，高等教育出版社，1998.

[2]張國楚，張如生.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1998.6.